线性代数第六章 线性空间及线性变换

1、Copyright 数学与计量经济学院2022-2-131第六章第六章 线性空间与线性变换线性空间与线性变换 线性变换线性变换结束结束基、维数与坐标基、维数与坐标线性空间线性空间Copyright 数学与计量经济学院 (设设 , , V ; , R):Copyright 数学与计量经济学院 Copyright 数学与计量经济学院 就称为就称为 简言之简言之, 凡满足八条规律的加法及乘数运算凡满足八条规律的加法及乘数运算, . Copyright 数学与计量经济学院 次数不超过次数不超过 n 的多项式的全体的多项式的全体, 记记作作P x n , 即即R)(00111,a,|aaxaxaxaxp

2、xPnnnnnn对于通常的多项式加法、数乘多项式的乘法构成对于通常的多项式加法、数乘多项式的乘法构成只要验证只要验证 P x n 对运算封闭对运算封闭:项式的乘法两种运算显然满足线性运算规律项式的乘法两种运算显然满足线性运算规律, 故故线性空间线性空间. 这是因为这是因为, 通常的多项式加法、数乘多通常的多项式加法、数乘多Copyright 数学与计量经济学院,)()()()()(00110101nnnnnnnnxPbaxbaxbabxbxbaxaxa,)()()()(0101nnnnnxPaxaxaaxaxa所以所以 P x n是一个线性空间是一个线性空间.Copyright 数学与计量经济

3、学院 n 次多项式的全体次多项式的全体0 ,R,|001nnnnnaaaaxaxapxQ且对于通常的多项式加法和数乘运算不构成向量空对于通常的多项式加法和数乘运算不构成向量空Q x n 对运算不封闭对运算不封闭.间间. 这是因为这是因为 0 p = 0 xn + + 0 x + 0 Q x n , 即即Copyright 数学与计量经济学院 正弦函数的集合正弦函数的集合R,| )sin(BABxAsxS对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性, )sin(sin)(cos)()sincos()sincos()sin()sin(212122112211

4、21xSBxAxbbxaaxbxaxbxaBxABxAss闭闭:满足线性运算规律满足线性运算规律, 故只要验证故只要验证 S x 对运算封对运算封空间空间. 这是因为这是因为, 通常的函数加法及乘数运算显然通常的函数加法及乘数运算显然Copyright 数学与计量经济学院, )sin()()sin(11111xSBxABxAs所以所以 S x 是一个线性空间是一个线性空间. 检验一个集合是否构成线性空间检验一个集合是否构成线性空间,当然不能当然不能则就应仔细检验是否满足八条线性运算规律则就应仔细检验是否满足八条线性运算规律.加法和数乘运算不是通常的实数间的加乘运算加法和数乘运算不是通常的实数间

5、的加乘运算,只检验对运算的封闭性只检验对运算的封闭性(如上面两例如上面两例). 若所定义的若所定义的Copyright 数学与计量经济学院 正实数的全体正实数的全体, 记作记作 R+ , 在其中定在其中定义义加法及乘数运算为加法及乘数运算为, )R,(baabba, )R,R(aaa验证验证 R+ 对上述加法与乘数运算构成线性空间对上述加法与乘数运算构成线性空间.;Rabba 对任意的对任意的 a , b R+ , 有有 实际上要验证十条实际上要验证十条:Copyright 数学与计量经济学院 对任意的对任意的 R, a R+ , 有有;Raa;abbaabba);()()()()(cbabc

6、acabcabcba R+ 中存在零元素中存在零元素 1 , 对任何对任何 a R+ , 有有;11aaa 对任何对任何 a R+ , 有负元素有负元素 a- -1 R+ , 使使;111aaaaCopyright 数学与计量经济学院 ;11aaa ;)()()(aaaaa ;)(aaaaaaaa .)()()(bababaababba 因此因此, R+ 对于所定义的运算构成线性空间对于所定义的运算构成线性空间. 下面讨论线性空间的性质下面讨论线性空间的性质.Copyright 数学与计量经济学院 设设 01, 02 是线性空间是线性空间V中的两个零元素中的两个零元素, 即对任何即对任何 V,

