高中数学必修新教学案基本不等式

1、必修5 3.4 基本不等式（学案） （第 2 课时）【知识要点】1基本不等式及其成立的条件；2利用基本不等式求最值；3基本不等式在实际中的应用【学习要求】1 掌握基本不等式成立的条件；2 会应用基本不等式求最值；3 掌握基本不等式在实际中的应用【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 99 页第 101 页）1可化为 （）；使用该不等式求最值时，要注意的前提条件为：（1）；（2）积或和为定值；（3）当且仅当时，等号成立， 即记为“ ”2. 基本不等式的功能在于 与 的互化，便于创造 “定值”这一条件，其应用需要一定的灵活性和变形技巧即拆项或配项3.在解决实际问题设自变量时通常把需求最大或最小值的

2、变量为函数；设自变量时要注意便于数学模型的建立.【基础练习】1函数的最大值是8，此时 2已知且那么的最大值为 3.如果，那么的最大值为 4.某民用企业的一种电子产品，2003年的产量在2002年基础上增长率为；2004年又在2003年的基础上增长率为，若这两年的平均增长率为，则 的大小关系不确定5.在直径为的圆内接矩形中，最大面积是多少？这样的矩形长宽之比是多少？【典型例题】例1 (1) 已知则的取值范围 （2）（2009广州模拟）设为正数，且，求的最小值.例（1）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短是篱笆多少？（2）一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，问

3、这个矩形的长、宽各为多少时，菜园面积最大，最大面积为多少？【变式练习】1.做一个体积为，高为的长方形纸盒，底面的长与宽取什么值时用纸最小？2.一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形小院，墙长，问这个矩形的长与宽为多少时，小院的面积最大，最大面积为多少？例 动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各方面用钢筋网围成.（1）现有可围长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使虎笼面积最大？（2）若使每间虎笼面积为，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？【变式练习】某工厂要建造一个长方形无盖蓄水池，其容积为，深为如果池底每平方米的造价为元，池底每

4、平方米的造价为元，怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？例 图画柱挂在墙上，它的下边缘在观察者的眼睛上方米处，而上边缘在米处，问观察者站在离墙多远处才能使视角最大？ 1.（2006年天津）某公司一年购买某种货物吨，每次都购买吨，运费为每次万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 吨.2.如图，在某水泥渠道，横断面为等腰梯形，为保证额定流量，面积不得小于若两侧面的倾角均为，为使水泥用料最省，则腰长与底宽之比是3.一批货物随17列货车从市以匀速直达市，已知两地间铁路线长为400，为了安全，两辆货车间的间距不得小于，那么这批货物全部运到市最快需要 .4.下列命题中正确的是 函数的最小值为

5、2 函数的最小值为2 函数的最大值为 函数的最小值为.5. 已知正数满足则有 最小值 最大值 最小值 最大值.6.若,则7.若实数成等比数列，且成等差数列，则的取值范围 8. （2007年重庆）若是与的等比中项，则的最大值为 .9.（2009重庆一摸）函数的最小值是 .10.在中，为中线上的一个动点，若，则的最小值为 .11.若正数满足，求的取值范围12.已知,且，求的最大值1. （2006年陕西）已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最大值为 .2. （2006年湖南理）对1个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为:)为0.8,要求洗完后的清洁度是0.99.有两

6、种方案可供选择,方案甲:一次清洗;方案乙:两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量变为(1a3).设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是(),用质量的水第二次清洗后的清洁度是,其中是该物体初次清洗后的清洁度.(1)分别求出方案甲以及时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少;（2)若采用方案乙,当为某定值时,如何安排初次与第二次清洗的用水量,使总用水量最少?必修5 3.4 基本不等式（教案） （第 2 课时）【教学目标】1掌握基本不等式成立的条件；2. 会应用基本不等式求最值；3. 掌握基本不等式在实际中的应用【重点】1. 掌握基本不等式成立的条件；2. 会应用基本不等式适当变形求

7、最值；3能正确将实际问题转化为数学问题，并应用基本不等式求最值【难点】1. 抓住定值进行变形应用基本不等式求最值；2. 将实际问题转化为数学问题，并应用基本不等式求最值【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 99 页第 101 页）1可化为 （）；使用该不等式求最值时，要注意的前提条件为：（1）；（2）积或和为定值；（3）当且仅当时，等号成立， 即记为“一正，二定，三相等”2. 基本不等式的功能在于积与和的互化，便于创造 “定值”这一条件，其应用需要一定的灵活性和变形技巧即拆项或配项3.在解决实际问题设自变量时通常把需求最大或最小值的变量为函数；设自变量时要注意便于数学模型的建立.【基础练习】

8、1函数的最大值是8，此时 2 2已知且那么的最大值为 4 3.如果，那么的最大值为 4.某民用企业的一种电子产品，2003年的产量在2002年基础上增长率为；2004年又在2003年的基础上增长率为，若这两年的平均增长率为，则 的大小关系不确定5.在直径为的圆内接矩形中，最大面积是多少？这样的矩形长宽之比是多少？解：设圆内接矩形长与宽分别为，则，矩形的面积为，当且仅当时，等号成立故圆内接矩形最大面积是，此时矩形长宽之比是【典型例题】例1 (1) 已知则的取值范围 （2）（2009广州模拟）设为正数，且，求的最小值.【审题要津】已知条件等式求或的最值，注意“1”的代换解：（1）的取值范围（2）的

