高等数学一期末复习题及答案

1、高等数学（一）期末复习题一、选择题1、极限 的结果是 （ C ） （A） （B） （C） （D）不存在2、方程在区间内 （ B ） （A）无实根 （B）有唯一实根 （C）有两个实根 （D）有三个实根3、是连续函数, 则 是的 （C ）（A）一个原函数； (B) 一个导函数； (C) 全体原函数； (D) 全体导函数；4、由曲线和直线所围的面积是 （C）（A） (B) (C) (D) 5、微分方程满足初始条件的特解是 ( D )（A） （B） （C） （D）6、下列变量中，是无穷小量的为（ A ）(A) (B) (C) (D) 7、极限 的结果是（ C ） （A） （B） （C） （D）不存在8

2、、函数在区间上 （ A ） （A）单调增加 （B）单调减小 （C）无最大值 （D）无最小值9、不定积分 = （ D）(A) (B) (C) (D) 10、由曲线和直线所围的面积是 （ A ）（A） (B) (C) (D) 11、微分方程的通解为 （ B ） （A） （B） （C） （D）12、下列函数中哪一个是微分方程的解( D )（A） （B） （C） （D）13、 函数 是 （ C ）(A) 奇函数； (B) 偶函数； (C)非奇非偶函数； (D)既是奇函数又是偶函数.14、当时， 下列是无穷小量的是 （ B ）（A） (B) (C) (D) 15、当时，下列函数中有极限的是 （ A ）

3、（A） (B) (C) (D) 16、方程的实根个数是 （ B ） （A）零个 （B）一个 （C）二个 （D）三个17、（ B ）（A） （B） （C） （D） 18、定积分是 （ C ）（A）一个函数族 （B）的的一个原函数 （C）一个常数 （D）一个非负常数19、 函数是（ A ）（A）奇函数（B）偶函数 （C） 非奇非偶函数（D）既是奇函数又是偶函数20、设函数在区间上连续，在开区间内可导，且，则( B ) (A) (B) (C) (D)21、设曲线 则下列选项成立的是（ C ）(A) 没有渐近线 (B) 仅有铅直渐近线 (C) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (D) 仅有水平渐近线22、

4、( D )（A） （B） （C） （D） 23、数列的极限为（ A） （A）(B) (C) (D) 不存在24、下列命题中正确的是（ B ）（A）有界量和无穷大量的乘积仍为无穷大量（B）有界量和无穷小量的乘积仍为无穷小量（C）两无穷大量的和仍为无穷大量 （D）两无穷大量的差为零25、若，则下列式子一定成立的有（ C ） (A) (B) (C) (D)26、下列曲线有斜渐近线的是 ( C )(A) (B) (C) (D)二、填空题 1、 2、 若，则 2 3、 2 4、 5、微分方程满足初始条件的特解为 6、 0 7、 极限 8、设则 1 9、 2 10、 11、微分方程的通解为 12、 2 1

5、3、 1 14、设，则 15、设则 -1 16、不定积分 17、微分方程的通解为 18、微分方程的通解是 19、 20、21、的值是 22、 23、24、 25、若，则 2 26、 27、设，则微分_. 28、 2 三、解答题1、（本题满分9分）求函数 的定义域。解：由题意可得， 解得 所以函数的定义域为 1，2 2、（本题满分10分）设，求。解： 3、（本题满分10分）设曲线方程为,求曲线在点处的切线方程。解：方程两端对x求导，得 将代入上式，得 从而可得：切线方程为 即 4、（本题满分10分）求由直线及抛物线所围成的平面区域的面积。解：作平面区域，如图示 解方程组得交点坐标：（0，0），（

6、1，1） 所求阴影部分的面积为：=5、（本题满分10分）讨论函数 在 处的连续性。解： 在 处是连续的6、（本题满分10分）求微分方程的特解。解：将原方程化为 两边求不定积分，得 ，于是 将代入上式，有，所以， 故原方程的特解为。7、（本题满分9分）求函数 的定义域。解：由题意可得， 解得 所以函数的定义域为 4，5 8、（本题满分10分）设，求。解： 9、（本题满分10分）设平面曲线方程为，求曲线在点（2，1）处的切线方程。解：方程两端对x求导，得 将点（2，1）代入上式，得 从而可得：切线方程为 即10、（本题满分10分）求由曲线及直线和所围成的平面图形的面积（如下图）解：所求阴影部分的面