7、 有有 + 01 = , +02 = . 于是特于是特别有别有 02 + 01 = 02 , 01 + 02 = 01 .所以所以 01 = 01 + 02 = 02 + 01 = 02 .即零元素是唯一的即零元素是唯一的. Copyright 数学与计量经济学院 . Copyright 数学与计量经济学院 在第三章中在第三章中, 我们提过子空间我们提过子空间, 今稍作修正今稍作修正. 因因 L 是是 V 的一部分的一部分, V 中的运算对于中的运算对于 L 而言而言, 规规 一个非空子集要满足什么条件才构成子空间一个非空子集要满足什么条件才构成子空间? Copyright 数学与计量经济学院

8、律律 (i), (ii), (v), (vi), (vii), (viii) 显然是满足的显然是满足的, 因因此此因此我们有因此我们有 满足规律满足规律(iii),(iv).但由线性空间的性质知但由线性空间的性质知, 若若 L 对运算封闭对运算封闭,则即能则即能只要只要 L 对运算封闭且满足规律对运算封闭且满足规律 (iii)、(iv) 即可即可. Copyright 数学与计量经济学院 在第三章中在第三章中, 我们用线性运算来讨论我们用线性运算来讨论 n 维数组维数组这些概念和性质这些概念和性质.性空间中的元素仍然适用性空间中的元素仍然适用. 以后我们将直接引用以后我们将直接引用有关的性质只

9、涉及线性运算有关的性质只涉及线性运算, 因此因此, 对于一般的线对于一般的线组合、线性相关与线性无关等等组合、线性相关与线性无关等等. 这些概念以及这些概念以及向量之间的关系向量之间的关系, 介绍了一些重要概念介绍了一些重要概念, 如线性如线性Copyright 数学与计量经济学院 在第三章中我们已经提出了基与维数的概念在第三章中我们已经提出了基与维数的概念,的主要特性的主要特性, 特再叙述如下特再叙述如下.这当然也适用于一般的线性空间这当然也适用于一般的线性空间. 这是线性空间这是线性空间Copyright 数学与计量经济学院 记作记作 Vn . 维数为维数为 n 的线性空间称为的线性空间称

10、为 , Copyright 数学与计量经济学院 若知若知 1 , 2 , , n为为 Vn 的一个基的一个基, 则则 Vn ,R,|12211nnnnxxxxxV这就较清楚地显示出线性空间这就较清楚地显示出线性空间 Vn 的构造的构造.并且这组数是唯一的并且这组数是唯一的. = x1 1 + x2 2 + + xn n,何何 Vn , 都有一组有序数都有一组有序数 x1 , x2 , , xn , 使使若若 1 , 2 , , n为为 Vn 的一个基的一个基, 则对任则对任可表示为可表示为Copyright 数学与计量经济学院 反之反之 , 任给一组有序数任给一组有序数 x1 , x2 , ,

11、 xn , 总有总有组有序数来表示元素组有序数来表示元素 . 于是我们有于是我们有之间存在着一种一一对应的关系之间存在着一种一一对应的关系, 因此可以用这因此可以用这 (x1 , x2 , , xn )T 这样这样, Vn 的元素的元素 与有序数组与有序数组 唯一的元素唯一的元素 = x1 1 + x2 2 + + xn n Vn .Copyright 数学与计量经济学院 = (x1 , x2 , , xn)T ., 并记作并记作Copyright 数学与计量经济学院 在线性空间在线性空间 P x 4 中中, p1 = 1, p2 = x , p3 = x2 , p4 = x3 , p5 =

12、x4 就是它的一个基就是它的一个基. 任一不超过任一不超过 4 次的多项式次的多项式 p = a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0 都可表示为都可表示为 p = a0p1 + a1p2 + a2p3 + a3p4 + a4p5 ,因此因此 p 在这个基下的坐标为在这个基下的坐标为 (a0 , a1 , a2 , a3 , a4 )T .Copyright 数学与计量经济学院 若另取一若另取一 个基个基.21)(54433221110qaqaqaqaqaap因此因此 p 在这个基下的坐标为在这个基下的坐标为.),21,(T432110aaaaaa ,2,1, 1453423