9、最小值是 .【方法总结】通过对条件等式中“1”的代换将要求最值的式子转化为能用基本不等式的类型例（1）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短是篱笆多少？（2）一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园面积最大，最大面积为多少？【审题要津】（1）中当矩形的面积为定值，矩形的长、宽各为多少时，篱笆的长最短；（2）中当矩形的周长为定值，矩形的长、宽各为多少时，篱笆的面积最大解：（1）设矩形菜园的长为、宽为，则篱笆的长为由得当且仅当时成立，此时故菜园的长为、宽为时，所用篱笆最短为（2）设矩形菜园的长为、宽为，则矩形的面积为由可得当且仅当时

10、成立，此时故菜园的长为、宽为时，所用篱笆的最大面积为【方法总结】将实际背景转化数学模型为：已知两正数的和为定值，求积的最最大值；或已知两正数的积为定值，求和的最小值【变式练习】1.做一个体积为，高为的长方形纸盒，底面的长与宽取什么值时用纸最小？解：设长方形底面的长为、宽为、用纸量是，则当且仅当时成立.答：当长方形底面的长为、宽为时，用纸量最小.2.一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形小院，墙长，问这个矩形的长与宽为多少时，小院的面积最大，最大面积为多少？解：设矩形的长为、宽为，小院的面积为则当即时，小院的面积最大，最大面积为例 动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各方

11、面用钢筋网围成.（1）现有可围长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使虎笼面积最大？（2）若使每间虎笼面积为，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？【审题要津】设每间虎笼长，宽，则（1）是已知，求的最小值；（2）是已知，求的最小值；易于应用基本不等式解决.解：设每间虎笼长，宽，则由条件得，即设每间虎笼面积为，则.解法1.由于得即当且仅当时，等号成立.由得故每间虎笼长，宽解法2. 由得当且仅当时，等号成立，即时等号成立.（2）由条件知设钢筋网总长为，则解法1. 当且仅当时，等号成立.由解得故每间虎笼长，宽时，可使钢筋网总长最小.解法2.由得当且仅当时，即时，

12、等号成立，此时.答：（1）每间虎笼长，宽时，面积最大； （2）每间虎笼长，宽时，可使钢筋网总长最小.【变式练习】某工厂要建造一个长方形无盖蓄水池，其容积为，深为如果池底每平方米的造价为元，池底每平方米的造价为元，怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？【审题要津】由题意知水池呈长方形，高为，底面的长与宽不确定，要确定水池总造价最低，只需确定水池的长与宽的即可解：设底面的长为、宽为，水池总造价是，则根据题意得：容积为，即即当时，等号成立. 所以，将水池的底面设计成边长为的正方形时总造价最低，总造价为元.【方法总结】本题将实际背景转化数学模型为：已知两正数的积为定值，求和的最小值；注意总造价的

13、表示是建立数学模型的关键.例 图画柱挂在墙上，它的下边缘在观察者的眼睛上方米处，而上边缘在米处，问观察者站在离墙多远处才能使视角最大？ 【审题要津】要使视角（锐角）最大，只需该视角的某一三角函数值（正切、正弦）最大.解：设观察者站在离墙米，则如图，当且仅当即时，取等号.又，是增函数.时，视角有最大值.【方法总结】实际中的最值问题往往转化为数学中的函数求最值问题.这里是几何中的最值问题，以观察者站在离墙的距离米为自变量，得到目标函数是本题的关键.1.（2006年天津）某公司一年购买某种货物吨，每次都购买吨，运费为每次万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 吨.2.如图，在某水泥渠道，横断

14、面为等腰梯形，为保证额定流量，面积不得小于若两侧面的倾角均为，为使水泥用料最省，则腰长与底宽之比是3.一批货物随17列货车从市以匀速直达市，已知两地间铁路线长为400，为了安全，两辆货车间的间距不得小于，那么这批货物全部运到市最快需要 .4.下列命题中正确的是 函数的最小值为2 函数的最小值为2 函数的最大值为 函数的最小值为.5. 已知正数满足则有 最小值 最大值 最小值 最大值.6.若,则7.若实数成等比数列，且成等差数列，则的取值范围 8. （2007年重庆）若是与的等比中项，则的最大值为 .9.（2009重庆一摸）函数的最小值是 .10.在中，为中线上的一个动点，若，则的最小值为 -2 .11.若正数满足，求的取值范围解：的取值范围为12.已知,且，求的最大值解：当且仅当时取等号，故的最大值为1. （2006年陕西）已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最大值为 .2. （2006年湖南理）对1个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为:)为0.8,要求洗完后的清洁度是0.99.有两种方案可供选择,方案甲:一次清洗;方案乙:两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量变为(1a3).设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是(),用质量的水第二次清洗后的清洁度是,其中是该物体初次清洗后的清洁度.(1)分别求