隐函数的定理及其应用

1、隐函数的定理及其应用摘 要：本文主要讨论了隐函数和隐函数组的相关定理,并举例说明其应用.关键词：隐函数；隐函数组；可微性；导数 Implicit Function Theorem and Its ApplicationAbstract：This paper mainly discusses the related theorem of implicit function and implicit function group,and illustrates its application by examples.Key words：implicit function；implicit func

2、tion group；differentiability；derivative引言我们在初中时就开始接触到函数,在我们眼中,函数就是一种关系,这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个(可能相同的)集合里的唯一元素.在之前我们所接触到的函数,其表达式大多是自变量的某个算式,如这种形式的函数即为显函数.然而我们在很多地方也会遇到另一种形式的函数,它的自变量与因变量之间的对应法则是由一个方程式所确定的.简单来说,若能由函数方程,确定为的函数,即,就称是的隐函数.1.关于隐函数的一些定理1.1 隐函数存在惟一性若(1)函数在以为内点的某一区域上连续；(2)(通常称为初始条件)；(3)在内存在连续的

3、偏导数；(4),1 / 19则在点的某邻域内,方程惟一地确定了一个定义在某区间内的函数(隐函数),使得(1) ,时且；(2) 在内连续.需要注意的是,上述定理中的条件仅仅是充分的.如方程在点不满足条件(4)(),但它仍能确定惟一的连续函数.当然,由于条件(4)不满足,往往会导致定理结论的失效.事实上,条件(3)和(4)只是用来保证存在的某一邻域,在此邻域内关于变量是严格单调的.因此对本定理的结论来说,可以把后两个条件减弱为：在的某邻域内关于严格单调.采用较强的条件(3)和(4)只是为了在实际应用中便于检验.如果把定理的条件(3)和(4)改为连续,且,这时结论是存在惟一的连续函数.1.2 隐函数

4、的可微性定理设满足隐函数存在惟一性定理中的条件(1)-(4),又设在内还存在连续的偏导数,则由方程所确定的隐函数在其定义域内有连续导函数,且 . 若已知方程确定存在连续可微的隐函数,则可对方程应用复合求导法得到隐函数的导数,因为把看作与的复合函数时,有当时,由它即可推得与相同的结果.对于隐函数的高阶导数,可以用和上面一样的方法求得,此时只要假定函数存在相应的连续的高阶偏导数.我们可以类似的推出由方程所确定的元隐函数的概念.1.3 元隐函数的惟一存在与连续可微性定理若(1) 函数在以点为内点的区域上连续；(2) ；(3) 偏导数在内存在且连续；(4) ,则在点的某邻域内,方程惟一地确定了一个定义

5、在的某邻域内的元连续函数(隐函数),使得(1) 当时,且,.(2) 在内有连续偏导数：,而且.例1 设方程 由于及在平面上任一点都连续,且,故依上述定理,方程确定了一个连续可导隐函数,按公式,其导数为.上述都是由一个方程所组成的隐函数,下面来讨论由方程组所确定的隐函数组.设和为定义在区域上的两个四元函数.若存在平面区域,对于中每一点分别有区间和上惟一的一对值,它们与一起满足方程组则说方程组确定了两个定义在上,值域分别落在和内的函数.我们称这两个函数为由方程组所确定的隐函数组.若分别记这两个函数为,则在上成立恒等式,. 为了探索由方程组所确定隐函数组所需要的条件,不妨假设中的函数和是可微的,而且

6、由所确定的两个隐函数与也是可微的.那么通过对方程组关于分别求偏导数,得到要想从解出与,从解出与,充分条件是它们的系数行列式不为零,即式左边的行列式称为函数和关于变量,的函数行列式(或雅可比Jacobi行列式),亦可记作.条件在隐函数组定理中所起作用与隐函数存在惟一性的条件(4)相当.1.4 隐函数组定理若(1) 和在以点为内点的区域内连续； (2) ,(初始条件)； (3) 在内,具有一阶连续偏导数； (4) 在点不等于零,则在点的某一(四维空间)邻域内,方程组惟一确定了定义在点的某一(二维空间)邻域内的两个二元隐函数,使得(1) 且当时, (2) 在内连续；(3) 在内有一阶连续偏导数,且,

