高中数学排列组合与概率统计习题

1、高中数学必修 排列 组合和概率练习题一、选择题（每小题5分，共60分）(1) 已知集合A=1,3,5,7,9,11，B=1,7,17.试以集合A和B中各取一个数作为点的坐标,在同一直角坐标系中所确定的不同点的个数是C(A) 32 (B) 33 (C) 34 (D) 36 解 分别以和的元素为和坐标, 不同点的个数为 分别以和的元素为和坐标, 不同点的个数为 不同点的个数总数是,其中重复的数据有，所以只有34个(2) 从1，2，3，9这九个数学中任取两个，其中一个作底数，另一个作真数，则可以得到不同的对数值的个数为(A) 64 (B) 56 (C) 53 (D) 51 解 从1，2，3，9这九个

2、数学中任取两个的数分别作底数和真数的“对数式”个数为；1不能为底数，以1为底数的“对数式”个数有8个,而应减去；1为真数时，对数为0，以1为真数的“对数式”个数有8个 ,应减去7个；，应减去4个所示求不同的对数值的个数为（3） 四名男生三名女生排成一排，若三名女生中有两名站在一起，但三名女生不能全排在一起，则不同的排法数有（A）3600 （B）3200 （C）3080 （D）2880解 三名女生中有两名站在一起的站法种数是； 将站在一起的二名女生看作1人与其他5人排列的排列种数是，其中的三名女生排在一起的站法应减去。站在一起的二名女生和另一女生看作1人与4名男生作全排列，排列数为，站在一起的二

3、名女生和另一女生可互换位置的排列，故三名女生排在一起的种数是。 符合题设的排列数为：我的做法用插空法，先将4个男生全排再用插空（4） 由展开所得x多项式中，系数为有理项的共有（A）50项 （B）17项 （C）16项 （D）15项解 可见通项式为: 且当时,相应项的系数为有理数,这些项共有17个, 故系数为有理项的共有17个.（5） 设有甲、 乙两把不相同的锁，甲锁配有2把钥匙，乙锁配有2把钥匙，这4把钥匙与不能开这两把锁的2把钥匙混在一起，从中任取2把钥匙能打开2把锁的概率是（A） 4/15 （B） 2/5 （C） 1/3 （D） 2/3解 从6把钥匙中任取2把的组合数为，若从中任取的2把钥匙

4、能打开2把锁，则取出的必是甲锁的2把钥匙之一和乙锁的2把钥匙之一。假设分二次取钥匙，第一次取到甲锁的钥匙，第二次取到乙锁的钥匙，取法的种数为；当然，第一次取到乙锁的钥匙，第二次取到甲锁的钥匙，取法的种数也为。这二种取法都能打开2把锁。故从中任取2把钥匙能打开2把锁的概率是：（6） 在所有的两位数中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是（A） 5/6 （B） 4/5 （C） 2/3 （D） 1/2解 所有两位数的个数为90个；能被2或3整除的二位数的个数:能被2整除的二位数的个数是有,能被3整除的二位数的个数为有24个(从中选2的排列, 九组中各选2的排列有),能被3整除的二位数中有9个(

5、)也能被3整除,故能被2或3整除的二位数的个数是；所有的两位数中，能被2或3整除二位数所占比例是.因此, 在所有的两位数中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是（7） 先后抛掷三枚均匀的硬币，至少出现一次正面的概率是（A）1/8 （B）3/8 （C） 7/8 （D 5/8解 恰好出现一次正面的概率为恰好出现二次正面的概率为恰好出现三次正面的概率为至少出现一次正面的概率是（8） 在四次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率中的取值范围是（A） （B） （C） （D 解 设事件A在一次试验中发生的概率为，由题设得 对于，有对于，

6、有 根据概率的性质，的取值范围为（9） 若，则(a0+a2+a4+a100)2-(a1+a3+a99)2的值为（A）1 （B）-1 （C） 0 （D）2解 （10） 从集合中任取3个数，这3个数的和恰好能被3整除的概率是（A） 19/68 （B） 13/35 （C） 4/13 （D） 9/34 解 从集合中任取3个数的取法种数为；取到的数含3或6时,其余二数为12、15、24、27、45、57，能被3整除的数的个数为；取到的数不含3或6和能被3整除的三个数是1、4、7，取法种数有种；因此，所求概率为：（11） 某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元 70元的单片软件和盒装磁

7、盘，根据需要至少买3片软件，至少买2盒磁盘，则不同的选购方式共有（A）5种 （B）6种 （C）7种 D）8种解 设选购片软件，盒磁盘，则：，解得：，软件和磁盘数量的选购方式分别为，共7种。（12） 已知，且，而按的降幂排列的展开式中，T2T3，则的取值范围是（A） （B） （C） （D）二、填空题（每小题4分，共16分）（13） 已知A、B是互相独立事件，与分别是互斥事件，已知，则至少有一个发生的概率_ 解 A、B同时发生的概率 A发生而B没有发生的概率 A没有发生而B发生的概率 C发生的概率 至少有一个发生的概率（14） 展开式中的常数项是 （15） 求值：_ 重要：（16） 5人担任5种不

