专题5.1数列的概念与简单表示法(解析版)

1、第五篇数列及其应用专题5.1数列的概念与简单表示法【考纲要求】1 .了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表法、图象法、通项公式法 ).2 . 了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数【命题趋势】数列的概念和简单表示法在高考中主要考查利用an和Sn的关系求通项an,或者利用递推数列构造等差或等比数列求通项 an.【核心素养】本讲内容主要考查逻辑推理的核心素养.【素养清单？基础知识】1 .数列的概念(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.(2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集1 , 2,，n)为定义域的函数an

2、= f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.数列是一种特殊的函数，在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性.(3)数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法.2 .数列的分类宥限数列：项数有限个；按照项数有限和无限分：|无限数列：项数无限个；,递增数列：an+1>an,(2)按单调性来分:J递减数列：an + 1<an,常数列：an+1 = an = C(常数), 、摆动数列.3 .数列的两种常用的表示方法(1)通项公式：如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.注意：

3、1、并不是所有的数列都有通项公式；2、同一个数列的通项公式在形式上未必唯一(2)递推公式：如果已知数列an的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项与它的前一项 (或 前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.通项公式和递推公式的异同点小同点相同点通项公式可根据某项的序号n的值，直接代入求出 an都可确定一个数列，也都可求出数列的任项递推公式可根据第一项（或前几项）的值，通过一次（或多次）赋值，逐项求出数列的项，直至求出所需的an【素养清单？常用结论】'Si, n= 1,（1）若数列an的前n项和为Sn,通项公式为an,则ann'

4、s _1, n>2, nCN（2）在数列an中，若an最大,则an > an 1,an25 an+1.若an最小,anW anT )an W an+1.【真题体验】1.【2019年高考浙江卷】设 a, bCR,数列an满足a1=a, an+1=an2+b,即，则（）a .当 b =,a > 102c.当 b = -2,%)10B.当 &二;Qjq > 10d.当方=-4&10【答案】A【解析】当b=0时，取a=0,则约 ”_：.当上。时，令工二，+3,即/-1+5=0.则该方程力二1 一第>0,即必存在有 ,使得x；.%+b = 0,则一定存在口3

5、城，使得+占=%对任意汉E N4成立,解万程J-d+b = 0,得口二，U当1+正品菖。时,即殛-90时，总存在叫叱叵,使得外二电二色0 10 ,故C、D两项均不正确.当60时，的=，则。广,+力力+力，121+=21716贝U1书1+二 +一二>2, 6 I 2J 2 4初二+L艺 。， 32 4则仅9 二口; + > 1 0 ,1=可 + $ > 10 ,11故A项正确.(ii)当 3 二;时，令 1=0 ,则勺二1%+1=1,以此类推,所以.1 1十一二一，4 2故B项不正确.故本题正确答案为 A.【名师点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展利用函数方程思想，通过研究函

6、数的不动点，进一步讨论。的可能取值，利用 排除法”求解.2.已知数列的通项公式为an=n2-8n+15,则 3()不是数列an中的项B.只是数列an中的第C.只是数列只n中的第D.是数列an中的第2项或第6项【答案】D【解析】 令an=3,即n2-8n+15=3,解得n=2或6,故3是数列an中的第2项或第6项.故选D.3.数列an中,25A. 931C.15. 、一 一一 _ *一 ai = 1,当 n>2 且 n C N 时,25B.1661 D.162nan= /n- 1 2，贝U a3+a5=(【答案】Dn29259 25 36 25 61【解析】因为 an=(n_ 1 2(n&

7、gt;2),所以 a3= 4, a5=16，所以 a3+ a5= 4+ 16 = 16+ 16 = 16.14.在数列an中，a1=1，an = 1+ an(n> 2),则 a5=8【答案】5358【解析】 由题意知 a1=1, a2=2, a3 = 2, a4 = 3, a5 = 5.5,已知数列an的前n项和Sn=2n-3,则数列an的通项公式是1, n= 1,【答案】an= 2n 1 n> 2【解析】 当n=1时，aI = S1=2 3= 1；当 n>2 时，an=SnSn1 = (2n 3)(2n一1一3)=2n2nT=2nT.1, n=1,故 an= pn n>

8、;2.【考法拓展？题型解码】考法一由数列的前几项求数列的通项公式归纳总结：由数列的前几项求通项公式的思路方法(1)分式形式的数列，分别求分子、分母的通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系.(2)若第n项和第n+1项正负交错，那么符号用(一1)n或(一1)"1或(一1厂1来调控.(3)对于较复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，这就需要将数列各项的结构形式加以 变形，可使用添项、通分、分割等方法，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和” “差” “积” “商”后再进行归纳.【例1】 写出下面各数列的一个通项公式.(1)3, 5, 7, 9,；1 3 7 15 31(

