解 直 角 三 角 形应 用

1、解解 直直 角角 三三 角角 形形 的的 应应 用用 一、利用解直角三角形的知识来解决实际应用问题，是一、利用解直角三角形的知识来解决实际应用问题，是中考的一大类型题，主要涉及测量、航空、航海、工程等中考的一大类型题，主要涉及测量、航空、航海、工程等领域，解答好此类问题要先理解以下几个概念：领域，解答好此类问题要先理解以下几个概念： 1 仰角、俯角；仰角、俯角； 2 方向角；方向角； 3 坡角、坡度；坡角、坡度； 4 水平距离、垂直距离等。水平距离、垂直距离等。 再依据题意画出示意图，根据条件求解。再依据题意画出示意图，根据条件求解。 二、解实际问题常用的两种思维方法：二、解实际问题常用的两种

2、思维方法： （1）切割法：把图形分成一个或几个直角三角形与）切割法：把图形分成一个或几个直角三角形与 其他特殊图形的组合；其他特殊图形的组合； （2）粘补法：此方法大都通过延长线段来实现。）粘补法：此方法大都通过延长线段来实现。D15例例1 1 要求要求tan30的值，可构造如图所示的直角三角形进行的值，可构造如图所示的直角三角形进行计算：作计算：作RtABC，使，使C=90，斜边，斜边AB=2，直角边，直角边AC=1，那么，那么BC= ，tan30= . 在此图基础上，通过添加适当在此图基础上，通过添加适当的辅助线，可求出的辅助线，可求出tan15的值。的值。请简要写出你添加的辅助线和求出的

3、请简要写出你添加的辅助线和求出的tan15的值。的值。 33331BCACACB1230解：延长解：延长CB至至D，使，使BD=AB，连结，连结AD，则，则D=15，tan15= 。32DCACACB1230DExx132332例例2 2 如图，某建筑物如图，某建筑物BC直立于水平地面，直立于水平地面，AC=9米要建造米要建造阶梯阶梯AB，使每阶高不超过，使每阶高不超过20厘米，则此阶梯最少要建厘米，则此阶梯最少要建 _ 阶（最后一阶的高不足阶（最后一阶的高不足20厘米时，按一阶计算；厘米时，按一阶计算； 取取1.732） 3ACB30解：在解：在RtACB中，中，C=90， BC=ACtan

4、30=9 =3 =5.196 此阶梯的阶数此阶梯的阶数= 26（阶）。（阶）。 故填上故填上26。 2 . 0196. 53339米米AOFBC例例3 3 某市在某市在“旧城改造旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（元，则购买这种草皮至少需要（ ） A、450a元元 B、225a元元 C、150a元元 D、300a元元 h30米20米150解：如图所示，作出此三角形的高解：如图所示，作出此三角形的高h。 则则S= ACBD

5、sin（180150） = 3020 =150（平方米）（平方米） 购买这种草皮至少需要购买这种草皮至少需要150a元。故选（元。故选（C）。）。212121ABCD例例4 在生活中需测量一些球（如足球、篮球在生活中需测量一些球（如足球、篮球）的直径）的直径.某某校研究性学习小组，通过实验发现下面测量方法：如图将球放校研究性学习小组，通过实验发现下面测量方法：如图将球放在水平的桌面上，在阳光的斜射下，得到球的影子在水平的桌面上，在阳光的斜射下，得到球的影子AB，设光，设光线线DA、CB分别与球相切于点分别与球相切于点E、F，则，则EF即为球的直径，若即为球的直径，若测得测得AB的长为的长为41

6、.5cm， ABC=37.请你计算出球的直径请你计算出球的直径. (精精确到确到1cm,可用数据可用数据:sin37=0.6,cos37=0.8).DEFACB37G解：过解：过A作作AG CB,垂足为垂足为G,则则AG=EF.在在Rt ABG中中, sinB=B= ,AG=ABsinB=41.5sin37=41.5 0.6=24.9 25(cm),即即EF 25cm.答：球的直径约为答：球的直径约为25cm.ABAG例例5 5 为了申办为了申办2010年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况。年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况。在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵树在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵树AB，

