第一讲向量代数空间解析几何

1、课程名称：高等数学教师：西安考试概述1、近几年数学在公共基础考试中的分值2、考试大纲（1）空间几何：代数 直线 平面 柱面 旋转曲面 二次曲面 空间曲线（2）微分学：极限 连续 导数 微分 偏导数 全微分 导数和微分的应用（3）积分学：不定积分 定积分 广义积分 二重积分 三重积分 平面曲线积分 积分应用（4）无穷级数：数项级数 幂级数级数叶级数（5）常微分：可分离变量一阶线性可降阶常系数线性（6）分析（7）线性代数：行列式 矩阵 n 维线性组 矩阵的特征值与特征二次型（8）概率与数理统计：随机与概率 古典概型 一维随量的分布和数字特征 数理统计的基本概念 参数估计 假设检验 方差分析 一元回

2、归分析关注培训：高数线性代数概率合计2010 年1644242011 年16442012 年16532013 年18332014 年1833课程名称：高等数学教师：西安第一章高等数学1.1 空间几何1.1.1代数1.：有方向的数量，即：不仅有大小还有方向的量（1）的表示设a 的起点 A（x1，y1，z1），终点 B（x2，y2，z2）1）几何表示：用起点为 A，终点为 B 的有向线段表示。2）坐标表：a=AB= x1x2，y1 y2，z1z2=ax，ay，az 。的坐标是该在三个坐标轴上的投影。（2）的模（的大小）=- x )2 + ( y - y )2 + (z - z)2模 aAB(x12

3、1212（3）方向的角与方向余弦（的方向）与 x 轴、y 轴、z 轴正向的夹角a ,b ,g叫的方向角（ 0£ a,b,g £ p）cos b ay方向余弦： cosa axcosg az；(4)几种特殊1)：模为 1 的。1： a0 =2)与 a 同向的a基本：与 x 轴、y 轴、z 轴同方向的，记做 i（1，0，0），j（0，1，0），k（0，0，1）。3)负：与 a 模相同，方向相反的，记为-a。关注培训：aaaa课程名称：高等数学教师：西安4)零：模为 0，没有确定方向的，记为 0。相等：a=b Û 模相等且方向相同（相等的5)两视为同一个）2、运算a设a

4、 (x y , z )； b (x y , z )； c (x y , z )1, 1 12, 223, 33a+b(1)加（减）法a-b(指向被减数)两相加，服从平行四边形法则。b： a ± b (x ± x y ± y , z ± z)坐标表12, 1212la = (lx1,ly1,lz1 )(2)数乘(3)数量积（点乘或点积）是一个数cosÐ(a, b)1）定义a · b = ab2）坐标公式a · b = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 （即：对应坐标的乘积相加）3）重要应用a · b =0

5、Û a b （： cosÐ(a, b)=0） 积（叉乘或叉积）是一个1）定义： a ´ b n0 a b sin Ð(a, b)，其中 n0 是按右手螺旋法则垂直于 a，b 所在平面的。2）几何意义： a ´ b=a b sin Ð(a, b) ，是以 a，b 为邻边的平行四边形的面积。3） a ´ b 与a 和b 皆垂直，且a ´ b ， a ， ba ´ b右手螺旋法则 ，如下图所示。ba应用：已知两相交直线的，求过两直线的平面（将在后面直线有具体关注培训：课程名称：高等数学教师：西安例子）。ijky

6、1z1 i -x1z1x1y1 k=j +xyz4）坐标公式a ´ b =111yzxzxy222222xyz222= ( y1 z2 - z1 y2 )i + (z1 x2 - x1 z2 ) j + (x1 y2 - y1 x2 )k注：上述公式利用了行列式展开定理，方便记忆： sin Ð(a, b)=0）5）重要应用a ´ b = 0 Û a / b （或 a，b 共线）（5、混合积(1)定义abc（ a ´ b ）· c(2) a b c 表示以 a，b，c 为棱的平行六面体的体积。(3)a，b，c 共面Û abc=