9、2)2，4，8，16，32，；31 31 3(3) 1, 2， 3，4， 5，6，；(4)3, 33, 333, 3 333,.【答案】见解析【解析】(1)各项式减去1后为正偶数，所以an=2n+1.“ c .，2n _ 1(2)每一项的分子比分母少1,而分母组成数列21 22 23, 24,，所以an = 二.(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(1)n；各项绝对值的分母组成数列1, 2, 3, 4, 5,；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1,偶数项为3,即奇数项为21,偶数项为2+1,所以an12十仁1 n n, n为正奇数，=(1)n , n.也可写为 an= 1 3

10、In, n为正偶数.(4)将数列各项改写为3,詈，9F，9岁，分母都是3,而分子分别是101, 102- 1, 103- 1, 104- 1,，1所以 an=3(10n-1).考法二由递推关系求通项公式解题技巧：由递推关系式求通项公式的常用方法(1)已知a1且an - an 1 = f(n),可用“累加法”求 an.an(2)已知a1且an_1=f(n),可用“累乘法”求 an.(3)已知a1且an+1 = qan+b,则an+ + k= q(an+k)(其中k可由待定系数法确定)，可转化为等比数列an + k.Aan(4)形如an+1 = Ban+C(A, B, C为常数)的数列，可通过两边

11、同时取倒数的方法构造新数列求解.(5)形如an+an=f(n)的数列，可将原递推关系改写成an+2+an+1 = f(n+1),两式相减即得an+2 an= f(n+ 1)-f(n),然后按奇偶分类讨论即可.【例2】 根据下列条件，确定数列an的通项公式.n 1(1)a1=1, an= n an 1(n2)(2)a1= 2, an+ = an + 3n + 2;(3) a1 = 1 , an+ 1 = 3an+ 2.【答案】见解析n 1n 21n 1【解析】(1)因为an= n an 1(n>2),所以an 1 = n- 1 an 2,，a2 = 2a1，由以上(n1)个式子得an= n

12、n 2 n 32 1ali1x n_ 1 x n_ 2X x 3X2Xa=n=n.又 a=1 满足上式，所以 an= n.(2)因为 an+i an= 3n + 2,所以 an一 an 1 = 3n 1(n>2),所以 an = (an an 1)+ (an 1 an-2)+ + (a2 al) + nf3n+ 11ai=(3n1)+(3n 4)+(3n7) + 5 + 2="2n>2).当 n=1 时，ai=，x (3X 1 + 1)= 2 符合上式，所以 an=3n2 + 2.an+ 1 + 1 (3)因为 an+1= 3an + 2,所以 an+1 = 3(an+1

13、),即 an+ 1 =3.所以数列an+1为等比数列，公比 q=3,首项为a+1=2,所以 an+ 1 = 2 X 30 1,所以 an= 2X30 1 1.考法三 an与Sn的关系及其应用归纳总结Sn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化：一是利用an=SnSn-1(n>2)转化为只含Sn, Sn1的关系式，再求解；二是利用Si Si1 = an(n>2)转化为只含an, an 1 的关系式，再求解.(2)已知Sn求an的三个步骤先利用a1=S求出a1；用n- 1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an=SnSn-1(n>2)便可求出当n

14、> 2时an的表达式；注意检验n= 1时的表达式是否可以与n>2的表达式合并.【例3】(1)已知数列an的前n项和为Sn, a=1, Sn=2an+1,则Sn=()3A. 2nB.C.JtD.211【答案】BSn+1 33 1【解析】由已知S = 2an+1 得 S=2(Sn+1Sn),即2Sn+1 = 3Sn ,Sn=2，而S1=a1 = 1,所以Sn = 22.J.故选B.(2)已知数列an的前n项和为Sn,求an的通项公式.Sn= 2n?- 3n； Sn=3 + b.【答案】见解析【解析】当 n=1 时，a1 = S1 = 2-3=- 1;当 n>2 时，an = Sn

15、-Sn 1= (2n2-3n) - 2(n -1)2-3(n-1) =4n 5.由于a1也适合此等式，所以 an=4n5. a1=S1 = 3+b,当 n>2 时，an=Sn-Sn 1 = (3n+b)-(3n 1 + b)=2 3n 1.当b= 1时，a1适合此等式；当bw1时，a1不适合此等式.3+b, n=1,所以当 b =- 1 时，an= 2 3n 1；当 bw 1 时，an = 3 3n-1 n)2考法四 数列的性质解题技巧：数列的单调性和周期性的应用(1)解决数列单调性问题的三种方法用作差比较法，根据 an+1 an的符号判断数列an是递增数列、递减数列还是常数列；an +

