高中数学 第一章§5不等式的应用导学案 北师大版选修4-5

1、§5不等式的应用1进一步掌握不等式的性质，并应用不等式的性质解决一些简单的实际问题2能用定理2和定理4求函数的最值，并能解决实际应用问题对定理2、定理4的理解(1)定理2：对任意的两个数a，b，有_(此式当且仅当ab时取“”号)(2)定理4：对任意的三个数a，b，c，有_(此式当且仅当abc时取“”号)【做一做1】已知2(x0，y0)，则xy的最小值为_【做一做2】函数yx24(x0)的最小值为_【做一做3】已知x0，y0，且1，则xy的最小值是()A16 B15 C14 D13答案：(1)(2)【做一做1】6已知2，x0，y0，22，即xy6xy的最小值为6【做一做2】34x0，y

2、x24x243434当且仅当x2，即x时取“”号，所求最小值为34【做一做3】Ax0，y0，1，xy(xy)1061016，当且仅当，即x4，y12时等号成立故当x4，y12时，xy的最小值为161重要不等式的理解剖析：当a，b，cR时，a2b22ab，a3b3c33abc；当a，b，c为正实数时，ab2，abc3两组不等式成立的条件是不同的，但等号成立的条件均为abc2三个正数或三个以上正数的平均值不等式的应用条件剖析：“一正”：不论是三个数或n个数的平均值不等式都要求是正数，否则不等式是不成立的“二定”：包含两类求最值问题，一是已知n个正数的和为定值(即a1a2an为定值)，求其积a1a2

3、an的最大值；二是已知积a1a2an为定值，求其和a1a2an的最小值；“三相等”：取等号的条件是a1a2a3an，不能只是其中一部分相等题型一利用均值不等式求函数的最值【例1】(1)求函数yx(x0)的最大值；(2)求函数yx(a2x)(x0，a为大于2x的常数)的最大值分析：将函数式合理变形，再用不等式的性质求函数的最值反思：在利用均值不等式求最值时，往往需将所给不等式变形，拆分或拼凑都是常见的方法，但在变化过程中要注意式子的等价性及符号不等式的条件题型二利用均值不等式解决实际问题【例2】一份印刷品，其排版面积为432 cm2(矩形)，要求左右留有4 cm的空白，上下留有3 cm的空白，问

4、矩形的长和宽各为多少时，用纸最省？分析：根据矩形面积与矩形长和宽的关系列出方程，再利用不等式求最值反思：利用不等式解决实际问题时，首先要认真审题，分析题意，建立合理的不等式模型，最后通过基本不等式解题题型三易错辨析【例3】求函数y12x的最值错解：y12x12x22y12，故y的最大值为12错因分析：重要不等式ab2成立的前提条件是a0，b0以上解题过程中没有注意这个前提条件反思：在利用不等式进行证明或求值时，一定要注意不等式成立的条件，即“一正，二定，三相等”答案：【例1】解：(1)x0，yx2当且仅当x时，取“”号，所求最大值为(2)x0，a2x，yx(a2x)·2x·

5、(a2x)2当且仅当x时，取“”号所求最大值为【例2】解：设矩形的长为x cm，则宽为 cm，则总面积为：y(x8)432486x48064806×2768当且仅当x，即x24时取等号此时宽为18 cm所以当矩形的长为24 cm，宽为18 cm时，用纸最省【例3】正解：当x0时，y12x112，当且仅当2x，即x时，等号成立ymax12当x0时，y1(2x)1212，当且仅当2x，即x时等号成立，ymin121下列函数的最小值是2的是()Ayx Bysin xCy Dytan x2函数y3x(x0)的最小值是()A B2 C3 D43函数y4sin2x·cos x的最大值与最小值的差是_4已知球的半径为R，球内接圆柱的底面半径为r，高为h，则r和h为何值时，内接圆柱的体积最大？答案：1D选项A中，x0时不满足；选项B中，等号取不到；选项C中，当时，得到x21显然不成立故选项D正确2Cx0，y3x33，当且仅当，即x时，取等号3y216sin2xsin2xcos2x8(sin2xsin2x×2cos2x)838×，y2，当且仅当sin2x2cos2x，即tan x±时取“”号ymax，yminymaxymin4解：如图，设内接圆柱的体积为V