8、同的工作，现需调整，调整后至少有2人与原来工作不同，则共有多少种不同的调整方法？_ 解法一 设该5 人分别为,调整前的工作分别是,当他们的排列为时, 工作也分别是,即有二人调换工作,故他们的每一排列可表示他们的工作的一种安排情况, 他们的全排列可表示工作的全部安排情况.全排列数减去1即为不同的调整方法.故不同的调整方法种数为： 解法二 设该5 人分别为,调整前的工作分别是。 求恰有2人调整工作的种数:求恰有3人调整工作的种数: 从5人中选 3人的组合数为,这10组及它们的排列数与工作调整的方式数分别如下：恰有3人调整工作的种数: 求恰有4人调换工作的种数:从5人中选 4人的组合数为,这10组及

9、它们的排列数与工作调整的方式数分别如下：恰有4人调换工作的种数:求恰有5人调换工作的种数:换任的工作的排列：11种调整方式换任的工作的排列：11种调整方式换任的工作的排列：11种调整方式换任的工作的排列：11种调整方式恰有5人调换工作的种数共有故后至少有2人与原来工作不同工作的调整方法的种数是：10+20+45+44=119（种）三、解答题（17）在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列（）求展开式的第四项；（）求展开式的常数项；（）求展开式中各项的系数和 解 二项式展开式的通项为， 由已知得：成等差数列 ，解得 （） （）由知：当，即时，为常数项（）令，则展开式的各项（也即各项系数）

10、为：各项系数和为：（18） 设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入5个盒子内()只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？()没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？ ()每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？解 （）从5个盒子中任选4个来放球（其中的任1个盒放2个球），有种选法；从5个球中任选2个球（不分先后）的选法有，故盒子的种选法中的每一种都有种放球的方法。因此投放方法种数为：（）5个球的全排列中减去球号与盒号相同的一种排列即为所求：（种）（）五个球分别放在五个盒子中，则球

11、的球的编号与盒子编号全部相同；五个球分别放在五个盒子中，则有2个球的编号与盒子编号不相同。所以球号与盒号相同度情况分类如下： 没有相同的（也即5个全部不同），种参考第（16）题分析； 有1个相同（也即有4个不同），有种；有2个相同（也即有3个不同），有种 ；有3个相同（也即有2个不同），有种；有5个相同（也即没有不相同的），有种；本小题求的是、这三类的相同数这种之和，或者说是各类的总数减去二类之和。因此，如每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的投放方法的种数是： 或 （19）掷三颗骰子，试求：（）没有一颗骰子出现1点或6点的概率；（）恰好有一颗骰子出现1点或6点的概率。

12、解 设表示第颗骰子出现1点或6点，则互相独立，与之间也互相独立。 （）（）掷一颗骰子出现1点或6点的概率为，将掷三颗骰子看作掷一颗骰子三次，根据公式，可知恰好有一颗骰子出现1点或6点的概率是：也可以这样解：设表示“第颗骰子出现1点或6点”，D表示“恰好一颗骰子出现1点或6点”，则，因，互斥，故（20）已知| （）从集及中各取一个元素作直角坐标系中点的坐标，共可得到多少个不同的点？ （）从中取出三个不同元素组成三位数，从左到右的数字要逐渐增大，这样的三位数共有多少个？ （）从集中取一个元素，从中取三个元素，可以组成多少个无重复数字且比4000大的自然数.解 , , , , （）从集及中各取一个元

13、素作直角坐标系中点的坐标组成不同的点，就是从集合中任选2个元素排列分别作点的坐标组成点与从集合中任选1个元素既作坐标又作坐标组成点，所求不同的点的点数为：（）三个不同元素组成三位数有6个, 其中从左到右的数字要逐渐增大的三位数只有1个,故所求三位数的个数是:（）中取3,而3不能排头,只能排在第二、三、四位，即有3种站位；中5选 3，有种选法.故中取元素3, 中取三个元素的取法有种；中分别取4，5，5，6，7，则中不能取4，5，5，6，7，中可取的元素与中可取的元素总是。从中任取4个元素的排列是所求四倍位数的个数是：（21） 一个布袋里有3个红球，2个白球，抽取3次，每次任意抽取2个，并待放回后

