2021版高考文科数学一轮复习第二章第3讲二次函数与幂函数

1、最新考纲考向预澧1 .了价扉喃st的粮壶一2 .精雨物i=i.土丁:卜=工'.的图象，解它酊的变化忖也，工学据二次阐投的图象司件随一以懵用一次拈鞅，h H.不等式之M的是系解决同单问题.曲题 型势南效一般不单独劭即.常与柑敷.时数璃数交 正育二次函题的阳象与痈用是韦查的热点.时二次函加的号占君濯遇到脚里过"中，心养打现胆象.数学运算J第3讲二次函数与募函数理软用克实曲的知快知识,回顾走迸教材、知识梳理1.募函数(1)定义：形如y=x"(aC R)的函数称为哥函数，其中底数X是自变量，”为常数.常见1的五类哥函数为 y=x, y=x2, y=x3, y=X2, y=

2、x 1.(2)性质哥函数在(0, +8)上都有定义；当 众0时，哥函数的图象都过点(1, 1)和(0, 0),且在(0, +8)上单调递增；当“<0时，哥函数的图象都过点(1,1),且在(0, +8)上单调递减.2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x) = ax2 + bx+ c(aw 0);顶点式：f(x) = a(xm)2+ n(aw 0)；零点式：f(x) = a(x x1)(x x2)(aw 0).(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)= ax2 + bx + c(a>0)f(x) = ax2 + bx + c(a<0)图象lj /定义域(一 00

3、)+ OO )(1 00, + 00 )值域4ac b2- -Poo4a4ac b28 _4a单调性在上是减少的；在二2ba二上是增加的在一OP. 己上是增加的； 2a在二F，十°°上是减少的 2a奇偶性当b=0时为偶函数,当bw0时为非奇非偶函数顶点b 4ac b2-2a 4a对称性图象关于直线x=-2成轴对称图形 2a常用结论1 .巧识哥函数的图象和性质在电线上=1右衡.富函数 的指数由下向上逐渐增大当日 >0时，函数在第一象 限内是增加的当行<0时，函数在第一象 限内是减少的2 .记牢一元二次不等式恒成立的条件a>0, (1)ax2+ bx+ c&g

4、t;0(aw 0)恒成立的充要条件是b2 4时<0c 一 一 Ia<0,(2)ax2+ bx+ c<0(aw 0)恒成立的充要条件是b2 4时<0二、教材衍化1.已知哥函数f(x)= k x"的图象过点 2,，乎，则k+ a=()1A.2B. 1-3C.£D. 2一一、“ 一一一 .一 一1 J2一, 1 "解析：选C.因为f(x)=k x。是哥函数，所以k= 1.又f(x)的图象过点2，之2，所以万=所以“=J所以k+ a= 1 + 1= 3.故选C.2,函数 y=2x26x+ 3, xC1, 1,则 y 的最小值为 .3 2 3 3斛析

5、：函数y=2x26x+3=2 x£ 2的图像的对称轴为直线 x=3>1,所以函数y =2x2-6x+3 在1, 1上是减少的，所以ymin=2-6+3=- 1.答案：1走出误区一、思考辨析判断正误(正确的打“，”，错误的打"X”)1函数y=2x3是哥函数.()(2)当n>0时，哥函数y=xn在(0, +00)上是增函数.()二次函数y= ax2+bx+c(xC R)不可能是偶函数.()(4)如果哥函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.()(5)二次函数y= ax2+ bx+ c, xC a,b的最值一定是4ac b .( 4a答案：(1)X (2)V (3)

6、X (4)， (5)X二、易错纠偏常见误区(1)募函数定义不清晰，导致出错;(2)二次函数的性质理解不到位出错；(3)忽视对二次函数的二次项系数的讨论出错.1,已知哥函数y=f(x)的图象过点2,当，则此函数的解析式为 ;在区间上递减.解析：设y=f(x) = x",因为图象过点2, 2 ,代入解析式得 a= 一义，则y = x-",12 .由性质可知函数y=x在(0, +8)上递减.1答案：y=x 2 (0, +8 )2,已知函数f(x) = x2+2ax+3,若y= f(x)在区间4, 6上是单调函数，则实数 a的取 值范围为.解析：由于函数f(x)的图象开口向上，对称

