竖直平面内圆周运动临界问题及应用

1、五、竖直平面内的圆周运动竖直平面内的圆周运动是典型的变速运动，高中 阶段只分析通过最高点和最低点的情况，经常考查临 界状态，其问题可分为以下两种模型一、两种模型模型1: “轻绳类”增大，注意 杆与绳不同，在最高点，杆对球既能产 生拉力，也能对球产生支持力，还可对球的作用力为 零.小结 如果小球带电，且空间存在电磁场时，临界条绳对小球只能 产生沿绳收缩方向 的拉力（圆圈轨道问 题可归结为轻绳 类），即只能沿某一图1个方向给物体力的作用，如图 1、图2所示，没有物 体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况:（1）临界条件：在最高点，绳子 （或圆圈轨道）对小球没 有力的作用，Vo = gR矚

2、慫润厲钐瘗睞枥庑赖。小球能通过最高点的条件：V _ 丽，当V gR时绳对球产生拉力，圆圈轨道对球产生向下的压力小球不能过最高点的条件：V：頑，实际上球还没到最高点就脱离了圆圈轨道，而做斜抛运动模型2: “轻杆类”聞創沟燴鐺險爱氇谴净。有物体支撑的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况，如图3所示,（小球在圆环轨道内做圆周运动件应是小球重力、电场力和洛伦兹力的合力作为向心 力，此时临界速度 v丰gR （应根据具体情况具体分 析）另外，若在月球上做圆周运动则可将上述的g换成g月，若在其他天体上则把g换成g天体.二、两种模型的应用【例1】如图5所示，质 量为m的小球从光滑的 斜面轨道的 A点由静止

3、 下滑，若小球恰能通过半5B而做圆周运动，问径为R的竖直圆形轨道的最高点A点的高度h至少应为多少？酽锕极額閉镇桧猪訣锥。【解析】此题属于“轻绳类”，其中“恰能”是隐含条件，即小球在最高点的临界速度是v临界=.Rg，根据的情况类似“轻杆类” 如图4所示，）：（1）临界条件：由于硬杆 和管壁的支撑作用，小 球恰能到达最高点的临 界速度Vo =0图3图4（2）小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况:当v=0时，轻杆对小球有竖直向上的支持力N，其大小等于小球的重力，即N二mg ； 2 2当 0 :v ；：、fgR时，因 mg -N =mV，则 N 二mg -mV . RR轻杆对小球的支持力 N竖直向上，

4、其大小随速度的增大而减小，其取值范围是 mg N 0 .残骛楼諍锩瀨濟溆 塹籟。 2当 v*-.f；gR 时，贝U mg N =m，即R2VN =m mg,R y杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而机械能守恒定律得mgmg 2R 2mv临界把v临界二Rg代入上式得：hmin =- R 2【例2】如图6所示，在竖直向下的匀强电场中， 一个 带负电q、质量为m且重力大于所受电场力的小球， 从光滑的斜面轨道的 A点由静止下滑，若小球恰能通 过半径为R的竖直圆形轨道的最高点B而做圆周运动，问A点的高度h至少应为多少？【解析】此题属于“轻杆类”，带电小球在圆形轨道 的最高点B受到三个力作用：电

5、场力F =qE，方向竖直 向上；重力mg ;弹力 式，有2mg N _qE 二 m翌彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。要使小球恰能通过 圆形轨道的最高点B而做圆周运动，说 明小球此时处于临 界状态，其速率vB为 临界速度，临界条件是N ,方向竖直向下.由向心力公N =0 .由此可列出小球的临界2状态方程为mg -qE =mR根据动能定理，有（mg-qE） （h-2R） =1 m£解之得：hu =- R謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。22说明把式中的 mg-qE换成m，较容易求出R【例3】如图6所示，在竖直向下的匀强电场中,一个hmin由式可得：vB = R qB _ (qB)2 4m g2m I V带正电

