第十章曲线积分与曲面积分

1、(-)线面积分的计算方法1.曲线积分的计算(I)基本方法:曲线积分初泄积分第一类线积分:设f(x,y)在曲线弧L上有左义且连续，L的参数方程为X = 0(f),*, gy (要解决I、枳分限.2.彼枳忙n其中卩,0(。在a,0上具有一阶连续导数，且02(/)+ 02工o,贝ij£ y)s=J： 0a)Wa)+Qa)/, s < 0)【例1】求f xeyds,其中L是由X = aC°St(a>0)所表示的曲线上相应于 肛y = asint33的一段弧.解 (法一)ds = a2 sin21 a1 cos2 tdt = adt,(法二)容易看出积分弧段关于y轴对称，

2、而被积函数是关于变量兀的奇函数，故£ xe ds = 0【例2 求J(x + y)s，其中L是以O(0,0),A(l,0),3(0,1)为顶点的三角形(图10. 1)边界. 解【例3求>式中厶为圆周x2 + y2 = cixa > 0) 解厶的极坐标方程为则 fz J" + y2 ds = J ； a cos 0 <id0 = 2a2【例4】求£ (a2 + y2)ds ,其中 L 是曲线x = a(cost + tsint).解 ds = J(rr cos2 r+t/2r2sin2 tdt = atdt,于是£ (x2 + y2)ds

3、 = £ «2(cosr+ rsinf)2 +(sin t-tcost)2 atdt=a't( + t2)dt = 2/r/(l + 22)第二类线积分:设P（x,y）,Q（兀y）在有向曲线狐L上有怎义且连续丄的参数方程为X =/、，当f单调地a 卩时，（要解决1、枳分限，2、被积函数,3、弧微 y = 0（"点Mgy）从L的起点A沿厶运动到终点3,0“（f）在以o及0为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且02（。+ 0"0工0,则£ P(x, y)dx + Q(xy y)dy = J： P©(r),卩© (/) +。

4、卩,肖“【例1】求£ -cix + xdy，其中厶是曲线y = Inx±从点(1,0)到点(e,l)的一段弧.解 由 y = lnx得丄dx = dy,x = ev,故x原式二2W>- + J：e'=(才 + R )丘其中ABC如图10.2所示B(0,1)C(-l,0)xA(l,0)图 10.2A§:<解（法一）BC:<x = x1 O.dy = -dx. y = 1 - xx = x,x:0T-l,dy =厶 y = i+xf 心 + dy e dx + dy _ dx + (dx)r-1 dx + dx' |x| + |y|

5、+丄ax + ay _ ax+ ax)“小 “八 _TM+|y| x+(i_x)+J° -x+i+x-解（法二）因为|x|+|y| = l,又dx+dy = d（x+y）,故 原式=匕+刃懾：）【例3】 求JX + y2)dx + a2y2)dy,其中c为曲线y = -卩一儿(0 < X < 2)解 当0<x<l时，y = l-(l-x) = x,则y =必；当 1 SxS2时，y = l-(x-l) = 2-x,则心= -dx ;£. (x2 + y2 皿 + (x2 一 y 2)dy = £ 2x2dx + jjx2+(2-x)2-x2

6、+ (2-x)2 dx =扌基本技巧 利用对称性简化计算:【例1】求其中厶为圆周x2 + y2 =«2.解由对称性得£xyds = O,故£ (x + y)2ds = £ (x2 + 2xy + y2 )ds =星(x2 + y2 )ds + 2玄 xyds=£ crds + 0 = / £ ds = a2 2/ra = In a【例2】求心型.a+$+(寸+1尸皿，其中c ： x2 + /= i 解利用对称性I =(x2 + + ) + (尤+= £ (x2 +j- + )/5(x + )')s = 0)X ,x2

7、 + y2 x2 + y2xr A 、：55515=(p ( + )Ms + 2/r = © (+ _)3 + 龙=一兀 + 龙=兀Fc 。84 关 282424 利用格林公式(注意：添加辅助线的技巧)：【定理10. 1】 格林(Green)公式 设函数P(x,y)和0(x,y)在分段光滑的闭曲线厶所用成的闭区域D上具有一阶连续偏导数，则有”（字-=切 Pdx + Qdy其中厶是D的正向边界.x2 2 2 2【例1】计算厶+小7山厂心,其中厶是x2 + y2=a2M时针方向JL x" + y+ y 计算对于坐标的曲线积分第二种解法：利用格林公式求解,计算前必须使用代入技 巧

