17-18版第4章热点探究训练2

1、热点探究训练(二)1. 设函数 f(x) 3X t aX(a R).D(1)若 f(x)在X 0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线yf(x)在点(1 ,f(1) 处的切线方程；62172116】(2)若f(x)在3,+x)上为减函数，求a的取值范围.【导学号:解(1)对f(x)求导得f' (x) =x2x6x+ a e 3x + ax ex2(e )23x + 6 a x+ a因为f(x)在x 0处取得极值，所以f' (0) 0,即a 0.23x 3x + 6x当 a 0 时，f(x) g，f' (x)旷，故 f(1)=e，f' (1)=3e，从而f(x)33

2、在点(1，f(1)处的切线方程为y-(x 1)，D D化简得3x ey= 0.23x + (6 a X+ a (2)由(1)知 f' (x) 2令 g(x) 一 3x + (6一 a)x+ a，6 a A/a + 36由 g(x) 0 解得 X1 6X2 =6 a+ a + 366当 XVX1 时，g(x)<0, 即 卩 f' (x)<0，故 f(x)为减函数;当 X1<X<x2 时，g(x)>0，即 f' (x)>0,故 f(x)为增函数;当 x>x2 时，g(x)<0，即 卩 f' (x)<0，故 f(x

3、)为减函数.11 分6 a+ a + 36 由f(x)在3, +O)上为减函数，知X2 6W3,9解得a>号.故a的取值范围为卜2,+ OO14分2. (2017苏州模拟)设函数f(x) = e2-kj|+ In x (k为常数，e= 2.718 28是自 然对数的底数)(1) 当k<0时，求函数f(x)的单调区间；(2) 若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，求k的取值范围.解(1)函数y= f(x)的定义域为(0,+).2 x小xx e 2xe-k - 7+x 2 £x kxx .x xxe 2e k x 232:xx由 k< 0 可得 e kx>0

4、,所以当x (0,2)时，f' (x)<0，函数y=f(x)单调递减，当x (2,+)时, f' (x)>0，函数y=f(x)单调递增.所以f(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，+).6分由(1)知，k< 0时，函数f(x)在(0,2)内单调递减，故f(x)在(0,2)内不存在极值点；当 k>0 时，设函数 g(x) = e kx，x 0， +).因为 g' (x)= e" k= e" eln k，当0<k< 1时，当 x (0,2)时，g' (x)= e-4 k>0，y= g(x)

5、单调递增,故f(x)在(0,2)内不存在两个极值点；当k>1时,得 x (0, In k)时，g' (x)<0,函数 y= g(x)单调递减， x (In k,+x)时，g' (x)>0，函数 y= g(x)单调递增.所以函数y= g(x)的最小值为g(ln k) = k(1 In k).函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点,g(0>0,g(ln kj<0,当且仅当g(2>0,J 0<ln k<2,2 e 解得evkvq.综上所述，函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点时，k的取值范围为x23. (2016全国卷 I )已知

6、函数 f(x)= (x-2)e + a(x 1).讨论f(x)的单调性；(2)若 f(x)有两个零点，求a的取值范围.解(1)f (x) = (x 1)ex + 2a(x 1) = (x 1)(ex + 2a).(i )设 a>0,则当 x ( k, 1)时,f' (x)v0;当 x (1 ,+k )时，f' (x) > 0.所以f(x)在(k, 1)上单调递减，在(1,+k)上单调递增.(ii )设 av 0,由 f' (x)= 0 得 x= 1 或 x= ln( 2a).ex 若 a= 2，则 f (x) = (x 1)(e e),所以f(x)在(k ,

7、 + k)上单调递增.e 若 a> 2，则 ln( 2a)v 1,故当 x (k, ln( 2a) U (1,+k)时，f' (x)>0； 当 x (ln( 2a), 1)时,f' (x)v0.所以 f(x)在(一k, ln( 2a), (1,+k)上单调递增，在(ln( 2a),13分e, /14分1分3分1)上单调递减.e若 av 2,贝U ln( 2a)> 1,故当 x (x, i)u (ln( 2a),+x)时，f' (x)>0；当 x (1 , ln( 2a)时，f' (x)v0.所以f(x)在(x, 1),仲(2a), +)上

8、单调递增，在(1, ln( 2a)上单调 递减7分(2)(i )设a>0,则由(1)知，f(x)在(x, 1)上单调递减，在(1,+x)上单调aa递增.又 f(1) = e, f(2) = a, 取 b 满足 bv 0 且 bv l门2，则 f(b) >2(b 2)+ a(b1)2 = a b2 3b > 0,所以f(x)有两个零点.9分(ii )设a= 0,则f(x)二(x 2)&，所以f(x)只有一个零点.e(iii )设av 0,若a> 2,则由(1)知，f(x)在(1,+x)上单调递增.又当x< 1 e时f(x) v0,故f(x)不存在两个零点；若

9、av 2,则由知，f(x)在(1, ln( 2a) 上单调递减，在(ln( 2a),+x)上单调递增.又当x< 1时，f(x)v0,故f(x)不存 在两个零点.综上，a的取值范围为(0,+x).14分4. (2017 盐城模拟)已知函数 f(x)= aln x ax 3(a R).(1) 求函数f(x)的单调区间；(2) 若函数y= f(x)的图象在点(2, f(2)处的切线的倾斜角为45°对于任意的t 1,2函数g(x) = x3 + x2f (x)+ m 在区间(t,3)上总不是单调函数，求 m的取值 范围；求证： 普 X 罟 X 呼 X-XnA 2, n N+).【导学号

10、：62172117】 234n na(1 x)解(1)f' (x) = (x>0).当a>0时，f(x)的单调增区间为(0,1,减区间为1 ,+x)；当a<0时，f(x)的单调增区间为1 ,+x)，减区间为(0,1； 当a= 0时，f(x)不是单调函数.(2)由 f' (2) = q = 1 得 a=-2,f (x)二2x 2x1 <0,2<0,3>0,8分+ g )时tn2, n贝U有 0<ln n<n 1,In n n 1/.0<g(x) = x3+ m + 2 x2 2x,2g' (x)= 3x + (m+ 4)x2.g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，且 g' (0) = 2, g' t<0,g(3>0.g由题意知：对于任意的t 1,2, g' (t)<0恒成立，所以有：gI gf<m< 9.(3)证明：令 a= 1,此时 f(x)= In x+x 3,所以