6、q、质量为m且重力大于所受电场力的小球,从光滑的斜面轨道的 A点由静止下滑，若小球恰能通 过半径为R的竖直圆形轨道的最高点B而做圆周运R因vb只能取正值，即“丽r 2 4m gqB+J(qB)2+动，问A点的高度h至少应为多少？【解析】此题属于“轻绳类”，题中“恰能”是隐含 条件，要使带电小球恰能通过圆形轨道的最高点B而做圆周运动，说明小球此时处于临界状态， 其速率vB为；B+J（qB）2+竺 1 R【例5】如图8所示，在竖直向下的均匀电场中，带正电q、质量为m的电荷，从光滑的斜面轨道的 A点则 hmin =2R._m_8m g一个由上述二式解得:hminR2图7临界速度，临界条件是N =0

7、.由此可列出小球的临界2状态方程为：mg+qE =口竺R1根据动能定理，有 （mg+qE） （h-2R） hmp 小结 上述两题条件虽然不同， 但结果相同，为什么？ 因为电场力与重力做功具有相同的特点，重力做功仅与初、末位置的高度差有关；在匀强电场中，电场力 做功也仅与沿电场力方向的距离差有关我们不妨可 以这样认为，例 2中的“等效重力加速度gi ”比例1中 的重力加速度 g减小， 例3中的“等效重力加速 度g2 ”比例1中的重力 加速度g增大.例2中v临界Rg ,2mgh =mg 2R mv临界2由静止下滑，若小球恰能通过半径为R的竖直圆形轨道的最高点B（圆弧左半部分加上垂直纸面向外的匀 强

8、磁场），问点A的高度h至少应为多少？茕桢广鳓鯡选块 网羈泪。【解析】此题属于 “轻绳类”，题中“恰能”是隐含条 件，要使小球恰能 通过圆形轨道的最 高点B，说明小球 此时处于临界状 态，其速率vB为临 界速率，临界条件是N=0,由此可列出小球的临界状2态方程为 mg+qvBB+qE =mR1 2(mg qE) (h_2R)mvB2由式可得：vB = R qB _ (qB)2 - 4m (mg qE) 2m YR因vb只能取正值，即Vb.|qB +J(qB)2 +嚮(mg +qE)2m HR则一例3中v临界= .、Rg2 , mgzh =mg22Rmv临界.2hmin 2R把v临界代入各自对应的

9、式子，结果mgi、mg2分别都约8m(m： qE严 ZB)24m (mg qE)R5去 了，故 hminR 2【例4】如图7所示，一个带正电q、质量为m的电荷，小结 小球受到的洛伦兹力与轨道的弹力有相同的特点，即都与速度v的方向垂直，它们对小球都不做功,而临界条件是 N =0 .鹅娅尽損鹤惨歷茏鴛賴。mgh =mg均为m =1.0 10kg，乙所带电荷量 q=2.0 10三C, g从光滑的斜面轨道的 A点由静止下滑，若小球恰能通 过半径为R的竖直圆形轨道的最高点B（圆弧左半部分加上垂直纸面向外的匀强磁场 ），问点A的高度至少 应为多少？厦礴恳蹒骈時盡继價骚。【解析】此题属于“轻绳类”，题中“恰

10、能”是隐含条件，要使小球恰能通过圆形轨道的最高点B，说明小球此时处于临界状态，其速率 vB为临界速率，临界 条件是N =0，由此可列出小球的临界状态方程为y2mg +qvB B =mR【例6】如图9所示，ABD 为竖直平面内的光滑绝 缘轨道，其中AB段是水 平的，BD段为半径 R=0.2m的半圆，两段轨 道相切于B点，整个轨道 处在竖直向下的匀强电场中，场强大小E=5.0 103V/m . 一不带电的绝缘小球 甲，以速度V。沿水平轨道向右运动，与静止在B点带正电的小球乙发生弹性碰撞。已知甲、乙两球的质量取10m/s2 .(水平轨道足够长，甲、乙两球 可视为质点， 整个运动过程无电荷转移)籟丛妈