8、，消去分母，否则工作量太大因为厶是反向的，所以使用格林公式是需要补加一 个负号.解将x2 + /= «2代入被积分式中，P = ex x2y,Q = xy2 - sin v2,dx dy根据格林公式,【例 2】计算£ ylx2 + ydx+ x+yln(x+W + y* dy, 其中厶是(x I)，+(y-l)2 = 1的上半圆周，顺时针方向.不易直接计算，应该检验 丰 0 补允 AB: y = l,x 由 2 金 0,ox dy原式=f-然后利用格林公式.J L+AB JAB解设 P = y/x2 + yZ叫+k).計+命鲁靑dx dy 补:AB:y = l,x 由 2

9、至 0,A3与厶所围成的区域记为D原式- Lb£ln(x +Jx，+1)=4 利用积分与路径无关的等价条件【定理10.3（积分与路径无关的条件）设函数P（x,y）和。（儿刃在单连通区域D内具有 一阶连续偏导数，则下列四个条件相互等价，即互为充要条件:（l）f PdxQdy在£内与路径无关：（2）在£）内存在一个函数u（x,y）,使dit = Pdx + Qdy，其中u(x, y) = J' P(x, y0)dx4-£ g(x, y)dy = J' P(x, y)dx + J Q(xy)cfy（如，儿）为D内任一取左的点.（3）購Pdx +

10、 Qdy = 0,英中厶为D内任一分段光滑的闭曲线在D内等式H恒成立【例 1 】求 J (2a>t； - y2 cosx)dx + (1 -2y sinx + 3x2y1 )dy，其中厶为 2x = 计从点0(0,0)到点8(壬,1)的一段弧2解 P(x,y) = 2xy -y2 cosx,Q(x,y) = l-2ysinx + 3x2y2 = ££ = 6xr-2vcosx,a% dy故积分与路径无关,选取折线路径 0(0,0) t C(-,0) t B(-J)2 2原式訂：1 - 2y sin | + 3(彳尸 / 心=J： (1 _ 2y + 手 y2 )dy

11、=手【例2】适当选取恥，使L+R + d呼-%+2小+疔呛是某个函数讥)的全(兀+y )微分,并求出u(x. y)®"血 _丿'+ 3& + (2-1)小2_)丿驴 _'+(1-加)心-3，- 麝乔(宀于尸>(x2 + r)2令治眷比较系数得n_5 (b + 2小 一 F )厶 一 ("+ 2小一才)心* _Jg(x2 + y2)2rl + 2x-x2r>x2+2x-y2x-y=I,盯I e= +CJl (对 + 1)Jl C+ yJjt +)厂【例3】试确定可导函数f(x),使积分匸/ + /(兀)山一/(劝心与路径无关，且求

12、AB为(0,0), (1.1)时的积分值此处/(0)=-2解 P = ex + f(x)y, Q = -/(x),丝=-广(x), = ex + f(x) oxdy令= t，则有 广(x)+ /(x)=-几 解一阶线性非齐次微分方程得ox dy/十(- + c),代入 /(0)=-得，C = l,即 f(x) = e-x-ex.2 2当AB为(0,0),(1,1)时，积分为【例4】计算©呛二凹iL对+4y，其中厶为任意一条不通过原点的简单光滑正向的封闭曲线.解设"三QXx2+4y2则糸齐7T不除去原点。）以外一切点上式都成立当曲线厶的内部不含原点时当曲线厶的内部含原点时，可

13、在厶的内部做一个充分小的椭圆 c:x = 2a cost, y = a sin t,从/ = 0到/ = 2” 利用复连通域上的格林公式，有xdy-ydxc x2 +4y2r xdy ydx _ / xdy ydx 沆 x2 +4y2 利用两类曲线积分的联系公式【定理10. 21 （两类曲线积分之间的关系）£ Pdx + Qdy = (P cos a + Q cos p)ds其中cosa = ,cosZ? = 和0表示曲线的切向量的方向角. dsds2 曲面积分的计算(1)基本方法:曲面积分转化»二重积分第一类面积分：当曲面E由方程z = z(x,y)给出,JJ /(X,

14、” z.)dS = JJ fx, ” z(x, y) Jl + z；(x, y) +小 Zy ,ZD心(Q为为在my面上的投影区域)'z"要解决1、曲而方程如乙=乙(x, y)及投影区域入,2、被积函数 fx, y, z(x, y),3、面积微分 Jl + 彳(x, y) + yMMy )注:如果积分曲而工由方程a- = x(y,乙)或y = y(z,x)给出，也可类似地把对面积的曲而积分 化为相应的二重积分.【例1】求jj2 + z2-x2-y2dS，其中工为锥面z = ylx2 + y2介于z = 0及z = l之间的 E部分.解曲而为在xoy坐标平面上的投影为D, :