14、再抽下一次，求：（）每次取出的2个球都是1个白球和1个红球的概率； （）有2次每次取出的2个球是1个白球和1个红球，还有1次取出的2个球同色的概率； （）有2次每次取出的2个球是1个白球和1个红球，还有1次取出的2个球是红球的概率 解（） （） 可以使用n次独立重复试验 所求概率为 8分（）本题事件可以表示为A·A·C+A·C·A+C·A·A P(A·A·C+A·C·A+C·A·A)=C31P(A)P(A)P(C)=0.324 14分网上参考解答一、选择题（1）D （2）C

15、（3）D （4）B （5）A （6）C （7）C （8）A （9）A（10）B （11）C （12）C二、填空题（13）0.82 （14）-20 （15）1/11 （16）119三、解答题（17） 展开式的通项为，r=0，1，2，n 由已知：成等差数列 n=8 2分 （） 4分 （） 8分（）令x=1，各项系数和为 12分（18）（）C52A54=1200（种） 4分（）A55-1=119（种） 8分（）不满足的情形：第一类，恰有一球相同的放法： C51×9=45第二类，五个球的编号与盒子编号全不同的放法： 满足条件的放法数为： A55-45-44=31（种） 12分（19） 设Ai

16、表示第i颗骰子出现1点或6点， i=1，2，3，则Ai互相独立，Ai与之间也互相独立， （1） 6分 （2）设D表示“恰好一颗骰子出现1点或6点的概率”则 8分因互斥 12分 （20） A=3，4，5，6，7，B=4，5，6，7，8 2分（）A62+4=34（个） 4分（）C63=20（个） 8分（）A中取3有C31A53种 A中不取3，有A54种 共有C31A53+A54=300（种） 12分（21） 记事件A为“一次取出的2个球是1个白球和1个红球”，事件B为“一次取出的2个球都是白球”，事件C为“一次取出的2个球都是红球”，A B C互相独立 （） 4分 （） 可以使用n次独立重复试验

17、所求概率为 8分（）本题事件可以表示为A·A·C+A·C·A+C·A·A P(A·A·C+A·C·A+C·A·A)=C31P(A)P(A)P(C)=0.324 14分一、选择题： 1、将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有（ ）（A）81 （B）64 （C）12 （D）14 解 三个球全放在一个盒子中，放法有种；二个球放在一个盒子中，另一球放在一个盒中，放法有种；每个球单独放在一个盒子中，放法有种。所求放法有2、且，则乘积等于（ ）（A） （B） （B） （D）3、

18、用1，2，3，4这四个数字可以组成数字不重复的自然数的个数（ ）（A）64 （） （B）60 （C）24 （D）2564、3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，则有不同分法的种数是（ ）（A）2160 （B）120 （C）240 （D）720（）5、要排一张有5个独唱和3个合唱的节目表，如果合唱节目不能排在第一个，并且合唱节目不能相邻，则不同排法的种数是（ ）（A） （B） （C） （D） 解 5个独唱节目有的排列有种； 3个合唱节目可在5个位置中任选3个位置排列（），排列数有种。 所求不同排法的种数是种6、5个人排成一排，其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有（ ）（A） （B

19、） （C） （D） 解 5个人的总排列有种；甲乙都不排在两端时（如），另三人的排法有种，中间的三个位置甲或乙都可站，排法是种，甲乙都不排在两端的排法是种；所求不同排法的种数是种7、用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数有（ ）（A）24 （B）36 （C）46 （D）60 解 数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数的总个数为，其中偶数有个； 5排在首位时的数大于50000，有个，其中偶数有个应减去； 小于50000的偶数有8、某班委会五人分工，分别担任正、副班长，学习委员，劳动委员，体育委员，其中不能担任正班长，不能担任学习委员，则不同的分工方案的种

20、数是（ ）（A） （B） （C） （D） 解法一 为正班长时，其他委员可任意分工，有种；为副班长时，不能任正班长，其他委员可任意分工，有种；为劳动委员时，不能任正班长，其他委员可任意分工，有种；为体育委员时，不能任正班长，其他委员可任意分工，有种； 所求不同的分工方案的种数是解法二 假设任意分工，则不同的分工方案有种。为正班长、为任学习委员的分工方案各有，应减去；但中包含为正班长且为任学习委员的分工方案，有种；只能减去；减去后就应加上。所求不同的分工方案的种数是解法三 为正班长时，其他委员可任意分工，有种；非正班长时，有种选择，而在的分工确定后也有，其他三个委员在剩下的三种工作中选择，共有。故

21、非正班长时，分工方案有。所求不同的分工方案的种数是种.二、填空题9、（1） 4？ 解 （2）若，则 8 . 解 由得：10、从A、B、C、D这四个不同元素中，取出三个不同元素的排列为_. 解 从四个不同元素的排列中取出三个不同元素的排列的个数为，分别是：11、4名男生，4名女生排成一排，女生不排两端，则有_种不同排法。 解 四女生排在一起,如,有种；三女生排在一起,另一女生分开排,如,有种；二女生排在一起,另二女生分开排,如,有种；二女生排在一起且与另二排在一起的女生分开排,如,有种；所求不同排法有:12、有一角的人民币3张，5角的人民币1张，1元的人民币4张，用这些人民币可以组成_种不同币值