7、积为 11、（本题满分10分）讨论函数 在 处的连续性。解： 在 处是连续的。12、（本题满分10分）求方程的通解。解：由方程，得两边积分： 得所以原方程的通解为：或13、（本题满分10分）证明方程在区间内至少有一个实根。解：令，在上连续 ， 由零点定理可得，在区间内至少有一个，使得函数 ， 即方程在区间内至少有一个实根。14、（本题满分10分）设，求。解： 15、（本题满分10分）求曲线在点（0，1）处的法线方程。解：方程两端对求导，得 将点（0，1）代入上式，得 从而可得： 法线方程为16、（本题满分10分）求曲线与直线及轴所围成平面图形的面积。解：作平面图形，如图示2xy=2y=cosx

8、0y=22xy=2y=cosx0y=2 17、（本题满分10分）讨论函数 在 处的连续性。解： 在 处是连续的。18、（本题满分10分）求微分方程的特解。解：将原方程化为或 两边求不定积分，得 由得到 故原方程的特解为或 19、（本题满分20分）解：由切片法可得：又根据问题的实际意义的最小值存在, 或者, 20、（本题满分20分） 假定足球门的宽度为4米，在距离右门柱6米处一球员沿垂直于底线的方向带球前进，问：该球员应在离底线多少米处射门才能获得最大的射门张角？若球员以5.2米每秒的速度沿垂直于底线的方向向球门前进，求在距离底线2米处，射门张角的变化率。解：由题意可得张角与球员距底线的距离满足

9、 令，得到驻点(不合题意，舍去) 及 . 由实际意义可知 , 所求最值存在, 驻点只一个, 故所求结果就是最好的选择. 即该球员应在离底线米处射门才能获得最大的射门张角。若球员以5.2米每秒的速度跑向球门，则. 在距离球门两米处射门张角的变化率为： (弧度/秒)。21、（本题满分10分）设，求解法1设，则 解法2 .22、证明题（本题满分10分）设函数在上连续,在内可导, ，。试证必存在一点，使得.证明: 在上连续，故在上连续，且在上有最大值和最小值，故 由介值定理得，至少存在一点，使得 ，且在上连续,在内可导， 由罗尔定理可知，必存在，使得23、（本题满分20分）一火箭发射升空后沿竖直方向运

10、动，在距离发射台4000m处装有摄像机，摄像机对准火箭。用 表示高度，假设在时刻 ，火箭高度=3000m，运动速度等于300m/s,（1） 用表示火箭与摄像机的距离，求在时刻的增加速度.【解】（1）设时刻高度为，火箭与摄像机的距离为，则两边关于求导得代入=3000m，=300m/s，得 180 m/s（2） 用表示摄像机跟踪火箭的仰角（弧度），求在时刻的增加速度. a a （2）设时刻摄像机跟踪火箭的仰角（弧度）为，则有 两边关于求导得 当=3000m时，=300m/s，故 (或)高等数学（一）期末复习题答案一、选择题1、C 解答：第一步，先分子有理化；第二步，分子利用平方差公式，第三步，分子

11、分母同时除以x；第四步化简即可。 2、B 解答：设，则，有零点定理得在区间内存在实数根，又因，可知函数具有单调性，所以有唯一的实根。 3、C 本题考察不定积分的概念，不定积分是所有原函数的全体。 4、C解答：利用定积分的几何意义，所求面积为5、D 解答：直接积分法，代入已知点坐标可得 6、A解答：因为，所以此时是无穷小量。7、C 解答： 8、A 解答：因为，所以单调增加。 9、D 解答：10、A解答：利用定积分的几何意义，所求面积为11、B 解答：先分离变量，两端再积分所求通解为12、D 解答：直接积分法，当时有13、C 解答： 是奇函数加上偶函数 ，所以是非奇非偶函数。14、B 解答：，所以

