点集拓扑学考试题目及答案

1、下为点集拓扑学考试的辨析题和证明题，解答是本人 自己写的，可能有错误或者不足，希望对大家的考试 有帮助。二、辨析题（每题 5 分，共 25 分，正确的说明理由， 错误的给出反例）1、拓扑空间中有限集没有聚点。 答：这个说法是错误的。反例： X a,b,c ，规定拓扑X , , a ，则当A a 时，b和c都是 A的聚点。因为 b和c的领域只有 X 一个，它包含 a，a不是 A的聚点，因为 A a 。2、欧式直线 E1 是紧致空间。 答：这个说法是错误的。反例：对 E1而言，有开覆盖 n,n | n Z ，而 对于该开覆盖没有有限子覆盖。3、如果乘积空间 X Y道路连通，则 X 和Y都是道路 连

2、通空间。答：这个说法是正确的。证明：对于投射有 P1 X Y X ，P2 X Y Y ，由 投射是连续的，又知 X Y 是道路连通，从而像也是道 路连通空间，所以 X 和Y 都是道路连通空间。4、单位闭区间 I 与 S1不同胚。 答：这个说法是正确的。面用反证法证明，反设 I 与 S1 同胚，则f |2 21 : 2 12 S1 f 12 也是同胚映射， I 12 不连通，则S1 12 不连通，故矛盾，所以单位闭区间 I 与 S1不同胚5、紧致性具有可遗传性质。 答：这个说法是错误的。反例 ： 0,1 紧致但 0,1 不紧致。 三、证明题（每题 10 分，共 50 分） 1、规定 f : E1

3、 0,1 E1为 f x xx,1 xx 01，证明 f 是连x 1 x 1续映射，但不是同胚映射。 证明：由于 f 限制在 ,0 与 1,理， f 连续。但 f 1不连续， 如但f,0,0上连续，由粘接引 ,0 是 E1 0,1 的闭集 ,0 不是 E1 的闭集，所以 f 不是同胚映射2、证明： Hausdorff 空间的子空间也是 Hausdorff 空间。 证明：设 X 是 Hausdorff 空间， Y 是 X 的任一子空间， 需证Y 是Hausdorff 空间。 x,y Y，由 X 是Hausdorff 空 间，所以存在 x,y在 X 的开邻域 U 、V 使得U V ， U Y 是

4、x在Y 中开邻域， V Y 是 y在Y 中开邻域， U Y V Y U V Y ，故 Y 是 Hausdorff 空3、证明：从紧致空间到 Hausdorff 空间的连续双射是同 胚。证明：要证明 f 1 :Y X 连续，只需证 f 是闭映射， 设 A 是 X 的闭子集紧致，所以 A 是紧致的。又因为紧 致空间在连续映射下的像也紧致，所以 f A 是Y 的紧 致子集，又由于 Hausdorff 空间的紧致子集是闭集，所 以 f A 是 Y 的闭集。4、设 X0是 X 的既开又闭的子集， A 是 X 的连通子集， 则或者 A X0 或者 A X0 。证明： A X0是 A的既开又闭的子集，由于 A 连通， 则或者 A X0 或者 A X0 A即 A X0 。5、证明：道路连通性具有可乘性质。证明：设 x0, y0 是 x1, y1 是 X Y 中两点， X 和Y 都是道 路连通，则有 X 中道路 a ，以 x0,x1为起始点，又有 Y 中 道路 b ，以 y0, y1为起始点，作 X