16、 1用作商比较法，根据 W(an>0或anv 0)与1的大小关系进行判断；结合相应函数的图象直观判断.(2)解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.n【例4】(1)数列an的通项公式为an=7T90,则数列an中的最大项是()A. 3 板B. 191 ,10C.19D.-60-【答案】C90【解析】令f(x) = x+ x(x>0),运用基本不等式得f(x)R2V90,当且仅当x= 3尺时，等号成立.因为 an=111*1一证，所以 -90w2m0由于ne N ,故当n=9或n=10时，an=G最大.1 + ann+ nn+ n (

17、2)已知数列an满足a = 2, an+1 = 1an(nC N*),则该数列的前 2 022项的乘积 a a2 a3 a2 022 =【答案】-61 + a11 + a211 + a3 11 + a4【解析】)由题意可得 a2=1 a1=3, a3= 1 _ a2= - 2, a4= 1 _ a3= 3, a5= 1 _ a4= 2= a1，所以数列an1 1是以 4 为周期的数列，而 2 022 = 4x505+ 2,且 a1a2a3a4 = 2x ( 3) X 2K 3=1.故该数列前2 022项的乘积为a1a2= 6.【易错警示】易错点 忽视数列是特殊的函数【典例】已知数列an的通项公

18、式为an=(n+1)ELn(ne N *),试问该数列有没有最大项？仞1 1|他、 他、i血 201 i'10'T9n)【错解】：an+1 an= 41(n + 2) 41(n+ 1) = U1 ./y1n+ 11 n 1 J= 111 11 ，所以当nv9时，an+1>an；当n>9时，an+1< an,所以n=9,即an有最大项为a9.【错因分析】：本题利用作差法比较an+1与an的大小，其方法可行，但在讨论最大项时忽视了数列是特殊的函数这一特点，导致判断单调性出现错误.【正解】：an+1 an所以 nw8 时，an+1 an > 0 - n=9 时

19、，aio=a9；n>10 时，an+i an< 0.故ai va2< a3<va9=aio>aii>ai2所以an有最大项为a9和ai0.【跟踪训练】已知数列an中，an=n 3 n以上(n 1)个式子相乘得 an = a1 1 2n_ 1= na1 = n.当n = 1时，a1 = 1,上式也成乂.所以 an=n(nCN ).3,数列an的前n项和Sn=n2 + 1,则an =.+入9且an为递增数列，求实数入的取值范围.【答案】见解析【解析】 方法一 因为an+1 an=(n+1)2+ Nn+1)n2入42n+计1,所以由 an为递增数列可得 2n+入

20、+ 1 > 0,即X> 一 2n- 1对一切n C N恒成立.因为 n=1时，一 2n一 1取得最大值一 3,所以一 3,即 入 C (一 3, + 00 ).ob 3方法二 函数f(n)=n2+入n的图象的对称轴是 n = 2，如图，只需有一2V2，则 4 3,即 迁(-3,十).【递进题组】*,0, n为奇数，1+(1 n 1 + cos n %n 兀1 ,已知n(EN，给出4个表达式：an=1n为偶数an=2，an=2，an=sin 2其中能作为数列 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1,的通项公式的是()A.B.C.D.【答案】A【解析】检验知都是所给数列的通项公式

21、.n2 .在数列an中，a1=1, an = n_an-1(n>2),则数列an的通项公式 an =.【答案】n(nCN *)n【解析】因为an=n_1an 1(n>2),n1n 2所以 an 1 = n 2an 2, an 2= n _ 3an 3, ，a2=2a2, n=1,【答案】1, nn2【解析】 当n=1时，ai = Si=2；当 n=2 时,an = Sn-Sn i = n2+ 1 (n1y+1 = 2n1.2, n=1,当n= 1时，a1不满足上式，故 an=12n 1 n>2 K.>4 .设 Sn 为数列an的前 n 项和，且 a1= - C. 8D.