11、羥为贍债蛏练淨。(1 )甲乙两球碰撞后，乙恰能通过轨道的最高点D，求乙在轨道上的首次落点到B点的距离；(2) 在满足(1)的条件下。求的甲的速度 vo ；(3) 若甲仍以速度vo向右运动，增大甲的质量，保持乙的质量不变，求乙在轨道上的首次落点到B点的距离范围.【解析】(1 )在乙恰能通过轨道最高点的情况下，设 乙到达最高点速度为 vd，乙离开D点到达水平轨道的 时间为t，乙的落点到 B点的距离为x，则預頌圣鉉儐歲 龈讶骅籴。vD61 mg +qE 2_mg qE =m D 2R =()t2R2 mx =vDt联立得x =0.4m(2)设碰撞后甲、乙的速度分别为v甲、v乙，根据动量守恒定律和机械

12、能守恒定律有mv0 = mv甲-mv乙1 2121 2-mvomv甲亠一m比222联立得v乙=v011由动能定理，得 -mg 2R-qE 2R=-mvD mv!22联立得vo = 5(mg .Eq)R =2 5m/sV m(3)设甲的质量为 M，碰撞后甲、乙的速度分别为vm、vm，根据动量守恒定律和机械能守恒定律有Mv。=Mvm mvm1 Mv；MvM m£ 2 2 2联立得Vm仏 M +m由和M > m，可得 v0< vmv 2v0设乙球过D点时速度为vD，由动能定理得1 '2 1 2-mg 2R-qE 2RmvD -mvm2 2联立O 得2m/s< vD

13、 v 8m/sO渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。设乙在水平轨道上的落点距B点的距离x',有 x'二vDt铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。联立O 得：0.4mw xv1.6m【例7】如图10所示，杆长为L , 端固定一质量为 m的小球，杆的 质量忽略不计，整个系统绕杆的另 一端在竖直平面内做圆周运动.g =10m/s2 求：(1) 小球在最高点 A的速度va为 多少时，才能使杆和小球m的作用 力为零？擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。(2) 小球在最高点 A时，杆对小球的作用力 F为拉力和Mfi* T 图11 图12推力时的临界速度分别是多少？(3) 若 m = 0.5kg , L = 0.5m , vA =

14、0.4m/s ,则在最高点A和最低点B，杆对小球m的作用力多大？【解析】此题属于“轻杆类” 若杆和小球m之间无相互作用力，那么小球做圆周运动的向心力仅由重力2mg提供，根据牛顿第二定律，有：mg=m*解得v gL(2)若小球m在最高点A时，受拉力F，受力如图112所示，由牛顿第二定律，有：F +m = m1贓熱俣阃歲匱 阊邺镓騷。FL 解得 w = JgL + 百若小球m在最高点A时，受推力F ,受力如图12所2示，由牛顿第二定律，有:mgF =口土L解得：v2 =JgLcjg匸坛搏乡囂忏蒌鍥铃氈淚。可见vA = gL是杆对小球m的作用力F在推力和 拉力之间突变的临界速度. 杆长L =0.5m

15、时，临界速度w =. gL =2.2m/s,2 va =0.4m/s< v°,杆对小球有推力 Fa，有 mg - Fa = m* , 则Fa =4.84N 由a至B只有重力做功，机械能守 恒.设B点所处水平面为参考平面，则1 mv +mg 2L =解得 vBvA 4gL =4.5m/s.2 在最低点B，小球m受拉力FB ,由FBmg=m¥2解得 FB =mg +m =25.3N .【例8】如图13所示，光滑的圆管轨道 AB部分平直,BC部分是处于竖直平面内半径为R的半圆，圆管截面半径r ,有质量为m、半径比r略小的光滑小球以水平 初速度度v0射入圆管.蜡變黲癟報伥铉锚