7、在地面上事先划定，在地面上事先划定以以B为圆心，半径与为圆心，半径与AB等长的圆形危险区。现在某工人站在等长的圆形危险区。现在某工人站在离离B点点3米远的米远的D处测得树的顶端处测得树的顶端A点的仰角为点的仰角为60，树的底部，树的底部B点的俯角为点的俯角为30。问距离。问距离 B点点8米远的保护物是否在危险区米远的保护物是否在危险区内？内？CDBE3060A73. 13 解：过点解：过点C作作CE AB于于E.在在RtCBE中中,tan30=BE=CE tan30=在在RtCAE中中,tan60=AE=CE tan60=AB=AE+EB= 6.92(米）米） 8(米）米）距离距离 B点点8米

8、远的保护物不在危险区米远的保护物不在危险区.333CEBECEAE34若这艘轮船自若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风？若会，试求轮船最途中会不会遇到台风？若会，试求轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由。初遇到台风的时间；若不会，请说明理由。轮船自轮船自A处立即提高船速，向位于东偏北处立即提高船速，向位于东偏北30方向，相距方向，相距60里的里的D港驶去。为使台风港驶去。为使台风到来之前到达到来之前到达D港，问船速至少应提高多少？港，问船速至少应提高多少？（提高的船速取整数，（提高的船速取整数， ）？）？ 北北东东DAB30例例6 如图所示，一艘轮

9、船以如图所示，一艘轮船以20里里/时的速度由西向东航行，途中时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以接到台风警报，台风中心正以40里里/时的速度由南向北移动，距时的速度由南向北移动，距台风中心台风中心20 里的圆形区域（包括边界）都属台风区。当轮船里的圆形区域（包括边界）都属台风区。当轮船到到A处时，测得台风中心移到位于点处时，测得台风中心移到位于点A正南方向正南方向B处，且处，且AB=100里。里。106 . 313 解题点拨：解题点拨：（1）假设会遇到台风，设最初遇到台风时间为）假设会遇到台风，设最初遇到台风时间为t小时，此时，轮船在小时，此时，轮船在C处，台风中心到达处，台风

10、中心到达E处（如图），则处（如图），则有有AC2+AE2=EC2，显然，显然，AC=20t里，里，AE=ABBE=10040t，EC=20 ，则（，则（20t）2+（10040t）2=(20 )2， 若若可求出可求出t，则会遇到台风，若不能求出，则会遇到台风，若不能求出t，则不会遇到台风。，则不会遇到台风。解：（解：（1）设途中会遇到台风，且最初遇到台风的时间为）设途中会遇到台风，且最初遇到台风的时间为t小小时，此时轮船位于时，此时轮船位于C处，台风中心移到处，台风中心移到E处，连结处，连结CE，则有，则有AC=20t，AE=10040t，EC=20 ，在，在RtAEC中，由勾中，由勾股定理，

11、得股定理，得(20t)2+(10040t)2=(20 )2，整理，得整理，得t24t+3=0 =（4）2413=40, 途中会遇到台风。途中会遇到台风。 解解得，得，t1=1,t2=3 最初遇到台风的时间为最初遇到台风的时间为1小时。小时。10101010ACEB北北南南西西东东解题点拨：解题点拨： 先求出台风抵达先求出台风抵达D港的时间港的时间t t，因，因AD=60，则，则6060 t=t=提高后的船速，减去原来的船速，就是应提高的速度。提高后的船速，减去原来的船速，就是应提高的速度。 解：解： 设台风抵达设台风抵达D港时间为港时间为t小时，此时台风中心至小时，此时台风中心至M点。点。 过