7、轴是x= a,所以要使f(x)在-4, 6上是单调函数，应有一aw4或一a>6,即aw6或a>4.答案：( 8, 6U4, +oo )3,已知函数f(x) = ax2+x+ 5的图象在x轴上方，则a的取值范围是 .a>0,1解析：因为函数f(x)= ax2+x+5的图象在x轴上方，所以解得a>.= 12-20a<0,20答案:1,-4-00 20'明者向-白击考例考流考点哥函数的图象及性质(典例迁移)(1)哥函数y=f(x)的图象过点(4, 2),则哥函数y=f(x)的图象是() f2 C (2)已知哥函数y=xm 2m 3(mC N + )的图象与x轴、

8、y轴没有交点，且关于 y轴对称，则 m的所有可能取值为.【解析】(1)设备函数的解析式为 y=xa,因为哥函数y=f(x)的图象过点(4, 2), 1所以2=4",斛得“=2,所以y=限 其定义域为0, +8),且是增函数，当0<x<1时，其图象在直线y=x的上方.故选C.(2)因为哥函数y=x m2 2m 3 (mCN+)的图象与x轴、y轴没有交点，且关于y轴对称，所 以 m-2)x m 3m ”，其他条件不变，则 m的值为.解析：由于f(x)为哥函数，所以m2 + 2m2=1,解得m=1或m=3,经检验只有 m= 1适合题意，所以m=1.答案：1【迁移探究2】(变条件

9、)本例(2)中f(x)不变，mC N + .若函数的图象关于 y轴对称，且 在(0 , + 00 )上是减函数，则 m的值为.解析：因为f(x)在(0 , +8)上是减函数，所以 m2- 2m- 3<0 ,解得1<m<3.又m N+ ,所以m= 1或m = 2.由于f(x)的图象关于y轴对称.所以m2- 2m 3为偶数，2m 3W 0 且 m2 2m 3(m C N+)为偶数.由 m22m 3W 0 得一1 w mW 3,又 mCN + ,所以m= 1, 2, 3,当m= 1时，m2- 2m- 3= 1- 2- 3= - 4为偶数，符合题意；当 m= 2 时，m2 2m3=4

10、 43=3 为奇数，不符合题意；当 m= 3 时，m2-2m-3= 9-6-3 =0为偶数，符合题意.综上所述，m=1, 3.【答案】(1)C (2)1, 32【迁移探究1】(变条件)若本例(2)中，将函数“ f(x)=x m 2m 3”变为“ f(x)=(m2+2m又当m=2时，m2 2m 3为奇数，所以m=2舍去,因此m= 1.答案：1E3招翦图哥函数的图象与性质问题的解题策略(i)关于图象辨识问题，关键是熟悉各类募函数的图象特征，如过特殊点、凹凸性等.(2)关于比较哥值大小问题，结合哥值的特点利用指数哥的运算性质化成同指数哥，选 择适当的募函数，借助其单调性进行比较或应用.(3)在解决哥

11、函数与其他函数的图象的交点个数、对应方程根的个数及近似解等问题时, 常用数形结合的思想方法，即在同一坐标系下画出两函数的图象，数形结合求解.1,已知点 坐，43在哥函数f(x)的图象上，则 电)是()A.奇函数B.偶函数C.定义域内的减函数D.定义域内的增函数解析：选A.设f(X)= X。，由已知得当=3,3解得a= - 1 ,因此f(x) = x-1,易知该函数为奇函数.4212,已知a=35, b=45, c= 125,则a, b, c的大小关系为（）B. a<b<cD. c<a<bA. b<a<cC. c<b<a a>b>c,故

