点到直线的距离公式的推导过程及其应用

1、.点到直线的距离公式的推导过程一、公式的导出设点 P(x, y)为已知直线 l : Ax By C0外一点，如何求它到该直000线的距离？解：设过点 P0且与已知直线 l垂直的直线为 l /，垂足为 D (x, y),点 P0 到 l 的距离为 d，则 dP0D.yP0l : AxByC0dD0xl /由 AxByC0k lA,B又因为 l /l ，所以， kl /B ;A代入点斜式，得：yy 0B ( xx 0 ),A即， BxAyAy 0Bx 00,由AxByC0，得：BxAyAy 0Bx 00，xB 2 x 0ABy 0AC ， yA 2 y0ABx 0BC ;A 2B 2A 2B 2x

2、 x0A ( Ax 0By 0C ) ， yy 0B ( Ax 0By 0 C )，A 2B 2A 2B 2d( x x 0 ) 2( yy 0 ) 2'.A( Ax02B( Ax02By0 C )By0 C )A 2B 2A 2B 2( Ax 0By0C ) 2A 2B 2Ax0By 0CA 2B 2.即，直线外一已知点P0 到已知直线 l 的距离公式为：Ax0By0CdB2.A2二、公式的应用（一）求点到直线的距离：例 1、 求点 P（ 1，2）到下列直线的距离： 3x4 y50 ；3x5 ；y1.分析：应用点到直线的距离公式时应该把直线方程化为一般式解 根据点到直线的距离公式，得

3、 ：3(1)42 56d4) 2.32(5 将直线方程化为一般式，得：3x 5 0.根据点到直线的距离公式，得 ：3(1)0258d.32023 将直线方程化为一般式，得： y10.根据点到直线的距离公式，得 ：0(1)121d3.2201评析：当已知直线与x(或 y)轴平行时，用几何意义来解会更简洁'.（二）求两平行直线间的距离：例 2、 求两平行直线2x3 y60和2x3y40之间的距离分析：因为两平行直线间的距离处处相等，所以，我们可以在其中的某条直线上任取一点P（一般是取其与坐标轴的交点） ，则两平行直线间的距离即为点P 到另外那条直线的距离解：在直线 2x3y40上取其与 x

4、轴的交点 P（2，0），则：223061013 d22( 3)213（三）证明两平行直线 x ByC10与 xBy C0的距离为：dC1C2A2B2证明：如图所示，设 Px, y2l,过点 P 向 l 作垂线，垂足为 D,22221则，垂线段 P2 D的长即为两平行线间的 距离 d.由点到直线的距离公式,得 : yAx2By2C1P2l2 : Ax By C 2 0dA2B 2d: Ax By C10Ax2By2C20,l1Ax2By2C2 ,0DC1C2,dA2B2x即,原命题成立 .三、课堂练习1、求点（ 2,1）到直线 3x4 y50 的距离'.2、求点（ 1,-2）到直线 xy 3的距离3、求直线 2 x 4 y7 0 和直线 x2y 6之间的距离附答案： 1、 d7；2、 d0 ；3、 d195510四、课后练习1、求下列点到直线的距离： A( 3，2)，3x 4 y 120 ； B(1，1)，3x y3 0 ； C ( 1,2)， x y 02、求下列各平行线间距离： 2x3y60与2 x3y160 ； 3x 2y 4 0与3x 2y 2 03、在 y 轴上，求与直线 y1 x的距离等于 10的点3附答案： 1、11