16、鈰赘。(1)若要小球能从C端出来，初速v0多大？ (2)在小球从C端出来瞬间，对管壁压力有哪几种典型情况，初速度【解析】本题综合考查了竖直平面内圆周运动临界问 题；属于“轻杆类” (1)小球恰好能到达最高点的条件是vc =0，由机械能守恒，初速度应满足：fml =mg 2R，即v0 =j4gR .要使小球能从 C端出来，需Vc _0，所以入射速 度 _ 4gR.(2)在小球从C端出来瞬间，对管壁压力有以三种典型 情况：球的最高点.(2)当v = . gR，因轨道对小球不能产生弹力，故此时刚好对管壁无压力，此时重力 恰好充当向心力，即mg由机2Vc =m.L械能守恒定律，知1 22mVo12二m

17、g 2R ： _mvc联立解得：v.；i5gR对下管壁有压力14(3)当v . . gR，小球已脱离凸半球最高点做平抛运动.如图18所示，小球若通过凹半球的最低点时速度只要由以上分析可知，通过凸 (或凹)半球最高点(或最2m>mVL ,相应的入射速度Vo应满足4gR兰抵師 .对上管壁有压力，此时2应有 mg <m± ,相应的入L射速度Vo应满足Vo . 5gR 小结本题中的小球不能 做匀速圆周运动，它的合 力除最高点与最低点过圆心外，其他条件下均不过圆心，因而在一般位置处，它具有切向加速度【例9】如图14所示，一内壁光滑的环形细圆管位于 竖直平面内，环的半径 R(比细管的

18、半径大得多)，在 圆管中有两个直径与细管内径相同的小球A、B ,质量分别为mA、mB ,沿环形管顺时针运动，当 A球运动到 最低点时，速度为Va , B球恰到最高点，若要此时圆 管的合力为零，B的速度vB为多大？【解析】本题综合考察了竖直平面内圆周运动临界问题的分析，属于“轻杆类”.在最低点对A球进行受力 分析，如图15所示，应用牛顿第二定律有2VaNa fg =mA 石由牛顿第三定律，球 A对管有向下的压力 Na，= Na , 根据题意Na，=Nb',即球B对对管有向上的压力 Nb', 球B受力情况，如图16所示，由牛顿第三定律，管对 球B有向下的压力 Nb , Nb'

19、;Nb，对球B应用牛顿第2二定律，有： Nb +mB g =mB ,由于 Na =NbR联立可得 vB = JAvA +( +1)gRVmBmB三、小球在凸、凹半球上运动如图17所示，小球在凸半球上最高点运动时：買鯛鴯譖昙膚遙闫撷凄。(1)当0 : V： .gR，小球不会脱离凸半球且能通过凸半低点)的临界条件是小球速度0 ：v：./gs(或v 0).【例10】如图19所示，汽车质量为1.5 104kg，以不 变速率通过凸形路面，路面半径为 15m，若汽车安全 行驶，则汽车不脱离最高点的临界速度为多少 ？若汽车 达到临界速度时将做何种运动 ？水平运动位移为多少？【解析】(1)此题属于“轻绳类”，

20、即轨道只能沿某一 方向给物体作用力，临界条件为汽车对轨道压力N =0,则汽车不脱离最高点的临界速度为V。，则有：2mg =m，可得 v =TgR ;R(2)当v° = _ gR时，汽车在轨道最高点仅受重力作用， 且有初速度 gR，故做平抛运动，则R1 gt2, x=v°t,可得：X = 2R . 綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。【例11】小明站在水平地面上， 手握不可伸长的轻绳一端，绳的 另一端系有质量为 m的小球，甩 动手腕，使球在竖直平面内做圆 周运动.当球某次运动到最低点 时，绳突然断掉，球飞离水平距 离d后落地，如图20所示.已知 握绳的手离地面高度为 d，手与图20球之间的绳长为 -d ,重力加速度为g .忽略手的运动4半径和空气阻力. 驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。