12、此时是无穷小量。15、A 解答：， 其它三项极限都不存在。16、B 解答：设，则，有零点定理得在区间内存在实数根，又因，可知函数具有单调性，所以有唯一的实根。 17、B 解答：求导与求积分是互逆的运算，先求导再求积分，是所有原函数所以选B18、C 解答：考察定积分的概念，定积分计算完以后是一个确切的常数，可能是正数，也可能是0，还可能是负数。19、 A 解答：由函数的奇函数和偶函数的定义去判断即可，设，则20、B 解答：由于所以21、C 解答： 是水平渐近线；是铅直渐近线。22、D 考查定积分的性质与基本的积分表23、A 解答：分子分母同时除以n可以得到24、B 解答：考查无穷小量的重要性质之

13、一，有界量和无穷小量的乘积仍为无穷小量，其它选项都不一定正确。25、C 解答：，其它选项都有反例可以排除。26、C解答：有求解斜渐近线的方法可得，所求斜渐近线为。其它选项都没有。二、填空题 1、 解答： 或者用罗比达法则也可以求解。2、 2 解答： ，则3、 2 解答：应用奇函数在关于原点对称区间上的积分为0 4、 分析：被积函数 相对于积分变量来说是常数，所以5、 解答：，代入初始条件得到 所求特解为6、0 解: 7、 解:8、 1 解:则9、 2 解：应用性质，奇函数在对称区间上的积分为0 10、解：由基本的积分公式11、解：对方程 两端积分12、 2解：利用偶函数的积分性质13、1 解：

14、 14、解：由微分的定义，先求出导数，再求微分 15、 解： 16、 解：将看成一个整体，利用凑微元法得17、 解：先分离变量，再积分得通解18、 解：先整理，再分离变量求通解19、 解：利用重要极限进行恒等变形，再求解 20、 解：本题是幂指函数，利用对数求导法来求导数21、 解：分母相同，分子先通分，分子分母最高次幂都是2次幂，自变量趋于无穷大，极限等于最高次幂的系数之比22、 解：分子分母最高次幂都是3次幂，自变量趋于无穷大，极限等于最高次幂的系数之比 23、 解：由微分的定义，先求出导数，再求微分，本题是幂指函数可以利用对数求导法来求导数24、 解： 25、2 解：先求导数，再代入具体

15、数值26、 解：利用奇函数与偶函数的积分性质27、 解：由微分的定义，先求出导数，再求微分 28、 2 解：利用奇函数与偶函数的积分性质. 三、解答题1、（本题满分9分）解：由题意可得， 解得 所以函数的定义域为 1，2 2、（本题满分10分）解： 3、（本题满分10分）解：方程两端对x求导，得 将代入上式，得 从而可得：切线方程为 即 4、（本题满分10分）解：作平面区域，如图示 解方程组得交点坐标：（0，0），（1，1） 所求阴影部分的面积为：=5、（本题满分10分）解： 在 处是连续的。 6、（本题满分10分）解：将原方程化为 两边求不定积分，得 ，于是 将代入上式，有，所以， 故原方程

16、的特解为。 7、（本题满分9分）解：由题意可得， 解得 所以函数的定义域为 4，5 8、（本题满分10分）解： 9、（本题满分10分）解：方程两端对x求导，得 将点（2，1）代入上式，得 从而可得：切线方程为 即 10、（本题满分10分）解：所求阴影部分的面积为 11、（本题满分10分）解： 在 处是连续的。 12、（本题满分10分）解：由方程，得两边积分： 得 所以原方程的通解为：或 13、（本题满分10分）解：令，在上连续 ， 由零点定理可得，在区间内至少有一个，使得函数 ， 即方程在区间内至少有一个实根。 14、（本题满分10分）解： 15、（本题满分10分）解：方程两端对求导，得 将点

17、（0，1）代入上式，得 从而可得： 法线方程为 2xy=2y=cosx0y=216、（本题满分10分）解：作平面图形，如图示17、（本题满分10分）解： 在 处是连续的。 18、（本题满分10分）解：将原方程化为或 两边求不定积分，得 由得到 故原方程的特解为或 19、（本题满分20分）解：由切片法可得：又根据问题的实际意义的最小值存在, 或者, 20、（本题满分20分）解：由题意可得张角与球员距底线的距离满足 令，得到驻点(不合题意，舍去) 及 . 由实际意义可知 , 所求最值存在, 驻点只一个, 故所求结果就是最好的选择. 即该球员应在离底线米处射门才能获得最大的射门张角。若球员以5.2米每秒的速度跑向球门，则