12、过D作作DFAB，垂足为，垂足为F，连结，连结DM。 在在RtADF中，中，AD=60，FAD=60 DF=30 ，FA=30 又又FM=FA+ABBM=13040t，MD=20 （30 ）2+（13040t）2=(20 )2 整理，得整理，得4t2-26t+39=0 解之，得解之，得 台风抵达台风抵达D港的时间为港的时间为 小时。小时。 轮船从轮船从A处用处用 小时到达小时到达D港的速度为港的速度为60 25.5。为使台风抵达为使台风抵达D D港之前轮船到港之前轮船到D D港，轮船至少应提速港，轮船至少应提速6 6里里/ /时。时。 341313t ,41313t21310131341313

13、413134DAMB30北北东东10F例例7 7 如图，公路如图，公路MN和公路和公路PQ在点在点P处交会，且处交会，且QPN=30，点点A处有处有一所中学，一所中学，AP=160米，（米，（1 1）假设拖拉机行驶时，周）假设拖拉机行驶时，周围围100米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由（方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由（2 2）如果受影响，已知拖拉机的速度为如果受影响，已知拖拉机的速度为18千米千米/时，那么学校受影响时，那么学校受影响的时间为多少秒？的时间为多少秒？ 解题

14、点拨解题点拨 （1） 作作ABMN于于B，求，求出出AB，若，若AB100米，则受影响，若米，则受影响，若AB100米，则不受影响米，则不受影响. .MPQNAB30160解解（1）作作ABMN，B为垂足。为垂足。 在在RtABP中中 ABP=90，APB=30， AP=160米，米， AB= AP=80米米 点点A到直线到直线MN的距离小于的距离小于100米。米。 这所中学会受到噪声的影响。这所中学会受到噪声的影响。21MPQNACDB（2）如图，如果以点）如图，如果以点A为圆心，为圆心，100米为半径画圆，那么米为半径画圆，那么圆圆A和直线和直线MN有两个交点，设交点分别为有两个交点，设交

15、点分别为C、D，连结，连结AC、AD，那么，那么AC=AD=100（米）。（米）。 根据勾股定理和垂径定理，根据勾股定理和垂径定理，CB=DB = =60（米），（米）， CD=120（米）（米） 学校受噪声影响的时间学校受噪声影响的时间t=120米米18千米千米/时时= 时时=24秒。秒。 2280100 1150解题点拨解题点拨 （2 2） 既然受影响，既然受影响，怎样求受影响的时间呢？因拖拉怎样求受影响的时间呢？因拖拉机速度已知，故应求学校在受噪机速度已知，故应求学校在受噪声影响时拖拉机行驶的路程，即声影响时拖拉机行驶的路程，即以以A为圆心，为圆心，100米为半径画圆米为半径画圆A，则则

16、A交交MN于于C、D两点，弦两点，弦CD的长为所求的路程，用垂径定理的长为所求的路程，用垂径定理可求可求CD。小结：小结：1、将实际问题经提炼数学知识，建立数学模、将实际问题经提炼数学知识，建立数学模 型转化为数学问题。型转化为数学问题。2、设法寻找或构造可解的直角三角形，尤其、设法寻找或构造可解的直角三角形，尤其 是对于一些非直角三角形图形，必须添加是对于一些非直角三角形图形，必须添加 适当的辅助线，才能转化为直角三角形的适当的辅助线，才能转化为直角三角形的 问题来解决。问题来解决。作业作业：如图，有一位同学用一个有如图，有一位同学用一个有30角的直角三角板估测他们学角的直角三角板估测他们学校的旗杆校的旗杆AB的高度，他将的高度，他将30角的直角边水平放在角的直角边水平放在1.3米高米高的支架的支架CD上，三角板的斜边与旗杆的顶点在同一直线上，上，三角板的斜边与旗杆的顶点在同一直线上，他又量得他又量得D、B的距离为的距离为15米。米。 （1）试求旗杆）试求旗杆AB的高度（精确到的高度（精确到0.1米，米， ）；）； （2）请你设计出一种更简便的估测方法。）请你设计出一种更简便的估测方法。 732. 13 30CDBEA如图，客轮沿折线如图，客轮沿折线ABC，从，从A出发经出发经B再到再到C匀速直