立体几何复习教案

1、2.平面与空间直线一.知识回顾: (一平面:1、平面的两个特征:无限延展 平的(没有厚度2、平面的画法:通常画平行四边形来表示平面3、平面的表示:(1用一个小写的希腊字母、等表示,如平面、平面;(2用表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示,如平面AC (二三公理三推论:公理1:若一条直线上有两个点在一个平面内,则该直线上所有的点都在这个平面内.A l ,B l ,A ,B l公理2:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。公理3:经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面. 推论一:经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面. 推

2、论二:经过两条相交直线,有且只有一个平面.推论三:经过两条平行直线,有且只有一个平面. (三空间直线:1.空间两条直线的位置关系:(1相交直线有且仅有一个公共点; (2平行直线在同一平面内,没有公共点;(3异面直线不同在任何一个平面内,没有公共点。相交直线和平行直线也称为共面直线.异面直线的画法常用的有下列三种:2. 平行直线:在平面几何中,平行于同一条直线的两条直线互相平行,这个结论在空间也是成立的。即公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 3.等角定理等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,并且方向相同,那么这两个角相等.推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那

3、么这两组直线所成的锐角(或直角相等.4.异面直线定理:连结平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过此点的直线是异面直线推理模式:,A B a B a AB 与a 是异面直线二基本训练:1.A 、B 、C 表示不同的点,a 、l 表示不同的直线,、表示不同的平面,下列推理不正确的是 ( (A l B l B A l A ,(B A A ,AB B B = ,直线 (C A l A l ,(D C B A ,C B A ,且C B A ,不共线与重合 选C2.下列四个命题:(1分别在两个平面内的两条直线是异面直线 (2和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条 (3和两条异面直线都相交的两条直

4、线必异面(4若a 与b 是异面直线,b 与c 是异面直线,则a 与c 也异面 其中真命题个数为 ( 3.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45,腰和上底边均为1的等腰梯形,则这个平面图形的面积是 ( (A 2221+ (B 221+ (C 21+ (D 22+选D4.对于空间三条直线,有下列四个条件:三条直线两两相交且不共点;三条直线两两平行;三条直线共点;有两条直线平行,第三条直线和这两条直线都相交.其中,使三条直线共面的充分条件有 ( (A 1个 (B 2个 (C 3个 (D 4个 选B5.空间内五个点中的任意三点都不共线,由这五个点为顶点只构造出四个三棱锥,则这五个点最多

5、可以确定 个平面 .a b a b ab 答案:7个.三.例题分析:例1.如图,在四边形ABCD中,已知ABCD,直线AB,BC,AD,DC分别与平面相交于点E,G,H,F.求证:E,F,G,H四点必定共线.解:ABCD,AB,CD确定一个平面.又AB =E,AB,E,E,即E为平面与的一个公共点.同理可证F,G,H均为平面与的公共点.两个平面有公共点,它们有且只有一条通过公共点的公共直线,E,F,G,H四点必定共线.说明:在立体几何的问题中,证明若干点共线时,常运用公理2,即先证明这些点都是某二平面的公共点,而后得出这些点都在二平面的交线上的结论.例2.已知:a,b,c,d是不共点且两两相交

6、的四条直线,求证:a,b,c,d共面.证明1o若当四条直线中有三条相交于一点,不妨设a,b,c相交于一点A,但Ad,如图1.直线d和A确定一个平面.又设直线d与a,b,c分别相交于E,F,G,则A,E,F,G.A,E,A,Ea,a.同理可证b,c.a,b,c,d在同一平面内.2o当四条直线中任何三条都不共点时,如图2.这四条直线两两相交,则设相交直线a,b确定一个平面.设直线c与a,b分别交于点H,K,则H,K.又H,Kc,c.同理可证d.a,b,c,d四条直线在同一平面内.说明:证明若干条线(或若干个点共面的一般步骤是:首先根据公理3或推论,由题给条件中的部分线(或点确定一个平面,然后再根据

7、公理1证明其余的线(或点均在这个平面内.本题最容易忽视“三线共点”这一种情况.因此,在分析题意时,应仔细推敲问题中每一句话的含义.例3.已知不共面的三条直线a、b、c相交于点P,aA,aB,bC,cD,求证:AD与BC是异面直线.证一:(反证法假设AD和BC共面,所确定的平面为,那么点P、A、B、C、D都在平面内,直线a、b、c都在平面内,与已知条件a、b、c不共面矛盾,假设不成立,AD和BC是异面直线。证二:(直接证法ac=P,它们确定一个平面,设为,由已知C平面,B平面, AD平面,BAD,AD和BC是异面直线。四.课堂练习1.( 2006年重庆卷对于任意的直线l与平同a,在平面a内必有直