22、8 , an+1= SnSn+1 ,则 Sn=【答案】 n(nCN *)【解析】 因为 an+1=Sn+1 Sn , an+1= SnSn+1,所以 Sn+1 Sn= SnSn+1.因为 gw。，所以s Sm =1，即Sm Sn= -1.又S= 1,所以*Sn卡首项为一1,公差为一1的等差数列，所以=1 + (n1)X(1) = n,所以Sn=1一n.5 .已知数列an满足 an+1 = an an 1(n>2), a=m, a2 = n, Sn 为数列 an的前 n 项和，则 S2 023=【答案】 m【解析】 因为an+1=an-an1(n> 2), a=m,a2=n,所以a3

23、= n-m,a4 = m,a5=n,a6=mn,a7=m, a8=n,，所以 an+6=an(nCN ).则 S2 023 = S337 x 6+1 = 337x (a1 + a2 + + a6)+a1= 337X 0+m= m.【考卷送检】一、选择题1,已知数列an的通项公式an=2n-4, nC N*,若它的第k项满足2<a«5,则k=()A. 2B. 3C. 4D, 5【答案】C【解析】数列an的第k项满足2<ak<5,即2<2k 4<5,解得3<k<4.5.因为kC N*,所以k = 4.故选C.2,若数列 an的前n项和Sn满足Sn

24、 = 4 an(n C N ),则a5=()1A. 16B.161【解析】当 n = 1 时，ai =S1 = 4 ai,所以 %=2；当 n>2 时，an =Sn一Sn1 =an1 an ,所以an=2anT,11.1x25f(x)12314345所以数列an是以2为首项，以2为公比的等比数列，所以a5=2X 二卫.故选D.3.数列an的前 n 项和 Sn=2n2 3n(nC N ),若 p- q = 5,则 ap- aq=()A. 10B. 15C. -5D. 20【答案】D【解析】 当 n>2 时，an = Sn Sn 1 = 2n之一3n 2(n 1尸一3(n 1) = 4

25、n 5;当 n=1 时，a1=S1= 1 也符 合上式，所以 an= 4n5,所以 ap aq= 4(pq)= 20.4.函数f(x)由下表定义：若 a0=5, an + 1 = f(an)(nC N),则 a2 018 的值为()A. 1B, 2C. 4D. 5【答案】A【解析】因为a0=5,an + 1=f(an),所以 a1=f(a°) = f(5)=2,a2=f(a1)=f(2)=1,a3=f(a2)=f(1) =4,a4=f(a3)= f(4)=5, a5=f(a4)=f(5) = 2,，所以a1 = a5.所以an是以4为周期的周期数列.所以a2 018 = a2=1.5

26、. (2019翼州中学联考)若数列 an的通项公式是 an=( 1)n(3n 2),则a1 + a2+ a10等于()A . 15B. 12C. 12D. - 15【答案】A【解析】 由题意知 a1+a2+ a10=- 1 + 4-7+ 10+ ( 1)10X(3X102)=(1 + 4)+( 7+10)+-一 + (-1)9X(3X9-2)+(- 1)10X (3X10-2) = 3X5= 15.6.数列an中，an + 1 + (-1)nan=2n-1,则数列 an的前12项和等于()A. 76B. 78C. 80D. 82【答案】B【解析】 由已知an+什(- 1)nan= 2n 1 ,

27、得 an+ 2+ (_ 1)n1an + 1 = 2n+ 1 ,由得 an + 2+an=( 1)n(2n 1)+(2n+1),取 n=1, 5, 9 及 n=2, 6, 10,结果相加可得 S12 = a1+a2 + a3+a4+ a11 + a12= 78.故选 B.、填空题117.若数列的前4项分别是2, 3,i4,15,则此数列的一个通项公式为( n+1n+ 1(答案不唯一)1【解析】 数列白前4项分别是2,1 113, 4, -5,可得奇数项为正数，偶数项为负数，第n项的绝对值等于1n71,故此数列的一个通项公式为/ n+ 1 (T) n+ 1 .1*8 .数列an满足 an= 1

28、- an 1 (n>2,且 nC N ), a7= 2,则 a =当a7=2时,1 a7=1a6,111a6= 2，所以 1 a5= 2,1a5=1,所以 1a4 = 1, a4 = 2,所以 a7= a4,数列an是周期数列，故a1=a4=2.9 . (2019山东重点中学联考)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示 数.他们研究过如图所示的三角形数： 13610将三角形数1, 3, 6, 10,记为数列an,则数列an的通项公式为 .n n+ 1 an=2n(n+ 1 【解析】由图可知an+1 an=n+ 1 , a1=1,由累加法可得an=三、解答题10.

29、数列an的通项公式是an= n27n + 6(nC N).(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？(3)该数列从第几项开始各项都是正数？【答案】见解析【解析】(1)当 n=4 时，a4=424x7 + 6= 6.(2)令an=150,即n2-7n+6=150,解得n= 16或n= 9(舍去)，即150是这个数列的第16项.令 an=n2-7n+ 6>0,解得 n>6 或 n<1(舍去).所以从第7项起各项都是正数.11. (2019云南昆明一模)已知数列an的前n项和& = n2 + 1,数列bn满足bn=an21,且前n项和为.设 cn=T2n+1 Tn.(1)