22、。 解 单张纸币的不同币值种数: 一角、5角、1元，共3种；多张一角纸币组成的不同币值种数:2角、3角，共2种；多张一元纸币组成的不同币值种数:2元、3元，4元，共3种；一角纸币与5角纸币组成的不同币值种数: 6角、7角，8角，共3种；一元纸币与1角纸币组成的不同币值种数: 1.1元、1.2元、1.3元共12种； 2.1元、2.2元、2.3元 3.1元、3.2元、3.3元 4.1元、4.2元、4.3元一元纸币与5角纸币组成的不同币值种数: 1.5元、2.5元、3.5元、4.5元，共4种；含有一元、五角、一角纸币的不同币值种数: 1.6元、1.7元、1.8元共12种；2.6元、2.7元、2.8元

23、 3.6元、3.7元、3.8元 4.6元、4.7元、4.8元所求不同的币值种数为3+2+3+3+12+4+12=39种三、解答题13、用0，1，2，3，4，5这六个数字，组成没有重复数字的五位数，（1）在下列情况，各有多少个？奇数；能被5整除；能被15整除；比35142小；比50000小且不是5的倍数.（2）若把这些五位数按从小到大排列，第100个数是什么？ 解（1） 1 × × × ×1 0 × × ×1 2 × × ×1 3 × × ×1 4 × &#

24、215; ×1 5 0 2 ×1 5 0 3 21 5 0 3 414、7个人排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？（1）甲排头；（2）甲不排头，也不排尾；（3）甲、乙、丙三人必须在一起；（4）甲、乙之间有且只有两人；（5）甲、乙、丙三人两两不相邻；（6）甲在乙的左边（不一定相邻）；（7）甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序；（8）甲不排头，乙不排当中。 解（1）（2）（3）（4）甲、乙之间有且只有两人的站位形式为，, 。从其余甲乙外的五名学生中任选二人排在甲乙之间的选法有种，剩下的三名学生的排法有。所求排法种数为：（5）甲、乙、丙三人两两不相邻的排法形式有共种；

25、共种；共种；共种;所求排法种数为：（6）从七人中任选七人的排列数为，甲在乙左边与乙在甲左边的排列数是相等的，所求排法种数：（注意：如果甲乙一定相邻，则甲在乙左边的排列数为）（7）甲、乙、丙三人从左到右，从高到矮排列，可看成一人参与排列，所求排列数为： （注意：如甲、乙、丙三人三人从左到右，从高到矮排列在一起的排列数为种）（8）7人中选7的全排列为；甲排头的排列为，乙排尾的排列也为；甲排头和乙排尾中的相同排列是。因此，所求排列数为：15、从2，3，4，7，9这五个数字任取3个，组成没有重复数字的三位数。（1）这样的三位数一共有多少个？（2）所有这些三位数的个位上的数字之和是多少？（3）所有这些三

26、位数的和是多少？ 解（1）（2）个位上的数字分别是2，3，4，7，9的数的个数分别是，所有这些三位数的个位上的数字之和是：（3）百位、十位、个位上的数字之和都是300，故所有这些三位数的和是：答案：一、选择题： 1B2B3A4D5C6C7B8A二、填空题9（1）5；（2）810abc，abd，acd，bac，bad，bcd，cab，cad，cbd，dab，dac，dbc1186401239三、解答题13（1）3×=288（2）略。14（1）=720（2）5=3600（3）=720（4）=960（5）=1440（6） =2520（7）=840（8）15（1）（2）（3）300×

27、;（100+10+1）=33300排列与组合练习1、若，则的值为（ ）（A）6 （B）7 （C）8 （D）9解 由得： ，2、某班有30名男生，20名女生，现要从中选出5人组成一个宣传小组，其中男、女学生均不少于2人的选法为（ ）（A） （B）（C） （D）3、空间有10个点，其中5点在共面，其余没有4点共面，则10个点可以确定不同平面的个数是（ ）（A）206 （B）205 （C）111 （D）1104、6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，不同的分法种数是（ ）（A） （B） （C） （D）解 从6本书（）中选2本的组合是种：。当分给甲、乙、丙三人中的一人的书确定后（如），剩下四本书（）选2本的组合是种：（，），可见分给三人中的另二人书的分法有种，故总分法是： 种5、由5个1，2个2排成含7项的数列，则构成不同的数列的个数是（ ）（A）21 （B）25 （C）32 （D）42解 2个2排列在一起时的数列