13、21xqxqxqxqq则则Copyright 数学与计量经济学院 在二阶实矩阵组成的集合构成在二阶实矩阵组成的集合构成一个线性空间一个线性空间 R2 2 中中, 1000,0100,0010,000122211211EEEE为其一个基为其一个基任意一个二阶矩阵可表示为任意一个二阶矩阵可表示为222221211212111122211211EaEaEaEaaaaaACopyright 数学与计量经济学院 建立了坐标以后建立了坐标以后, 就把抽象的向量就把抽象的向量 与具体与具体于是于是 = y1 1 + y2 2 + + yn n , = x1 1 + x2 2 + + xn n , 设设 ,

14、Vn , 有有系起来系起来:可把可把 Vn 中抽象的线性运算与数组的线性运算联中抽象的线性运算与数组的线性运算联的数组向量的数组向量 (x1 , x2 , , xn)T 联系起来了联系起来了. 并且还并且还Copyright 数学与计量经济学院 + = (x1 + y1) 1 + + (xn + yn) n , = (x1) 1 + + (xn) n ,即即 + 的坐标是的坐标是 ( x1 , , xn )T = ( x1 , , xn )T. 的坐标是的坐标是 = ( x1, , xn )T + ( y1, , yn )T , ( x1 + y1, , xn + yn )T Copyrigh

15、t 数学与计量经济学院 总之总之, 设在设在 n 维线性空间维线性空间 Vn 中取定一个基中取定一个基 因此因此,我们可以说我们可以说 Vn 与与 Rn 有相同的结构有相同的结构, 我们称我们称也就是说也就是说, 这个对应关系保持线性组合的对应这个对应关系保持线性组合的对应. 2. (x1, , xn )T , 1. + (x1, , xn )T + (y1, , yn )T ; 设设 (x1, , xn )T , (y1, , yn )T , 则则个一一对应的关系个一一对应的关系, 且这个关系具有下述性质且这个关系具有下述性质:向量空间向量空间 Rn 中的向量中的向量 ( x1, , xn

16、)T 之间就有一之间就有一 1 , 2 , , n, 则则 Vn 中的向量中的向量 与与 n 维数组维数组Vn与与 Rn 同构同构.Copyright 数学与计量经济学院 由例由例 1 可见可见, 同一元素在不同的基下有不同同一元素在不同的基下有不同间间 Vn 中的两个基中的两个基, 且有且有 设设 1 , 2 , , n 及及 1 , 2 , , n 是线性空是线性空 的关系呢的关系呢?的坐标的坐标, 那么那么, 不同的基与不同的坐标之间有怎样不同的基与不同的坐标之间有怎样基变换和坐标变换基变换和坐标变换Copyright 数学与计量经济学院) 1 (,2211222211221221111

17、1nnnnnnnnnnppppppppp把把 1 , 2 , , n 利用向量和矩阵的形式利用向量和矩阵的形式, (1) 式可表示为式可表示为 ( 1 , 2 , , n) , 这这 n 个有序元素记作个有序元素记作Copyright 数学与计量经济学院) 1 (.),(),(2121Pnn (1) 称为称为, 矩阵矩阵 P 称为由基称为由基由于由于 1 , 2 , , n 线性无关线性无关, 故过渡矩阵故过渡矩阵 P 可逆可逆. 1 , 2 , , n 到到基基 1 , 2 , , n 的的.Copyright 数学与计量经济学院 )2(. ,211212121nnnnxxxPxxxxxxP

18、xxx或 Copyright 数学与计量经济学院 在在 P x 3 中取两个基中取两个基,2231xxx, 12231xx, 12233xxx; 1234xx, 1232xxx及及. 23234xxx, 22233xxx, 2222xx求坐标变换公式求坐标变换公式.Copyright 数学与计量经济学院ZHOUJINHUA 将将 1 , 2 , 3 , 4 用用 1 , 2 , 3 , 4 表示表示.Axxx) 1,(),(234321Bxxx) 1,(),(234321其中其中,1110011112121111A2221112031111202B由由Copyright 数学与计量经济学院得得

19、.),(),(143214321BA 故坐标变换公式为故坐标变换公式为.432114321xxxxABxxxxCopyright 数学与计量经济学院,11111000100001000011001011100001 用矩阵的初等变换求用矩阵的初等变换求 B-1A :11102221011111201212311111111202)|(AB . 计算如下计算如下:Copyright 数学与计量经济学院即得即得.111110000011111043214321xxxxxxxxCopyright 数学与计量经济学院,1,2232231xxxpxxxp;1,12234233xxpxxxp,22,122

