初中数学难题精选(附答案)

1、经典难题（一）1、已知:如图， 。是半圆的圆心， C、E是圆上的两点， CD ±AB, EF± AB, EGXCO .求证:CD = GF.（初二）第27页共22页2、已知：如图， P是正方形 ABCD内点，/ PAD =/PDA = 15 0.求证：PBC是正三角形.（初二）3、如图，已知四边形 ABCD、AiBiCiDi都是正方形,CCi、DDi的中点.求证：四边形 A2B2c2D2是正方形.（初二）A2、B2、C2、D2分别是 AAi、BB1、4、已知：如图，在四边形 ABCD中,的延长线交MN于E、F.求证：/ DEN =/F.AD = BC, M、N 分别是 AB

2、、CD 的中点，AD、BC经典难题（二）1、已知：4ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且 OM，BC于M .(1)求证：AH =2OM ;(2)若/BAC = 60°,求证：AH =AO .(初二)2、设 MN是圆O外一直线，过。作OA，MN于A,及D、E,直线EB及CD分别交 MN于P、Q.求证:AP = AQ .(初二)3、如果上题把直线 MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题:设MN是圆O的弦，过 MN的中点A任作两弦BC、DE,于 P、Q .求证：AP = AQ.（初二）ACDE和正方形CBFG ,4、如图，分别以 ABC的AC和BC为一边，在AABC的外侧作

3、正方形点P是EF的中点.求证：点P到边AB的距离等于 AB的一半.经典难题（三）1、如图，四边形 ABCD为正方形，DE/AC, AE = AC , AE与CD相交于F.求证：CE=CF.（初二）2、如图，四边形 ABCD为正方形，DE /AC,且CE= CA ,直线EC交DA延长线于F.求证：AE = AF.（初二）4、如图，B、D.PC切圆O于C, AC为圆的直径，求证：AB = DC, BC = AD.（初三）PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于3、设P是正方形 ABCD 一边BC上的任一点，PFLAP, CF平分/DCE.求证：PA=PF.（初二）经典难题（四）1、已知： AB

4、C是正三角形，P是三角形内一点， PA=3, PB = 4, PC=5.求：/APB的度数.（初二）2、设P是平行四边形 ABCD内部的一点，且/ PBA = /PDA.求证：/PAB=/PCB.（初二）3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证:AB CD + AD BC=AC BD .4、平行四边形 ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点,AE与CF相交于P,且AAE=CF.求证：/DPA=/DPC.（初二）经典难题（五）求证：寸§ <L<2 .设P是边长为1的正4ABC内任一点，L=PA+PB+PC,B2、已知：P是边长为1的正方形 ABCD内的一点，求 PA+PB

5、+PC的最小值.3、P为正方形 ABCD内的一点，并且D、E分别是 AB、AC上的点，/DCA=300, A4、如图，4ABC 中，/ABC = /ACB= 800,ZEBA = 200,求/BED 的度数.经典难题（一）1 .如下图做 GHAB,连接EO。由于 GOFE四点共圆，所以/ GFH = /OEG,即GHFsZOGE,可彳# EO= GO= CO,又 CO=EO ,所以 CD=GF 得证。2 .如下图做4DGC使与4ADP全等，可得 PDG为等边,从而可得GCZAPD/CGP,得出 PC=AD=DC,和/DCG= /PCG=150所以/DCP=30 0 ,从而得出 PBC是正三角形

6、A3 .如下图连接BCi和ABi分别找其中点F,E.连接C2F与A2E并延长相交于Q点,连接EB2并延长交C2Q于H点，连接FB2并延长交A2Q于G点，由 A2E= gAiB产 gBiC产 FB2 , EB2= AB= /BC=FCi ,又/GFQ+ /Q=90 0 和/GEB2+/Q=90 0,所以/GEB2=/GFQ 又/B2FC2=/A2EB2 ,可得B2FC20ZA2EB2 ,所以 A2B2 = B2c2 ,又/GFQ+ /HB2F=90 0 和/GFQ= ZEB2A2 ,从而可得/ A2B2 C2=90 0 ,同理可得其他边垂直且相等，从而得出四边形 A2B2C2D2是正方形。4.如

