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1、第七章 一阶线性偏微分方程研究对象一阶线性齐次偏微分方程1基本概念1) 一阶线性齐次偏微分方程形如 (7.1)的方程,称为一阶线性齐次偏微分方程,其中是自变量,是的未知函数,是域内的已知函数,并设在域内不同时为零。2) 一阶拟线性偏微分方程形如 (7.2)的方程,称为一阶拟线性偏微分方程,其中是个变元的已知函数。在其定义域内不同时为零。所谓“拟线性”是指方程仅对未知函数的各个一阶偏导数是线性的,以下总设和在域内连续可微。3) 特征方程组 常微分方程组 (7.3)称为一阶线性齐次偏微分方程(7.1)的特征方程组。常微分方程组2 / 7 (7.4)称为一阶拟线性偏微分方程(7.2)的特征方程组。4
2、)首次积分对一般的常微分方程组 (7.5)其中,右端函数都在某个域内连续,设在域内连续可微,并且不是常数。如果以方程组(7.5)的任一解代入之后,使得函数等于与无关的常数,则称表达式为方程组(7.5)的一个首次积分,其中是任意常数,有时也简称为首次积分。设是方程组(7.5)个首次积分,如果雅可比矩阵中某个阶子阵的行列式不为零,而所有阶子阵的行列式都等于零,即雅可比矩阵的秩为,则称是方程组(7.5)的个独立的首次积分。2基本理论与基本方法1)常微分方程组的首次积分解法定理7.1 设已知微分方程组(7.5)的个独立的首次积分则它们构成方程组(7.5)的通积分(或隐式解),并由它们可确定含个任意常数
3、的函数组则该函数组就是微分方程组(7.5)的通解。常微分方程组的首次积分解法就是通过求方程组(7.5)的个独立的首次积分来得到它的通积分(或通解)的方法。首次积分一般可通过下列两种方法得到 把方程组(7.5)中的部分或全部方程进行重新组合,引进新的变量代换,以获得只含一个未知函数和一个自变量的一阶方程。 利用已得到的积分消去一部分未知函数,以减少方程和未知函数的个数。2)一阶线性齐次偏微分方程与常微分方程组的关系定理7.2 设函数在域内连续可微,并且不是常数,则是常微分方程组(7.5)的首次积分的充分必要条件为在域内成立恒等式。设在域内连续可微,并且代入方程(7.1)之后,能使该式在域内成为恒
4、等式,则称是方程(7.1)的一个解,域是该解的定义域。定理7.3 是一阶线性齐次偏微分方程(7.1)的解的充分必要条件是是方程(7.1)的特征方程组 (7.3)的首次积分。3)一阶线性齐次偏微分方程的解法 定理7.4 设是一阶线性齐次偏微分方程(7.1)对应的特征方程组(7.3)的个独立的首次积分,是任意的连续可微函数,则 (7.6)包括了方程(7.1)的所有解,称(7.6)为(7.1)的通解。对方程(7.1)可给出如下的初始条件 (7.7)其中为中某一数,是给定的数,为某一给定函数,求一阶线性齐次偏微分方程(7.1)满足初始条件(7.7)的解的问题称为初值问题或柯西问题。定理7.5 假设方程
5、(7.1)中在域内连续可微,且,则初值问题存在唯一的解,其中是任意给定的数,是变元的已知可微函数。一阶线性齐次偏微分方程的解法步骤1 首先写出一阶线性齐次偏微分方程(7.1)的特征方程组(7.3)。步骤2 求出常微分方程组(7.3)的个独立的首次积分。步骤3写出通解 ,其中是各变元的任意连续可微函数。4)一阶拟线性偏微分方程的解法定理7.6 设是常微分方程组(7.4)的个独立的首次积分,那么,若 (7.8)并能从(7.8)确定函数,则(7.8)即为一阶拟线性偏微分方程(7.2)的通解,其中为的任意连续可微函数。一阶拟线性偏微分方程的解法步骤1 首先写出(7.2)的特征方程组(7.4)。步骤2 求出(7.4)的个独立的首次积分。步骤3写出通解 ,其中是各变元的任意连续可微函数。 注:求解一阶
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