8、线m,使m与l ( (A平行(B相交(C垂直(D互为异面直线(A3 (B2 (C1 (D02.(全国1文理7如图,正棱柱1111ABCD A BC D-中,12AA AB=,则异面直线1A B与1AD所成角的余弦值为A.15B.25C.35D.45解.如图,连接BC1,A1C1,A1BC1是异面直线1A B与1AD所成的角,设AB=a,AA1=2a,A1B=C1B=5a,A1C1=2a,A1BC1的余弦值为45,选D。3、(福建文6如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、BC1的中点,则异面直线EF与GH所成的角等于A.45B.60C.90D.12

9、0DCBAE FHGbadcGFEAa b cdH K图1图2DCBAC1B1D1A1解析:连A 1B 、BC 1、A 1C 1,则A 1B=BC 1=A 1C 1,且EF A 1B 、GH BC 1,所以异面直线EF 与GH 所成的角等于.60,选B4.在正方体-ABCD D C B A 中,M 、N 分别是棱AA 和AB 的中点,P 为上底面ABCD 的中心,则直线PB 与MN 所成的角为( (A 300 (B 450 (C 600 (D5.已知直线a ,如果直线b 同时满足条件:a 、b 异面a 、b 所成的角为定值a 、b 间的距离为定值,则这样的直线b 有( (A 1条 (B 2条

10、(C 4条 (D 无数条6.已知异面直线a 与b 所成的角为500,P 为空间一点,则过点P 与a 、b 所成的角都是300的直线有且仅有( (A 1条 (B 2条 (C 3条 (D 4条7.(2006年辽宁卷给出下列四个命题:垂直于同一直线的两条直线互相平行.垂直于同一平面的两个平面互相平行.若直线12,l l 与同一平面所成的角相等,则12,l l 互相平行. 若直线12,l l 是异面直线,则与12,l l 都相交的两条直线是异面直线. 其中假.命题的个数是( (A1 (B2 (C3 (D4 24、(浙江文7若P 是两条异面直线l 、m 外的任意一点,则 (A过点P 有且仅有一条直线与l

11、 、m 都平行 (B过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都垂直 (C过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都相交 (D过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都异面 【答案】:B 【分析】:设过点P 的直线为n ,若n 与l 、m 都平行,则l 、m平行,与已知矛盾,故选项A 错误。由于l 、m 只有惟一的公垂线,而过点P 与公垂线平行的直线只有一条,故B 正确。 对于选项C 、D 可参考右图的正方体,设AD 为直线l ,A B 为直线m;若点P 在P 1点,则显然无法作出直线与两直线都相交,故选项C 错误。若P 在P 2点,则由图中可知直线2CC D P 及均与l 、m 异面,故选项D 错误。7.

12、在正三棱柱111C B A ABC -中,若12BB AB =,则1AB 与B C 1所成的角的大小 .五.课堂小结AB CDA 1B 1C 1D 1 3.空间直线与平面一.知识回顾:1.直线与平面平行的定义:直线与平面没有公共点,记作,/a b a b a 2.线面平行的判定定理:如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.推理模式:,/a b a b a .3. 线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行. 推理模式:/,/a a b a b =二基本训练1.(2006年福建卷对于平面和共面的

13、直线m 、,n 下列命题中真命题是 ( (A 若,m m n 则n (B 若m ,n ,则m n(C 若,m n ,则m n (D 若m 、n 与所成的角相等,则m n 2、(安徽文6设n m l ,均为直线,其中n m ,在平面内,则“l ”是“l m l n 且”的( (A充分不必要条件 (B必要不充分条件 (C充分必要条件(D既不充分也不必要条件解析:设n m l ,均为直线,其中n m ,在平面内,若“l ”则“l m l n 且”,反之若“l m l n 且”,当m/n 时,无法判断“l ”,所以“l ”是“l m l n 且”的充分不必要条件,选A 。3.、表示平面,a 、b 表示