15、£ +)，2 < 1.XyJ = / ° * J = /3 + y 卜 + y故 JJJ2 + Zz=jj j2+(jF + ：/)2 一疋一 b . Jl + (z)+(z、.)Wy=JJ Idxdy = 2 JJ dxdySz=2* 7T =【例2】求川Qz|s, E为曲而 = x2 + y2被平面远=1割下的部分r解 设§表示为在第一卦限内部分，则壬JJ 问木/S = 4jj xyzdS =4 jj xyx2 + y2 )yj + 4(x2 + y2 )dxdy第一类££|Q+、2 勺x>0.v>0=4匸r2 cossi

16、n 0r Jl +4尸 rdr = 2J)r5 Jl+4尸 dr =_-面积分:JJ Pg ” Zdydz = ±JJ Px(y, z), zdydz. ZIf（其中£由方程X = X（y>Z）给出前侧取正，后侧取负）JJ Q(x. y, z)clz.dx = 土jj Qx. y(x. z), zdzdx, ZDn（其中Z由方程y = y（圮z）给出右侧取正，左侧取负）U R(X、y, zdxdy = ±JJ Rx. ” z(x, yWxdy,ZD* （其中E由方程z = z（x, y）给出上侧取正，下侧取负）【例1求jj4=，工为锥而Z = jF+y2及平

17、面z =和乙=2所围成的立体表面的 £少+ r外侧解设工=工+工2 + 工3,其中 5：!: Z = 2,X2 + V2 < 4 , S2: Z = y/x2 + y2,1 < z < 2,工3 ： Z = 1,F + F < 1在而上的投影分别为£>: x2 + y2 < 4, D2:<x2 + y2 <4, D.ix2 + y2 < 1edxdy rr ezdxdyJF + b I, yp2 + y2rr ezdxdy _ rr ezdxdy H + y2 v yjx2 + y2_ rr e2dxdy rp ex&#

18、39;v dxdy rr edxdyMJJ &2 +)F” 后 + 才=e J d&J(:皿 +(-J(erdr) + (-ejj d&J； dr) = 2ttc2【例2】设工是椭球而4 + + 4 = 1的外侧（。>0上>0«>0）,求 cr Zr l/ =(f£ dydz + hzdx + Ldxdy 城 x yz解 设工2是乞的上半椭球而的上侧和下半椭球而的下侧，即工2在my而的投影为77则如 1 dxdy =虫| dxdy + 企 1 dxdydxdv 27y=-(arcsin b、f4兀ubc)dx = L0r同理得如+d

19、ydz = 缨=，虫+血x = 罟仝，所以丿=4血尿+右+亠）基本技巧 利用对称性及重心公式简化计算；【例 1 】求曲x'dydz + ydxdz. + dxdy, L 为球面(x一a)2 +(y-b)2 +V(Z-c)2=R2 的外侧.解 记 Cl.(x-a)2 +(y-b)2 +(Z-cf < R2 9 利用 Gauss 公式，有 原式二 2JJJ (a- +y + zdxdydz,由重心坐标(x. y, z) = (aJc)得8原式二 2(a + h + c)JJJ dxdydz, = - 7r(a + /? + c)R' 利用高斯公式(注意公式使用条件，添加辅助而

20、的技巧)： 【定理105】高斯(Ga u ss)公式设空间闭区域G是由分片光滑的闭曲而刀所用成，函数P(x, z Qx. y, z), R(x, y, z)在Q上具有一阶连续偏导数,Rdxdy,则有加砖燈谬 lxdydz.=曲 Pdydz. + Qdzdx + C2LO p ACO R或加知知 ylxdydz. = # (P cos a + Q cos fl + R cos y)dS, n 处dydzz这里E是G的整个边界曲而的外側，cos a, cos 0、cos厂是为在点(x,y,z)处的法向虽:的方 向余弦【例1】求(x2 + y2+z2)dydz，其中为是球而x2y2 + z2=a2内侧.EGauss公式0Qdxdydz =【例2】求<>zdxdy + ydz.dx + xdydz ,其中£是球而十+ y2 + = a2外侧. z解 由已知得p = x,0=”/? = z,则空=型=竺=1dx dy dz由Gaus s公式得原式二 JJJ ( + 退)dxdydz. = 3 jJJ dxdydz = 3 上 ttu5 = 4加、【例 3 】求 JJ IxVdydz, + y