7、0（注：第一页表述：a，b，c 共面Ûabc=0）abc = (a ´ b)× cxyzyxxzzx1y= x- y+ z3xy22x1x2 x3y1y2 y3z1z2 z3=设a 、b 、c 均为例 1.【2005 年第 1 题】，下列等式中正确的是：（）。（A） (a + b)× (a - b) =（B） a × (a × b) =a 2- b 2a 2 b（D） (a + b)´ (a - b) = a ´ a - b ´ b（C） (a × b)2 =a 2 × b 2：A：

8、(a + b)× (a - b) = a × a - a × b + b × a - b × b =a × (a × b) = a × a b cosq，选项 B 错误。a 2- b 2 ，选项 A 正确。a b cosq， (a × b)2 =a 2 b 2 cos 2 q，选项 C 错误。a × b =(a + b)´(a - b) = a ´ a - a ´ b + b ´ a - b ´ b = a ´ a - 2a ´

9、; b - b ´ b ，选项 D 错误。关注培训：课程名称：高等数学教师：西安例 2.【2008 年第 1 题】设a= i + 2 j + 3k ， b= i - 3 j - 2k ，则与a， b都垂直的为：（）1（A） ± (i + j - k )（C） ±(- i + j + k )3（B） ±(i - j + k )311（D） ±(i + j - k )3积定义知，a´ b a，a´ b b，故作a， b的：由积，再化则可。ij2- 3ka´b= 113 = (-4 - (-9)i - (-2 - 3)

10、j + (-3 - 2)k = 5i + 5 j - 5k- 2化: ±1(5i + 5 j - 5k ) = ±(i + j - k ) ，故1再（D）。52 + 52 + 523例 3. 【2010 年第 2 题】 设a，b，g都是非零，若a´ b= a´g，则（）（B）a/ b且a/g（C）a/(b-g)（D）a (b-g)（A）b= g：由a´ b= a´g，有a´ b-a´g= 0 ，即a´ (b-g) = 0 ，所以a/(b-g) 。已知a= i + aj - 3k ， b= ai - 3 j

11、 + 6k ，g= -2i + 2 j + 6k ，若例 4. 【2006 年第 1 题】a， b，g共面，则a 等于：（）。（A）1 或 2（B）-1 或 2（C）-1 或-2（D）1 或-2：C。解法一：若a， b，g共面，则下列行列式的值为零。- 3 661aa - 3-= - a 2 - 18a - 12 = -6(a 2 + 3a + 2)= -6(a + 2)(a + 1) = 0= -a - a +a 2- 22得a = -1或 - 2 。求解该解法二：利用混合积的定义，若a， b，g共面，则有混合机abg = (a´ b)×g= 0关注培训：课程名称：高等数

12、学教师：西安i1aj a- 3ka´ b=- 3 = (6a - 9)i + (-3a - 6) j + (-a 2 - 3)k6(a´b)×g= (6a - 9,-3a - 6,-a 2 - 3) × (-2,2,6) = 6(a + 2)(a +1) = 0 ，得a = -1或 - 21.1.2 平面与直线1、平面设平面过点（x0，y0，z0），法n=A,B,C（1）点法式：A（xx0）+B（yy0）+C（zz0）=01）当 D=0 时，平面过原点；2）当 A=0(B=0,C=0)时，平面平行于 x（y，z）轴，这时若 D0，平面不经过 x（y，z）

13、轴，若 D=0，则平面经过 x（y，z）轴；3）当 A=B=0 时，平面平行于 xoy 面。（4）平面与平面垂直、平行的条件设两平面为1：A1x+B1y+C1z+D1=0，2：A2x+B2y+C2z+D2=01）p1 p2 Û n1 n2Û A1A2+B1B2+C1C2=0（即两个法垂直，数量积为 0）；A1B1C12）p /p Û n / n Û=（即两个法平行，积为 0）1212ABC2222、空间直线的设直线 L 过点（x0，y0，z0），方向s=l,m,n，： x - x0y - y0z - z0=对称式lmn关注培训：注：求平面的另一种常用是利

14、用已知条件，写出平面式，再确定系数。（3）截距式： x + y + z = 1 ，（a，b，c 为平面在 x 轴、y 轴、z 轴上的截距）abc注：要求平面的，关键是利用已知条件，找出平面的法和某点坐标。（2）：Ax+By+Cz+D=0，（平面法n=A,B,C）课程名称：高等数学教师：西安注：要求直线的，关键是利用已知条件，找出方向和一个点的坐标ì x - x0y - y0=ïlmï2 当 l,m,n 中有一个为零，例如 n=0，而 l,m0 时，组应理解为íïïî；z - z = 00ì y - y0= 0组应理

