第三章 空间向量与立体几何

1、第三章 空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算§3.1.1空间向量及其加减运算 §3.1.2空间向量的数乘运算自主探究学习1空间向量的概念： 在空间，我们把具有大小又有方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模. 向量的表示：几何表示法:用有向线段表示；字母表示法：用小写字母表示，或者用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示.2空间向量的加减运算：加法运算：平行四边形法则和三角形法则；减法运算：三角形法则. 3空间向量的加法与数乘向量运算律：1）加法交换律：；（2）加法结合律：；（3）数乘分配律：. 4. 共面向量的定义：一般地，平行于同一平面的向量，叫做共面向量

2、.5.共面向量的判定；平面向量中，向量与非零向量共线的充要条件是，类比到空间向量，即有共面向量定理 如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在有序实数组，使得.这就是说，向量可以由不共线的两个向量线性表示.名师要点解析 要点导学1.空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量.2.若为不共线且同在平面内，则与共面的意义是在内或.【经典例题】【例1】已知空间四边形，连结，设分别是的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：（1）； （2）； （3）【分析】结合图形，利用向量加法的平行四边形或三角形法则与向量减法的三角形法则进行化简._B_C_D_M_G_A【解

3、】如图，由加法的平行四边形或三角形法则与向量减法的三角形法则，得（1）；（2）；（3）【点拨】平面向量是空间向量的特殊情况，因此，对于空间中的任意两个向量的运算，平面向量中的运算法则都成立.【例2】 设空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若点P满足向量关系（其中x+y+z=1）试问：P、A、B、C四点是否共面？【分析】欲证P、A、B、C四点共面，只需证、共面.可利用、中一个向量能够用其它两个向量来表示证明.【解】由，可以得到，即，由A，B，C三点不共线，可知与不共线，所以，共面且具有公共起点A.从而P，A，B，C四点共面.【点拨】本例题的结论可作为判断四点共面的推论使用，反过来也成立.&#

4、167;3.1.3空间向量的数量积运算自主探究学习1.夹角的定义：是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作，则叫做向量与向量的夹角，记作.规定：.2.数量积：已知两个非零向量是空间两个非零向量，我们把数量叫作向量的数量积，记作，即.特别的，.3.空间向量的数量积的运算律：；（交换律）；（分配律）.名师要点解析 要点导学1.如果，那么与同向；如果，那么与反向；如果，那么与垂直，记作.2空间向量数量积的性质： （1）.（用于判定垂直问题）（2）.（用于求模运算问题）（3）（用于求角运算问题）【经典例题】【例1】已知空间四边形中，求证：【分析】利用向量证明两直线垂直，只要证明它们所在的向量的数量积为

5、0即可.【证明】【点拨】 用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算取计算或证明【例2】如图，在空间四边形中，求与的夹角的余弦值.【分析】欲求与的夹角的余弦值，可利用公式：，先算的数量积，再算它们模的乘积.【解】，. .所以，与的夹角的余弦值为【点拨】由图形看向量的夹角时易出错，如，易错写成，另外要注意与的夹角和与的夹角的区别与联系.§3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示§3.1.5空间向量运算的坐标表示自主探究学习1.空间向量基本定理如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使2.空间直角坐

6、标系：若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示.3.空间直角坐标系中的坐标：给定空间直角坐标系和向量，设为坐标向量，则存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标4.空间向量的直角坐标运算律（1）若，则，.（2）在空间直角坐标系中，已知点，则（3）两点间的距离公式：若，则，或名师要点解析 要点导学ABCA1B1C1Myz1.设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使.由空间