12、选 C.解析：选C.因为a=1-51-511c= 125,由备函数y=x5在(0, +8)上为增函数，知113,若(a+1)2<(32a)2,则实数a的取值范围是 .1解析：易知函数y=x2的定义域为0, +8),在定义域内为增函数a+ 10,所以 3- 2a>0,解得1Wa<2.a+1<3-2a,，一2答案：一 1，/3考点求二次函数的解析式(师生共研)例国(一题多解)已知二次函数f(x)满足f(2)=1, f(1)=1,且f(x)的最大值是8, 试确定此二次函数的解析式.【解】 法一(利用一般式)：a b+ c= 1,4a+ 2b+ c= 1,设f(x) = ax2

13、 + bx+ c(a卞0).由题意得4ac b2""8，a= - 4,解得 b= 4,所以所求二次函数的解析式为f(x) = 4x2+ 4x+ 7.c= 7.法二(利用顶点式):设 f(x)=a(xm)2+n(aw0).因为 f(2)=f(1), f(-1) = - 1,所以抛物线的对称轴为x2+ ( 1)1 ,1,一 ,12=2.所以m = 2.又根据题息函数有取大值8,所以n=8,所以f(x)=a x一万224x2118.因为 f(2) = 1,所以 a 2-2 + 8=- 1,解得 a=- 4,所以 f(x) = -4 x- +8= + 4x+7.法三(利用零点式)：

14、由已知得f(x)+1=0的两根为x1 = 2, x2= - 1,故可设 f(x)+1 = a(x 2)(x+1),即 f(x) = ax2 ax 2a 1.又函数有最大值 8,即"一2a "a"=8.4a解得a=4或a=0(舍去)，所以所求函数的解析式为f(x)= 4x2+ 4x+ 7.团陶回国求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数的解析式,般用待定系数法，但所给条件不同选取的求解方法也不同，选择规律如下:右t点的坐标选用 敖/)，巳-y一轴(直邃堀:、弱点的杀标卜(官选用零点一)010!1£>1 .已知二次函数 f(x)=ax2+bx+5

15、的图象过点 P(1, 11),且其对称轴是直线 x=1, 则a+ b的值是()A. 2B. 0C. 1D. 2解析：选A.因为二次函数f(x)=ax2+bx+ 5的图象的对称轴是直线 x=1,所以一目=1 2a.又f( 1) = a b + 5= 11,所以a b = 6 .联立，解得a = 2, b = 4,所以a + b=2,故选A.2.已知二次函数 f(x)有两个零点 0和一2,且它有最小值一1,则f(x)的解析式为f(x)解析：由二次函数f(x)有两个零点。和一2,可设f(x)= a(x+2)x,则f(x)= a(x2+2x)= a(x +1)2 a.又f(x)有最小值1,则a=1.所

16、以f(x) = x2+ 2x.答案：x2 + 2x老占El二次函数的图象与性质(多维探究)角度一二次函数图象的识别问题B.例叵三II如图是二次函数y = ax2+bx+c图象的一部分，图象过点 A(3, 0),对称轴为 x=1.给出下面四个结论： b2>4ac;2ab=1;ab+c=0;5a<b.其中正确的结 论是()A.C.D.【解析】因为二次函数的图象与 x轴交于两点，所以b2-4ac>0,即b2>4ac,正确；对称轴为x=1,即一*=1, 2a-b=0,错误；结合图象，当x= 1时，y>0,即a 2ab+c>0,错误；由对称轴为 x= 1知，b=2a,

17、又函数图象开口向下，所以a<0,所以5a<2a,即5a<b,正确.故选 B.确定二次函数图象应关注的三个要点一是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向.二是看对称轴和最值，它确定二次函数图象的具体位置.三是看函数图象上的一些特殊点，如函数图象与y轴的交点、与x轴的交点，函数图象的最高点或最低点等.从这三个方面入手，能准确地判断出二次函数的图象.反之，也可以从图象中得到如上信息.角度二二次函数的单调性及最值问题例良(1)函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在区间1,十)上是递减的，则实数 a的取值 范围是.(2)求函数f(x)=x2 + 2ax+1在区间1, 2上的