20、2231xxqxxq. 23,22234233xxxqxxxqCopyright 数学与计量经济学院ZHOUJINHUA 规定多项式规定多项式dcxbxax23对应对应向量向量T),(dcba这是这是P x 3与与 R4 之间的一个同之间的一个同别对应于向量别对应于向量 1, 2, 3, 4, 1 , 2 , 3 , 4 , 则则有有,) 1, 1, 1, 1 (,)0, 1, 2, 1 (T2T1,) 1, 0, 1, 1(,) 1, 1, 2, 1(T4T3,)2, 2, 1, 0(,) 1, 0, 1, 2(T2T1,)2, 1, 3, 1 (,)2, 1, 1, 2(T4T3构对应构对

21、应. 设多项式设多项式 p1 , p2 , p3 , p4 , q1 , q2 , q3 , q4 分分Copyright 数学与计量经济学院所以所以 P = A-1B. 用矩阵的初等行变换来求用矩阵的初等行变换来求 A-1B.先求从基先求从基 1 , 2 , 3 , 4 到基到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵的过渡矩阵, 即要用向量组即要用向量组 1 , 2 , 3 , 4 表示向表示向量组量组 1 , 2 , 3 , 4 .设过渡矩阵为设过渡矩阵为 P , 则有则有( 1 , 2 , 3 , 4 ) = ( 1 , 2 , 3 , 4 )P , 记记 A = ( 1 , 2 ,

22、3 , 4 ), B = ( 1 , 2 , 3 , 4 ) , 则则上式可写为上式可写为 B = AP , Copyright 数学与计量经济学院22211110112001113111121212021111),(BA,01001000111001001011001010010001Copyright 数学与计量经济学院所以过渡矩阵所以过渡矩阵 P 为为,0100111010111001PCopyright 数学与计量经济学院因此坐标变换公式为因此坐标变换公式为.010011101011100143214321xxxxxxxxCopyright 数学与计量经济学院2022-2-1344T(

23、+)=T()+T()(2) 对任意V, 及任意实数 k，有T(k)=kT()则称T为V 到 W 的一个线性映射.定义定义1:向量空间V到向量空间W一个映射T， 满足：(1) 对任意, V, 有第三节 线性变换Copyright 数学与计量经济学院2022-2-1345T(+)=T()+T()(2) 对任意V, 及任意实数 k，有T(k)=kT()则称T为V 的一个线性变换.定义定义2向量空间V到自身的一个线性映射T，称为V 的一个变换.若T 满足：(1) 对任意, V, 有Copyright 数学与计量经济学院2022-2-1346向量在T下的像,记为T()或T.2.用粗体粗体大写字母T, A

24、，B，C，表示线性变换,1.定义式中（1),(2）可合并为)()()(,212121TkTkkkTRkkVCopyright 数学与计量经济学院2022-2-1347证：证：T(+)=(+)A=A+A=T+T设A为一n阶实矩阵，对任意Rn,令 T= A,则T为Rn 中的线性变换.T(k)= (k)A=k(A)=k(T)故 T 为 Rn 中的线性变换.例例1 1完完Copyright 数学与计量经济学院2022-2-1348V 中两类特殊的线性变换：1. 恒等变换 E EE= , V2. 零变换 OO= 0 , VCopyright 数学与计量经济学院2022-2-1349例例2 2判定下列变换

25、是否为 上的线性变换3R12312231(1) ( ,)(2,) ;TTT a a aaa aa a2123123(2) ( ,)( ,3) ;TTT a a aa aa解解（1）是（2）不是Copyright 数学与计量经济学院2022-2-1350定理定理1设 T 是V 的一个线性变换，则(1)T 把零向量变到零向量,把 的负向量变到 的像的负向量,即T 0=0；T()= T.(2)T 保持向量的线性组合关系不变, 即T(k11+k22+kss)=k1T1+k2T2+ksTs.(3)T 把线性相关的向量组变为线性相关的向 量组.p91(4）线性空间Vn中的线性变换T的像集T(Vn)是线性空