15、解为ï当 l,m,n 中有两个为零，例如 n= m=0，而 l0 时，íï z - z = 0î0例. 【2008 年第 2 题】已知平面p过点（1,1,0），（0,0,1），（0,1,1），则与平面p垂直且过点（1,1,1）的直线的对称为：（B）（A） x -1 =y -1 = z -1（B） x -1 =z -1 ， y = 11（C） x -1 =0z -1111（D） x -1 =y -1 = z -1-11110：因为直线与平面p垂直，故平面p的法就是所求直线的方向，又平面p过点（1,1,0），（0,0,1），（0,1,1），三点可确定两个，即

16、a1 = (1 - 0)i + (1 - 0) j + (0 - 1)k = i + j - k ，a2 = (0 - 0)i + (1 - 0) j + (1 - 1)k = j 。ij11k-1 0平面p的法可取为这两个的积，即 n = 1= i + k ，所求直线的方向0ì x -1 =z -1ï11为ï为i + k 。直线的对称式íïïîy -1 = 0（1）ì A1x + B1 y + C1z + D1 = 0í A x + B y + C z + D = 0î 2222关注培训：课程

17、名称：高等数学教师：西安i A1A2j B1B2k C1C2s = n1 ´ n2 =方向（即前面提到的“已知两相交直线的，求过两直线的平面”。）（2）参数：x=x0+lt，y=y0+mt，z=z0+nt（3）直线与直线垂直、平行的条件设直线 L1 的方向s1=l1,m1,n1， L2 的方向s2=l2,m2,n21） l1 l2 Û s1 s2Û l1l2+m1m2+n1n2=0（即两个方向垂直，数量积为 0）；l1m1n12） l / l Û s / s Û=（即两个方向平行，积为 0）1212lmn222（4）直线与平面垂直、平行的条件l

18、mn1） l pÛ s / n Û=（即直线方向与平面的法平行，积为 0）；ABC2） l /pÛ s n Û lA + mB + nC = 0 （即直线方向与平面的法垂直，数量积为 0）例 5.【2005 年第 3 题】过 z 轴和点（1,2，-1）的平面是：（）。（A） x + 2 y - z - 6 = 0（B） 2x - y = 0（C） y + 2z = 0（D） x + z = 0：B为 Ax + By = 0 ，再将点（1,2，-1）代入得 A = -2B ，故有：过 z 轴的平面- 2Bx + By = 0 ，消去 B 得- 2x + y

19、 = 0 。例 6. 【2005 年第 2 题】过点 M (3，- 2，1) 且与直线 L : ìx - y - z + 1 = 0平行的直线í2x + y - 3z + 4 = 0î是：（）。（A） x - 3 =y + 2 = z - 1（B） x - 3 =y + 2 = z - 1- 1- 1- 3121（C） x - 3 =y + 2 = z - 1（D） x - 3 =y + 2 = z - 1- 143413：D关注培训：课程名称：高等数学教师：西安ìx - y - z + 1 = 0应垂直于平面 x - y - z + 1 = 0 和平面

20、：直线í2x + y - 3z + 4 = 0 的方向î2x + y - 3z + 4 = 0 的法，因此所求直线的方向s 应是这两个法的积，即ijk- 1- 1= 4i - (- j) + 3k = 4i + j + 3k ，故s = 1（D）1- 32【2006 年第 2 题】设平面p的为3x - 4 y - 5z - 2 = 0 ，以下选项中错误的是：例 7.（A）平面p过点（-1,0，-1）（B）平面p的法为- 3i + 4 j + 5k（C）平面p在 z 轴的截距是- 25（D）平面p与平面- 2x - y - 2z + 2 = 0 垂直3x - 4 y - 5z

