第十三讲刚体地运动和动力学问的题目

1、第十三讲 刚体的运动学与动力学问题一 竞赛内容提要1、刚体；2、刚体的平动和转动；3、刚体的角速度和角加速度；4、刚体的转动惯量和转动动能；5、质点、质点系和刚体的角动量；6、转动定理和角动量定理；7、角动量守恒定律。二竞赛扩充的内容1、刚体：在外力的作用下不计形变的物体叫刚体。刚体的基本运动包括刚体的平动和刚体绕定轴的转动，刚体的任何复杂运动均可由这两种基本运动组合而成。2、刚体的平动；刚体的平动指刚体内任一直线在运动中始终保持平行，刚体上任意两点运动的 位移、速度和加速度始终相同。3、刚体绕定轴的转动； 刚体绕定轴的转动指刚体绕某一固定轴的转动，刚体上各点都在与转轴 垂直的平面内做圆周运动

2、，各点做圆周运动的角位移、角速度3和角加速度B相同（可与运动I I 学的s、v、a进行类比）。且有：3 = to t ； 3= t 0 t。当b为常量时，刚体做匀加速转动，类似于匀加速运动，此时有：3= 3 0+ 3 ；二o+ 3ot+ 32/2 ；02=2 3（一）。式中，0、30分别是初始时刻的角位移和角速度。对于绕定轴运动的刚体上某点的运动情况，有：v= w R,a t阳， an= 32R=v2/R,式中，R是该点到轴的距离，a t an分别是切向加速度和法向加速度。例1 有一车轮绕轮心以角速度w匀速转动，轮上有一小虫自轮心沿一根辐条向外以初速度vo、加速度a作匀加速爬行，求小虫运动的轨

3、迹方程。例2 一飞轮作定轴转动，其转过的角度B和时间t的关系式为：B =at+bt 2 ct3，式中，a、b、c都是恒量，试求飞轮角加速度的表示式及距转轴r处的切向加速度和法向加速度。n例3如图所示，顶杆 AB可在竖直槽K内滑动，其下端由凸轮 K推动，凸轮绕0轴以匀角速度3转动，在图示瞬间， OA=r，凸轮轮缘与 A接触处, 法线n与0A之间的夹角为a,试求此瞬时顶杆0A的速度。例4 人在电影屏幕上看到汽车向前行驶，车轮似乎并没有转动时，则汽车运动的可能的最小速度是多少？已知电影每秒钟放映24个画面，车轮半径为0.5m.例5在水平路面上匀速行驶的拖拉机前轮直径为0.8m ,后轮直径为1.25m

4、，两轮的轴的距离为 2m，如图所示， 在行驶过程中，从前轮边缘的最高点 A处水平飞出一小石 块，0.2s后后轮边缘的最高点 B处也水平飞出一小石块，VRiR这两块石块先后落在地面上同一处，求拖拉机行驶时速度的大小。例6如图所示，由两个圆球所组成的滚珠轴承内环半径为R2，外环半径为Ri，在两环之间分布的小球半径为r。外环以线速度 vi顺时针方向转动，而内环则以线速度 V2顺时针方向转动，试求小球中心在围绕圆环的中心顺时针 转动的线速度V和小球自转的角速度3。设小球与圆环间无滑动。例7 一木板从空中下落， 某时刻，板上a、b两点速度相同，va=v b=v , a、b两点均位于板面上,同时还发现板上

5、 c点速度为2v, c点到a和b两点的距离等于 a和b两点间的距离。问板上那些点的速度等于3v ？4、力矩 （1 ）对转动轴的力矩如图，转动轴过0力矩M=Fr。其中，r为力臂。：r= psin 0,/M=Fsin力矩，等于F垂直于0P连线的分力 巳与0P的积:当力的作用线不在垂直于轴的直线上时,和垂直于轴的分量F丄，其中,垂直于轴的平面上的投影,此时,（2 ）对参考点的力矩如图,P点并垂直于纸面，过M=F .p。可将力F分解为平行于轴的分量F /对物体绕轴的转动没有贡献，F丄就是FF对轴的力矩可写成:M= F 丄pn 0oP点的力F对0轴的F/F对0点的力矩M=Fsin.p。5、质点的角动量0

6、 =mv如右下图，质点m对点0的角动量L= r x p=r psin动量又叫做动量矩（与力矩类比）。同一质点对不同的参考点的角动量 是不同的。特别地，当 p丄r时，角动量L=mvr 。6、质点系（或刚体）的角动量即各质点角动量的总和，L=刀m iVii= （Em iri2） w =I 3。其中，I是刚体的转动惯量（I的数值不 要求会计算）。质点对轴的转动惯量为：I=mr 2, r是转动半径。7、 刚体的转动动能刚体的动能包括质心的平动动能（EK=mv 2/2 ）和相对质心的转动动能，其中，转动动能的大小：Ek= Dm iVi2/2=1/2 （Em iri2）w 2= （1/2 ） I 32。8