14、直线,则/a 的一个充分条件是 ( (A ,且a (B b = ,且b a /(C b a /,且/b (D /,且a4、(湖北理4平面外有两条直线m 和n ,如果m 和n 在平面内的射影分别是m 和n ,给出下列四个命题: m n m n ; m n m n ;m 与n 相交m 与n 相交或重合;m 与n 平行m 与n 平行或重合. 其中不正确的命题个数是答案:4解析:由射影的概念以及线线垂直关系的判定方法,可知均错, 具体可观察如图的正方体:A CB D 但11,AC BD 不垂直,故错;11A B AB 但在底面上的射影都是AB故错;,AC BD 相交,但1,AC BD 异面,故错;/A

15、B CD 但11,A B C D 异面, 故错5.设三棱锥P ABC -的顶点P 在平面ABC 上的射影是H ,给出以下命题: 若PA BC ,PB AC ,则H 是ABC 的垂心 若,PA PB PC 两两互相垂直,则H 是ABC 的垂心 若90ABC =,H 是AC 的中点,则PA PB PC = 若PA PB PC =,则H 是ABC 的外心其中正确命题的命题是 6.(2006年广东卷给出以下四个命题如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行;如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面; 如果两条直线都平行于一个

16、平面,那么这两条直线互相平行;如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直. 其中真命题的个数是A.4B.3C.2D.1正确,故选B.三.例题分析:例1.如图,已知M 、N 、P 、Q 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点.ba b aP PabMDA 1C 1B 1CBAN MPDC B A 求证:(1线段MP 和NQ 相交且互相平分;(2AC 平面MNP ,BD 平面MNP .证明:(1 M 、N 是AB 、BC 的中点,MN AC ,MN =21AC .P 、Q 是CD 、DA 的中点,PQ CA ,PQ =21CA .MN QP ,MN =

17、QP ,MNPQ 是平行四边形. MNPQ 的对角线MP 、NQ 相交且互相平分.(2由(1,AC MN .记平面MNP(即平面MNPQ为.显然AC .否则,若AC ,由A ,M ,得B ;由A ,Q ,得D ,则A 、B 、C 、D , 与已知四边形ABCD 是空间四边形矛盾. 又MN ,AC ,又AC ,AC ,即AC 平面MNP . 同理可证BD 平面MNP .例2.四面体ABCD 中,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点,且22EF AC =, 90BDC =,求证:BD 平面ACD证明:取CD 的中点G ,连结,EG FG ,E F 分别为,AD BC 的中点,EG12/

18、AC = 12/FG BD =,又,AC BD =12FG AC =,在EFG 中,222212EG FG AC EF += EG FG ,BD AC ,又90BDC =,即BD CD ,AC CD C = BD 平面ACD例 3. 如图,直三棱柱111ABC A B C -中,90,1,2ACB AC CB =,侧棱11AA =,侧面11AA B B 的两条对角线交于点D ,11B C 的中点为M ,求证:CD 平面BDM证明:连结1AC ,90,ACB =BC AC ,在直三棱柱111ABC A B C -中1CC AC ,AC 平面1CB ,11AA =,1AC =12AC =,1AC

19、BC =,D 是侧面11AA B B 的两条对角 线的交点,D 是1A B 与1AB 的中点,CD BD ,连结1B C ,取1B C 的中点O ,连结DO ,则/DO AC , AC 平面1CB ,DO 平面1CB ,CO 是CD 在平面1B C 内的射影。在1BB C 中,1tan 2BBC = 在1BB M 中,1tan 2BMB =,11BB C BMB =1B C BM ,CD BM BMBD B =,CD 平面BDM例4.如图,PA 矩形ABCD 所在的平面,M N 分别是,AB PC 的中点, (1求证:/MN 平面PAD ; (2求证:MN CD (3若4PDA =,求证:MN

20、 平面PCD例4(2006年北京卷如图,在底面为平行四边表的四棱锥P ABCD -中,AB AC ,PA 平面ABCD ,且PA AB =,点E 是PD 的中点.(求证:AC PB ;(求证:/PB 平面AEC ;四.课堂练习1、已知直线a 、b 和平面,那么b a /的一个必要不充分的条件是 ( (A /a ,/b (B a ,b (C b 且/a (D a 、b 与成等角2、表示平面,a 、b 表示直线,则/a 的一个充分条件是 ( BADC PNQM( A a b ，且 a b (C a / b ，且 b / a ( B a I b = b ，且 a / b ( D a / b ，且 a b 3、已知平面 a