7、向量定理可知，空间任意一个向量都可以用三个不共面的向量表示出来.2.将空间向量的运算与向量的坐标表示结合起来，不仅可以解决夹角和距离的计算问题，而且可以使一些问题的解决变得简单.【经典例题】【例1】 在直三棱柱中， ，是得中点.求证：.【分析】由于CA，CB，CC1两两垂直，可以建立空间直角坐标系，利用向量的数量积为0进行证明.【证明】如图，建立空间坐标系，则.，.【点拨】用向量证明比几何方法证明简单、明了，体现了坐标法的优势.【例2】在三棱锥SABC中，SAB=SAC=ACB=90°，AC=2，BC=，SB=（1）求证：SCBC；（2）求SC与AB所成角的余弦值.【分析】注意到SA

8、，AB，CB两两垂直，可以建立空间直角坐标系求解.【解】 如图，取A为原点，以AB、AS所在直线分别为y、z轴建立空间直角坐标系，则有AC=2，BC=，SB=，得B（0，0），S（0，0，2），C（2，0），_C_B_x_A_S_y_z =（2，-2），=（2，0）.（1）·=0，SCBC.（2）设SC与AB所成的角为，=（0，0），·=4，|=4，=，cos=，即SC与AB所成角的余弦值为.【点拨】通过建立空间直角坐标系，用三维坐标表示点，向量用坐标表示，进行向量的运算，不用添加辅助线就可解决立体几何问题. 3.2立体几何中的向量方法自主探究学习1.直线的方向向量：我们把

9、直线上的向量以及与共线的向量叫做直线的方向向量.2.平面的法向量：如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量.给定一个点，以向量为法向量的平面是完全确定的.3.空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及到的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义名师要点解析 要点导学1.用向量研究空间线面关系，设空间两条直线的方向向量分别为，两个平面的法向量分别为

10、，则有如下结论平 行垂 直与与与2.用向量法求线线角：与的夹角和与的夹角相等或互补.公式为.3.法向量求线面角：设平面的斜线l与平面所成的角为1，斜线l与平面的法向量所成角2，则1与2互余或与2的补角互余.求出斜线与平面的法向量所成的角后，即可求出斜线与平面所成的角的大小.公式为.4.法向量求面面角：一个二面角的平面角1与这个二面角的两个半平面的法向量所成的角2相等或互补.求出两平面的法向量所成的角后，即可求出二面角的大小.公式为.5.向量法求异面直线间的距离：设分别以这两异面直线上任意两点为起点和终点的向量为，与这两条异面直线都垂直的向量为，则两异面直线间的距离是在方向上的正射影向量的模.公

11、式为6.向量法求点到平面的距离：设分别以平面外一点P与平面内一点M为起点和终点的向量为，平面的法向量为，则P到平面的距离d等于在方向上正射影向量的模.公式为.ABCDEP【经典例题】【例1】如图，在底面是菱形的四棱锥PABCD中， ，点E在PD上，且PE:ED= 2: 1.试问在棱PC上是否存在一点F， 使BF平面AEC?证明你的结论.【分析】由条件易知AP、AB、AD两两垂直，可建立如图所示空间坐标系，借助空间向量解答该问题.【解】根据题设条件，结合图形容易得到：PAB、PAD、BAD均为，于是可建立空间坐标系，如右图.则得ABCDEPxyzF，假设存在点F，.又， ，则必存在实数使得，把以

12、上向量的坐标形式代入得 即有.所以，在棱PC上存在点F，即PC中点，能够使BF平面AEC.【点拨】本题证明过程中，借助空间坐标系，运用共面向量定理，应用待定系数法，使问题的解决变得更方便，应掌握这种处理问题的方法.【例2】如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AEEB，F为CE上的点，且BF平面ACE（1）求证：AE平面BCE；（2）求二面角B-AC-E的大小；（3）求点D到平面ACE的距离.【分析】利用向量法，解决问题，求二面角B-AC-E的大小与求点D到平面ACE的距离，可先求平面的法向量，利用相应的公式解决.【解】（1) BF平面ACE，BFAE，二面角D-AB-E为直二面角，且CBAB，CB平面ABE，CBAE，AE平面BCE.（2）以线段AB的中点为原点O，OE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，过O点平行于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系