7、、刚体绕定轴转动的基本规律（1 ）力矩M和角加速度B的关系 M=l B （类比于F=ma ）; （2）合力矩做的功和刚体转动动能 的关系 W=F S=F 0=M 0= （1/2 ） bt2（ 1/2 ） I so2.（与动能定理类比）。（2）质点、质点系或刚体的角动量定理L= Emiviri （若是质点则不用E符号），二4/ 4= EJ1/ "t= E（Fi + fi） ri，式中，Fi表示第i个质点受到的外力，fi表示该质点受到的系统内力。.内力矩 为零，UL/ zdt= EFiri=M夕卜，即卩M外zdt=L t Lo （与动量定理类比）。角动量定理可写成分量式。（3 ）质点、质

8、点系或刚体的角动量守恒定律当M外=0时，L=恒量（与动量守恒类比），即系统的角动量守恒。其中，M外=0有以下三种情况：（i）体系不受外A 力，即Fi=0 （合外力为零工合力矩为零，如力偶矩的情况）；（ii ）所有外力都通过定点（这种外力叫有心力，如卫星所受的万有引力），尽管外力的矢量和不为零，但每个外力的力矩都为零；（iii ）每个外力的力矩不为零，但外力矩的矢量和为零。例8、质量为m，长为I的均质细杆，绕着过杆的端点且与杆垂直的轴以角速度3转动时，它的 动能和相对端点的角动量的大小分别为Ek=I w2/2 , L=I 3,其中，l=ml 2/3，现将此杆从水平位置由静止释放，设此杆能绕着过

9、A的固定光滑细轴摆下，当摆角从0达0时，试求：（1 ）细杆转动的角速度3和角加速度（2 ）固定光滑细轴为杆提供的支持力。绳与圆盘间无相对滑动，滑轮与轴之间无摩擦,mi> m2，试求物体运动的加速度。例9、质量为M，半径为R的均质圆盘，绕过圆心且与圆盘垂直的轴以角速 度3旋转时的角动量大小为 L=I 3,其中，l=MR 2/2 ,如图，细绳质量可忽略,例10、在光滑的水平面上，两个质量分别为mi和m2的小球，用长为I的轻线连接，开始时，线正好拉直，mi和m2的速度分别为vi和v2 (vi > v2),它们的方向相同，并垂直于连线，试求:系统相对质心的角动量为多大？ (2)线中的张力为

10、多大？例11、如图所示，在光滑水平面上，质量均为M的两小球用长为I的轻杆相连，另一质量为m的小球以vo的速率向着与杆成B角的方向运动，若（1）碰后m以vo/2的速率沿原路线反弹，试求碰后轻杆系统绕其质心 转动的角速度3。（2 ）若M=m，且B =45。，小球以某一速率vo与杆上一球发生弹性碰撞后，沿垂直于原速 度的方向运动，如图虚线箭头所示方向，求碰后小球的速度及轻杆绕其质心转动的角速度。R=1700km ，月球表面的重力加例12、一质量m=1 .40 x 1kg的登陆飞船，在离月球表面高度处绕月球做圆周运动，飞船采用如下登月方式：当飞船位于图中它向外侧（即沿 OA方向）短时间喷气，使飞船与月

11、球相切地到达 且OA丄OB，试求飞船到达月球表面时的速度。已知月球半径速度为 g=1.62m/s2。m， L例13、如图，一长为L,质量为m的均质棒被两根细线水平悬挂在天花板上，某时刻，右边的线断了，问线断瞬间，左边线中的张力是多大？已知棒 绕其一端的转动惯量I=ml 2/3。例14、一颗卫星沿椭圆轨道绕地球运行，在近地点，卫星与地球中心的距离为地球半径的3倍,卫星的速度为在远地点时速度的4倍，求在远地点时卫星与地球中心的距离为地球半径的多少T-O倍。例15、两个质量均为 m的小球，用长为I的绳子连接起来，放在一光滑的水平桌面上，给其中一个小球以垂直于绳子方向的速度V0，如图所示，求此系统的运

12、I动规律和绳中的张力大小。_L_q_V0例16、小滑块A位于光滑的水平桌面上，小滑块 B位于桌面上的光滑小 槽中，两滑块的质量都是 m，并用长为I、不可伸长的、无弹性的轻绳相连,如图所示，开始时，A、B间的距离为I/2，A、B间的连线与小槽垂直，今给滑块A 一冲击，使m其获得平行于槽的速度 vo,求滑块B开始运动时的速度。例17、如图所示，质量均为 m的两小球系于轻弹簧的两端，并置于光滑水平桌面上弹簧原长为a，劲度系数为k。今两球同时受冲力作用，各获得与连线垂直的等值反向的初速度，若在以后运动过程中弹簧的最大长度b=2a，求两球的初速度 V0。例18、在半顶角为a的圆锥面内壁离锥顶h高处以一定