18、最大值.【解】(1)当a=0时，f(x)=3x+ 1在-1, +8)上是减少的，满足条件.3 a当aw0时，f(x)的对称轴为x=, 2a由f(x)在1, + 8)上是减少的知3aw 1,2a '解得3Wa<0.综上，a的取值范围为3, 0.故填3, 0.(2)f(x)=(x+ a)2+1a2,所以f(x)的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x=- a.- 1r 一1 一 一 一当一a<g即 a> 2时，f(x)max= f(2) = 4a+ 5.- 1r 一1 一 一 一当一a>2即 a< 2时，f(x)max=f(1)=2 2a, ,一 14a+5, a

19、> 2,综上，f(x)max = 12 2a, aw一万.二次函数的单调性及最值问题(1)类型：对称轴、区间都是给定的；对称轴动、区间固定；对称轴定、区间变 动.(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点， 一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.角度三一元二次不等式恒成立问题例叵国(1)已知函数f(x) = x2+mx 1,若对于任意 xCm, m+1,都有f(x)<0成立， 则实数m的取值范围是.(2)已知函数f(x)=x2 + 2x+1, f(x)>x+k在区间 3, 1上恒成立，则 k的取值范围 为.

20、【解析】(1)作出二次函数f(x)的草图，对于任意xC m, m+1,都有f(x)<0, m m+1/¥17 *f (m) <0,则有f (m+ 1) <0,m2+m21<0,J2即解得2<m<0.(m+ 1) 2 + m (m+1) 1<0,(2)由题意得x2 + x+ 1>k在区间3, - 1上恒成立.设 g(x) = x2+x+1, xC3, 1,则 g(x)在3, 1上是减少的.所以 g(x)min= g( 1)= 1.所以k<1.故k的取值范围为( 8, 1).【答案】(1)券，0(2)(8, 1)不等式恒成立求参数取值

21、范围的思路是分离参数；二是不分离参数.两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域.1,函数f(x)=ax22x+ 3在区间1 , 3上为增函数的充要条件是()B. a<0C. 0<a< 1D. a> 13解析：选D.当a = 0时，f(x)为减函数，不符合题意；当aw。时，函数f(x) = ax22x+3 a<0,a>0,1图象的对称轴为x= 1,要使f(x)在区间1, 3上为增函数，则1> 或1V 解得a>1.a a、，故选D.2 .如果函数f(x)=x2 + bx+c对任意白实数x都有f(1+x) = f(x),那么()A. f(0)<

22、f(2)<f(2)B. f(0)<f(2)<f(2)C. f(2)<f(0)<f( 2)D. f(2)<f(0)<f(2)1解析：选A.由f(1+x)=f( x)知函数f(x)图象的对称轴为直线x = 2,而抛物线的开口向上，且0 2 =2，2-2 =3-, 2 1 =5,根据到对称轴的距离越远的函数值越大得f(2)>f(2)>f(0).故选 A.3 .若函数f(x)=x2-2x+ 1在区间a,a + 2上的最小值为4,则a的取值集合为 . 解析：因为函数f(x)= x2- 2x+ 1= (x- 1)2,对称轴x= 1,因为f(x)在区间a

23、, a+ 2上的最小值为4,所以当 1Wa 时，f(x)min= f(a)= (a1)2= 4,解得 a= 1(舍去)或 a= 3,当 a + 2W1,即 aw 1 时，f(x)min = f(a +2)= (a+ 1猿=4,解得 a = 1(舍去)或 a= 3,当 a<1<a+2,即一1<a<1 时，f(x)min = f(1)= 0w4,故a的取值集合为 3, 3.答案： 3, 3思想方法系列2分类讨论思想在二次函数问题中的应用典例I已知函数f(x)=x2-2tx+1在区间2, 5上单调且有最大值为8,则实数t的值为.【解析】函数f(x)= x22tx+1图象的对称