7、.应该注意的是,本定理中若将条件(4)改为,则方程组所确定的隐函数组相应是；其他情形均可类似推得.总之,当我们遇到由方程组定义隐函数组及隐函数组求导的问题时,首先应明确那些变量是自变量,那些变量是因变量,然后再进行有关讨论和运算.2. 隐函数在几何方面的应用2.1 平面曲线的切线与法线设平面曲线由方程给出,它在点的某邻域内满足隐函数定理条件,于是在附近所确定的连续可微隐函数或()和方程在附近表示同一曲线,从而该曲线在点处存在切线和法线,其方程分别为(或)与 (或)由于(或),所以曲线在点处的切线和法线方程分别为切线： ,法线： .例2 求笛卡儿叶形线在点处的切线与法线.解 设,于是,在全平面连

8、续,且,.依次由公式与分别求得曲线在点处的切线与法线方程分别为即, 即.2.2 空间曲线的切线与法平面下面我们讨论由参数方程 ： 表示的空间曲线上的某一点处的切线和法平面方程,其中,并假定式中的三个函数在处可导,且.则曲线在处的切线方程为 . 由此可见当,不全为零时,它们是该切线的方向数.过点可以作无数条直线与切线垂直,且这些直线都在同一平面上,称这平面为曲线在处的法平面.它通过点,且以为它的法线,所以法平面的方程为当空间曲线方程由方程组 ： 给出时,若它在点的某邻域内满足隐函数定理条件(这里不妨设条件(4)是),则方程组在点附近所能确定惟一连续可微的隐函数组,使得,且,.在附近的参数方程为那

9、么由式曲线在处的切线方程为即 .曲线在处的法平面方程为同理我们可以推得：当或在处不等于零时,曲线在点处的切线与法平面方程仍分别取上述形式.由此可见,当不全为零时,它们是空间曲线在处的切线的方向数.例3 求平面与锥面所截出的曲线在点处的切线与法平面方程.解 设 ,.它们在点处的偏导数和雅可比行列式之值为：, ,.所以曲线在点处的切线方程是：,即.法平面方程为,即.2.3曲面的切平面和法线设曲面由方程 给出,它在点的某邻域内满足隐函数定理条件(不妨设).于是方程在点附近确定惟一连续可微的隐函数使得,且,.由于在点附近与表示同一曲面,该曲面在处有切平面与法线,分别是与 .它们也可写成如下形式：与 .

10、这种形式对于或也同样合适.例4 求椭球面在处的切平面方程与法线方程.解 设.由于,在全空间上处处连续.在处,.因此由上面的公式可得出切平面方程,即 和法线方程 .结语从初中起我们就接触到了简单的函数,在高中时又进一步加深了学习,但我们以前接触到的都是很明显的函数,但我们碰到了不像以前见过的那么一目了然的函数,它就是我们本文所研究的隐函数. 历史表明,重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的,隐函数概念对数学发展的影响,可以说是作用非凡.隐函数在很多地方有重要的应用,比如上面例题中所举的在各种求值问题中的应用.当然隐函数在其它方面也有很多的用处,本文就不一一举例说明了.参考文献1 华东师范大学数学系.数学分析(第三版)M.北京：高等教育出版社,2001.2 毛信实,董延新.数学分析(第一版) M.北京：北京师范大学出版社,1900.3 华东师范大学数学系.数学分析(第二版) M.北京：高等教育出版社,1900.4 北京大学数学系.数学分析(第一版) M.北京：高等教育出版社,1986.5 周性伟