7、下图连接AC并取其中点Q,连接QN和QM ,所以可得ZQMF=ZQNM=/DEN 和/QMN= ZQNM ,从而得出/ DEN =/F。经典难题(二)1.(1)延长 AD 至ij F 连 BF,做 OGAF,又/F= ZACB= /BHD ,可得BH=BF,从而可得 HD=DF ,又 AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM(2)连接 OB, OC,既得/BOC=120 0从而可得/ BOM=60 0,所以可得 OB=2OM=AH=AO,得证。3.作 OF LCD, OGXBE,连接 OP, OA , OF, AF, OG , AG, OQ。,AD AC CD 2FD

8、FD由于=AB AE BE 2BG BG由此可得 ADFzABG , 从而可得/ AFC= /AGE。又因为PFOA与QGOA四点共圆，可得/ AFC= ZAOP和/AGE= ZAOQ ,ZAOP= ZAOQ ,从而可得 AP=AQ。E4.过E,C,F点分别作AB所在直线的高EG,CI, FH。可得 PQ=EG+ FH2由EGAzAIC,可得 EG=AI ,由BFHzCBI,可得 FH=BI。AI + BI AB从而可得 PQ= = ,从而得证。22D经典难题（三）1.顺时针旋转区DE,到AARG,连接CG.由于/ABG= /ADE=90 0+45 0=135 0从而可得 B, G, D在一条

9、直线上，可得 AGBCGB。推出AE=AG=AC=GC ,可得4AGC为等边三角形。ZAGB=30 0,既得/EAC=30 0,从而可得/ A EC=75 0。又/EFC= ZDFA=45 0+30 0=75 0.可证：CE=CF。D2.连接BD作CHIDE,可得四边形CGDH是正方形。由 AC=CE=2GC=2CH ,可得/CEH=30 0 ,所以/CAE= ZCEA= ZAED=15 0,又/FAE=90 0+45 0 + 15 0=150 0,从而可知道/ F=15 0,从而得出AE=AF 。3.作FGCD, FE± BE,可以得出GFEC为正方形。令 AB=Y , BP=X

10、,CE=Z ,可得 PC=Y-X 。/ X Ztan /BAP=tan ZEPF=,可得 YZ=XY-X 2+XZ ,Y Y- X + Z即 Z(Y-X)=X(Y-X),既得 X=Z ,得出ABP/PEF ,得到pa= pf ,得证。经典难题（四）1 .顺时针旋转斗BP 60 0 ,连接PQ ,则4PBQ是正三角形。可得APQC是直角三角形。所以/APB=150 02 .作过P点平行于AD的直线，并选一点E,使AE/DC, BE/PC.可以得出ZABP= ZADP= ZAEP,可得:AEBP共圆（一边所对两角相等）可得/BAP= ZBEP= ZBCP,得证。3 .在 BD 取一点 E,使 ZB

11、CE= ZACD ,既得BECs/ADC ,可得:BE _ ADBC AC即 AD ?BC=BE ?AC ,又/ACB= ZDCE,可得ABCs/DEC,既得AB DEAC - DC即 AB?CD=DE ?AC,由 + 可得：AB ?CD+AD ?BC=AC(BE+DE)= AC BD ,得证。4 .过 D 作 AQ ±AE , AG XCF ,由 SADE= S ABCD = SDFC ,可得: A1PQ= AELPQae=fc o可得DQ=DG ,可得/DPA = /DPC （角平分线逆定理）。D£一二一经典难题（五）1. （1）顺时针旋转 与PC 60 0 ,可得4P

12、BE为等边三角形。既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要 AP, PE, EF在一条直线上,即如下图：可得最小 L=（2）过P点作BC的平行线交AB,AC与点D , F。由于 ZAPD> ZATP= ZADP ,推出AD>AP又 BP+DP>BP和 PF+FC>PC又 DF=AF由可得:最大 L< 2 ；由（1）和（2）既得:力 <L<2 。,可得4PBE为等边三角形。2.顺时针旋转BPC 60 0既得PA+PB+PC=AP+PE+EF 要使最小只要 AP , PE, EF在一条直线上,即如下图：可得最小 PA+PB+PC=AF6+ .23.顺时针旋转2BP既得止方形边长L900 ,可得如卜图：=）（2+也）2+（乌2La =）5+2&Ua yB C' -4 -E4.在 AB 上找一点 F,使 ZBCF=6