24、轴是x=t,函数在区间2, 5上单调，故tW2或t>5.若tW2,则函数f(x)在区间2, 5上是增函数，一一9故 f(x)max= f(5) = 25-10t+1=8,解得 t=p5若t>5,则函数f(x)在区间2, 5上是减函数，此时 f(x) max= f(2) = 4-4t+1= 8,解得t=条与t>5矛盾.综上所述，t = 9.45【答案】9 5二次函数是单峰函数(在定义域上只有一个最值点的函数)，x=-2a为其最值点横坐标， 在其两侧二次函数具有相反的单调性，当已知二次函数在某区间上的最值求参数时，要根据 对称轴与已知区间的位置关系、二次函数开口方向进行分类讨论，

25、研究其最值.I穹:小星型已知函数f(x)=ax2+2ax+1在区间1, 2上有最大值4,求实数a的 值.解：f(x)= a(x+1)2 + 1 a.(1)当a=0时，函数f(x)在区间1, 2上的值为常数1,不符合题意，舍去；(2)当a>0时，函数f(x)在区间1, 2上是增函数，最大值为f(2)=8a+1=4,解得a=3.8，(3)当a<0时，函数f(x)在区间1, 2上是减函数，最大值为f(-1) = 1-a = 4,解得a =3.综上可知，a的值为3或一3.8w 突破高分曲班.基础题组练1.如图是y=xa；丫=*丫二*。在第一象限的图象， 则a, b, c的大小关系为()B.

26、 a<b<cA. c<b<aC. b<c<aD. a<c<b解析：选D.根据募函数的性质，可知选D.2. (2020河南六校联考)设函数f(x) = x3,若f(a)>f(b),则()A. a解析：选D.因为y = x3在第一象限内是增函数>b2B. a2<b2C. a<bD. a>b211解析：选A.函数f(x) = x3=(x2) ,A. 0, 4B. 2, 4C. 2, +°°D. 3, 3解析：选D.二次函数图象的对称轴为x=3,且f3 =-25, f(3)=f(0) = -4,结合函数

27、一3 一图象(如图所不)可得me 2，3 .,令t=x2,易知y=t在第一象限为增函数.又 f(a)>f(b),所以 a2>b2.故选 A.3,若函数f(x) = x2+ax+ b的图像与x轴的交点为(1, 0)和(3, 0),则函数f(x)()A.在(一8, 2)上是减少的，在2, +8)上是增加的B.在(一8, 3)上是增加的C.在1, 3上是增加的D.单调性不能确定解析：选A.由已知可得该函数图像的对称轴为x=2,又二次项系数为1>0,所以f(x)在(一8, 2)上是减少的，在2, + 8)上是增加的.4.若a= 1 3, b= 1 3, c= 1 3,则a, b, c

28、的大小关系是（）252B. c<a<bA. a<b<cC. b<c<aD. b<a<c，所以a= 2 %b= 5 因为y= "1是 252减函数，所以a =122%所以b<a<c.5 .若函数y=x23x 4的定义域为0,m,值域为 一等，一4,则m的取值范围是()46 . (2020甘肃兰州一中月考)已知函数f(x)=(m2m1)xm22m3是哥函数，且在xC(0, 十 °°)上是减少的，则实数m=.解析：根据哥函数的定义和性质 ，得m2m1 = 1.解得m = 2或m = 1,当m=2时，f(x) =

29、 x 3在(0, +°°)上是减函数，符合题意；当m=1时，f(x)=x0=1在(0, 十 °°)上不是减函数，所以m=2.答案：27,设函数f(x) = mx2- mx- 1,若对于xC R, f(x)<0恒成立，则实数 m的取值范围 是.解析：当m=0时，f(x)=1<0,符合题意.当 mw0时，f(x)为二次函数，则由f(x)<0m<0,m<0,恒成立得即2解得4Vm<0.<0,( m) 4mx ( 1) <0,故实数m的取值范围是(一4, 0.答案:(4, 08 . (2020重庆(区县)调研测试)