13、初速度沿内壁水平射出一质量为 m的小球，设锥面内壁是光滑的。（1）为使小球在 h处的水平面上做匀速圆周运动，则初速 vo为多少？（ 2）若初速vi=2v 0,求小球在运动过程中的最大高度和最小高度。例19、（1）质量为m的人造地球卫星作半径为 ro的圆轨道飞行，地球质量为 M，试求卫星的 总机械能；（2）若卫星运动中受到微弱的磨擦阻力f （常量），则将缓慢地沿一螺旋轨道接近地球，因f很小，轨道半径变化非常缓慢，每周的旋转都可近似处理成半径为r的圆轨道运动，但r将逐周缩短，试求在 r轨道上旋转一周，r的改变量"r及卫星动能Ek的改变量"Ek。例20、图中a为一固定放置的半径为

14、 R的均匀带电球体,O为其球心，已知取无限远处的电势为零时，球表面处的电势为U=1000V。在离球心0很远的0 '点附近有一质子J 丿b，它以EK=2000eV 的动能沿与O O平行的方向射向a，以L表示b与O O线间的垂直距离。要使质子b能够与带电球体 a的表面相碰，试求 L的最大值。把质子换成电子，再求L的最大值。- m例21、由火箭将一颗人造卫星送入离地面很近的轨道，进入轨道时，卫星的速度方向平行于地面，其大小为在地面附近做圆运动的速度的3/2倍，试求该卫星在运行中与地球中心的最远距离。例22，如图所示，在水平光滑平面上开有一个小孔，一条绳穿过小孔，其两端各系一质量为 m的物体，

15、桌上的物体则以vo=3；2gr° 2的速率做半径为ro （即桌上部分的绳长）的匀速圆周运动，然后放手，求以后的运 动中桌上部分绳索的最大长度和最小长度。例23，一块半径为 R的水平轻质圆盘，可绕过其圆心 0的竖直轴自由旋 转，在圆盘下面的边缘处等间隔地系有四个质量都为m的小球，如图所示。开始时，圆盘静止，一辆质量也为 m的玩具汽车从 0出发，以恒定 的相对于盘的速率 vo沿半径驶往盘边，并沿盘边行驶，试求:(1)当玩具汽车沿半径行驶时，圆盘的转动角速度31 ； ( 2)当玩具汽车沿盘边行驶时，圆盘的转动角速度3 2。例24，若上题中的竖直轴不经过圆心，而经过某一小球的位置处，玩具汽车

16、从该轴处以恒定的相对于圆盘的速率 V0沿盘边行驶，试求：(1 )当玩具汽车行驶到第二小球位置处(即行驶了半圈)时，圆盘的转动角速度3 1 ; (2 )当玩具汽车行驶到第三小球位置处(即行驶了 3/4圈)时, 圆盘的转动角速度3 2； ( 3 )当玩具汽车回倒转轴处时，圆盘的转动角速度33。TL0M例25，在一根长为3L的轻杆上打一个小孔，孔离一端的距离为L,再在杆的两端及距另一端为L处各系一质量为 M的小球，然后通过此孔将杆悬挂于一光滑的 水平细轴0上，如图所示。开始时，轻杆静止，一质量为m的小铅粒以vo的水平速度射入中间的小球，并留在里面。若铅粒相对小球静止时杆的角位移可以忽 略，试求杆在以

17、后摆动中的最大摆角。例26，一质量为M a,半径为a的圆筒A被另一质量为M b、半径为b的圆筒B同轴套在其外，均可绕轴自由旋转。在圆筒A的内表面上散布了薄薄的一层质量为Mo的砂子，并在壁上开有许多小孔。在t=0时，圆筒以角速度3 o绕轴匀速转动，而圆筒 B则静止。打开小孔，砂子向外飞出并附着在 B筒的内壁上，如图所示。设单位时间内喷出砂子的质量为k ,例27，光滑水平面上有与小球B连接。开始时小球 A被一轻绳拴住，轻绳穿过平面上小孔A球在水平面上绕 O做匀速圆周运动，B球静止并忽略砂子从 A筒飞到B筒的时间，求t时刻两筒旋转的角速度。地向下垂挂着，如图所示。今使小球B的质量缓慢增加，直到 A球绕O点做匀速圆周运动的半径缩短一半，试问此时 B球质量为初始质量的多少倍？且继续做纯滚动,例28 ,实心圆柱体从高度为 h的斜坡上由静止做纯滚动到达水平地面上，与光滑竖直墙发生完全弹性碰撞后返回，经足够长的时