21、 - 2 = 0 ，：选项（A），把点（-1,0，-1）代入(-1)´ 3 + 0 + (-1)´(- 5) - 2 = -3 + 5 - 2 = 0 ，正确；选项（B），严格说法应该为3i - 4 j - 5k ；选项（C），把 x = 0 ， y = 0 代入3x - 4 y - 5z - 2 = 0 ，得 z = - 2 ，正确；5选项（D），两个平面法的数量积为3´ (- 2)+ (- 4)´ (-1)+ (- 5)´ (- 2) = -6 + 4 + 10 = 8 ¹ 0 ，两平面不垂直，错误。1.1.3 曲面及其1、柱面关

22、注培训：课程名称：高等数学教师：西安设直线 L 平行于某定直线并沿定曲线 C 移动，则直线 L 形成的轨迹叫做柱面。定曲线 C叫做柱面的准线，直线 L 叫做柱面的母线。我们只讨论准线在坐标面上，而母线垂直于该坐标面的柱面。z 母线平行于 z 轴的柱面为：F（x，y）=0； 母线平行于 y 轴的柱面为：F（x，z）=0； 母线平行于 x 轴的柱面为：F（y，z）=0；母线 L小结：缺某个变量，就是柱面；0y母线平行于缺少量所在的坐标轴。准线 Cx2、旋转曲面一条平面曲线绕该平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线依次叫做旋转曲面的母线和轴。我们只讨论旋转轴为坐标轴的旋转

23、曲面的。设在 yoz 坐标面上有一条已知曲线 C，它的为zf（y，z）=0，曲线 C 绕 z 轴旋转一周，得到一个以 z 轴为M1(0, y1, z1 )M (x, y, z)f ( y, z)轴的旋转曲面。设 M1(0，y1,z1)为曲线上一点，则有 f（y1，z1）=0，O当曲线 C 绕 z 轴旋转时， 点 M1 随绕到另一点(x ，yMxzy,z) ， 这 时 ， z= z1 ， 且 点 M 到轴 的 距 离 为yd =x2 + y2 =M(x,y,z)xy1将 z = z, y = ± x2 + y 2，代入曲线f（y1，z1）=0，得11OM1： f (± x2

24、+ y 2 , z) = 0到所求旋转面的小结：旋转面的重要特征是其两个变量的平方项系数相等；坐标面上的曲线绕哪个坐标轴旋转，曲线相对应的量就不变，另一个变量替关注培训：课程名称：高等数学教师：西安换为其他两个变量平方和开根号。y 2 - z 2 = 1 所代表的图形是（）例 8【2011 年第 2 题】在三中（A）母线平行 x 轴的双曲柱面（B）母线平行 y 轴的双曲柱面（C）母线平行 z 轴的双曲柱面（D）双曲线F (x, y, z) = 0 中，缺少某个变量，那么该方：在空间直角坐标系中，如果曲面程表示一个柱面，并且该柱面的母线平行于缺少量所在的轴线。例 9写出直线 y = z或x =

25、z 绕z 轴旋转一周所生成的旋转面。：圆锥面 x2 + y 2 = z 2ì x 22+ z=例 10【2005 年第 4 题】将椭圆ï 91 ，绕 x 轴旋转一周所生成的旋转曲面的方í4ïî y = 0：（）x 2y 2 + z 2x 2 + z 2（A）+= 1= 1（B）99494x 2y 2 + z 2x 2y 2 + z 2（C）+= 1（D）+= 1944949：C过程：由题意可得， z = ± y 2 + z 2 ，代入则得到C。3、二次曲面1）球面： (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R

26、 2x2y 2z 22）椭球面：+= 1a 2b2c2x2y 2z 23）单叶双曲面：+-= 1a 2b2c2x2y 2z 2x 2y 2z 24）双叶双曲面：+-= -1 （上：-= 1 ）a 2b2c2a 2b 2c 2x2y 25）椭圆抛物面：+= z2 p2q（ p, q 同号）x 2y 26）双曲抛物面：-= z （ p, q 同号）2 p2q关注培训：课程名称：高等数学教师：西安例 11.下列代表单叶双曲面的是：（）。x2y 2x2y 2（A）+- z = 1 232（B）+ z = 1 232x2 - y 2x2y 2- z = 12（D）+ z = 0232（C）23：A1.1.4 空间曲线1、空间曲线的ìF ( x, y, z) = 0（1）空间曲线的í，即两曲面的