30、已知函数f(x)=2x2+mx+ 3(0<m<4, 0< x< 1)的最大值为4,则m的值为22解析：f(x) = 一次十吨+ 3=-2x- - +万+3,因为0WmW4,所以0wmw1,所以当x=m时，f(x)取得最大值，所以m- + 3=4,解得m=2亚. 8答案：2 29 .已知函数 f(x)=x2 + 2ax+2, xC 5, 5.(1)当a=- 1时，求函数f(x)的最大值和最小值;(2)求实数a的取值范围，使y=f(x)在区间5, 5上是单调函数.解：(1)当 a=1 时，f(x)=x2-2x+2= (x- 1)2 + 1, xC -5, 5,所以当x= 1

31、时，f(x)取得最小值1;当x= 5时，f(x)取得最大值37.(2)函数f(x)=(x+ a)2+2a2的图象的对称轴为直线x= a,因为y = f(x)在区间5, 5上是单调函数，所以一aw 5或aA5,即aw 5或a>5.故实数a的取值范围是(8, - 5 U 5, + °0).10 .若二次函数 f(x)= ax2+bx+c(aw。)满足 f(x+ 1)-f(x) = 2x,且 f(0)=1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间1, 1上，不等式f(x)>2x+m恒成立，求实数 m的取值范围.解：(1)由 f(0)=1,得 c= 1,所以 f(x)=ax2+b

32、x+1.又 f(x+ 1)-f(x)=2x,所以 a(x+1)2+ b(x+ 1)+1 (ax2+ bx+ 1) = 2x,即 2ax+ a+ b= 2x,2a= 2,a= 1,所以所以a+ b= 0,b= 一 1,因此，所求解析式为f(x) =x2-x+ 1.(2)f(x)>2xm 等价于x2x1>2xm，即x23x1 m>0， 要使此不等式在区间 1，1上恒成立，只需使函数g(x)=x2-3x+ 1-m在区间1, 1上的最小值大于 0即可.设 g(x) = x2 3x+ 1-m,则g(x)在区间1, 1上是减少的，所以 g(x)min= g(1)= m- 1 ,由m 1&

33、gt;0， 得 m< 1.因此满足条件的实数m的取值范围是(一00, 1).综合题组练1. (2020 陕西西安一模)已知函数 f(x) = 2ax2ax+1(a<0),若 x1<x2, x+x2=0,则 f(x1)与f(X2)的大小关系是()B. f(Xi)>f(X2)D.与x的值无关A . f(X1) = f(X2)C. f(X1)<f(X2)1 一.解析：选C.由题知二次函数f(x)的图象开口向下，图象的对称轴为 X= 4,因为X1 + X2=0,所以直线X=X1,X= X2关于直线X= 0对称，由X1<X2,结合二次函数的图象可知f(Xl)<f

34、(X2).2.(创新型)定义：如果在函数 y= f(x)定义域内的给定区间a, b上存在xo(a<xo<b),满足f(xo)= f -f,则称函数y=f(x)是a, b上的“平均值函数”，xo是它的一个均 b a值点，如y=x4是1, 1上的平均值函数，0就是它的均值点.现有函数f(x) = x2+mx+1是1, 1上的平均值函数，则实数m的取值范围是 .解析：因为函数f(x)=x2+mx+ 1是1, 1上的平均值函数，设xo为均值点，f (1) f (T)所以=m= f(xo),1- ( 1)即关于xo的方程x0+mxo+1 = m在(一1, 1)内有实数根，解方程得xo= 1或xo= m 1.所以必有1<m 1<1,即0<m<2,所以实数m的取值范围是(0, 2).答案：(0, 2)