26、间Vn的一个子空间。Copyright 数学与计量经济学院2022-2-1351定义定义3设 L(V) 是向量空间V的全体线性变换的集合,定义 L(V) 中的加法，数乘与乘法如下：加法: (T1+T2) =T1+T2;数乘: (kT)=kT乘法: (T1T2)=T1(T2)对 V, kR.注注:若 T1, T2 均为 V 的线性变换，则 T1+T2，T1T2， kT均为 V 的线性变换.线性变换的运算p91Copyright 数学与计量经济学院2022-2-1352二、线性变换的矩阵二、线性变换的矩阵T =k1 T 1+k2 T 2+ +km T m设 V 为向量空间, dim(V)=m.假设

27、1, 2, , m 为V 的一组基,T 为 V 的一个线性变换. =k11+k22+ +kmmVmmkkkTTT2121),( 上式告诉我们,只要知道基底的像,就可以知道任何向量在这组基底下的像了.Copyright 数学与计量经济学院2022-2-1353T1 =a111+a212+ +am1mT2 =a121+a222+ +am2mTm =a1m1+a2m2+ +ammm 即(T1,T2,Tm)=(1,2,m)A其中mmmmmmaaaaaaaaaA212222111211简记为 T(1,2,m)=(1,2,m)A（1）（2）设基底向量的像在该基底下的表示为Copyright 数学与计量经济

28、学院2022-2-1354定义定义:设T为向量空间V中的线性变换, 1, 2, , m为V的一组基,如果给定V的基1,2,m,线性变换T 对应一个 实矩阵A.(T1,T2,Tm)=(1,2,m)A称矩阵A为线性变换T 在基1,2,m, 下的矩阵.Copyright 数学与计量经济学院2022-2-1355定理定理3设 V 的线性变换 T有(T1,T2,Tm)=(1,2,m)A向量在基1, 2, , m下的坐标为 (x1, x2, , xm)，T在此基下的坐标为 (y1, y2, , ym), 则nmxxxyyy2121ACopyright 数学与计量经济学院2022-2-1356= (1, 2

29、, , m ) A =x11+x22+ +xmmT =x1 T 1+x2 T 2+ +xm T mmmxxxTTT2121),(mxxx21= (1,2, ,m )myyy21nmxxxAyyy2121证明证明：所以完完Copyright 数学与计量经济学院2022-2-1357设 R3 的线性变换T为T(x1, x2, x3) 求 T 在标准基1, 2, 3下的矩阵. =(a11x1+a12x2+a13x3, a21x1+a22x2+a23x3, a31x1+a32x2+a33x3) 例例3 3Copyright 数学与计量经济学院2022-2-1358ATTT),(),(321321T1=

30、T(1, 0, 0)=(a11, a21, a31)T2=T(0, 1, 0)=(a12, a22, a32)T3=T(0, 0, 1)=(a13, a23, a33)解解：设 T 在标准基1, 2, 3下的矩阵为A.即 = a111+a21 2+ a31 3= a121+a22 2+ a32 3= a131+a23 2+ a33 3Copyright 数学与计量经济学院2022-2-1359),(),(321321TTT333231232221131211aaaaaaaaa故 T T 在标准基 1, 2, 3 下的矩阵为333231232221131211aaaaaaaaaA完完Copyri

31、ght 数学与计量经济学院2022-2-1360设 R3 的线性变换T为T(x1, x2, x3) 求 T 在标准基1, 2, 3下的矩阵. =(2x1-x2, x2+x3, x1) ATTT),(),(321321解：设 T 在标准基1, 2, 3下的矩阵为A.即 exeCopyright 数学与计量经济学院2022-2-1361由于T1=T(1, 0, 0)T2=T(0, 1, 0)=(-1, 1, 0)T3=T(0, 0, 1)=(0, 1, 0)= (2x1-x2 ,x2+ x3, ,x1)= (2 ,0, ,1),(),(321321TTT001110012A),(321001110

32、012A完完Copyright 数学与计量经济学院2022-2-1362设 R3 的线性变换T为T(x1, x2, x3) 求 T 在标准基1, 2, 3下的矩阵. =(kx1, kx2, kx3) =k(x1, x2, x3) 解解:由于 T 1 =k 1=(k,0,0)TT 2 =k 2=(0,k,0)T,T 3 =k 3=(0,0,k)T),(),(321321TTTkkk000000kEkkkk100010001000000例例4 4完完Copyright 数学与计量经济学院2022-2-1363特例：特例：线性变换 T T=k 数量矩阵kE恒等变换 T T= 单位矩阵E零变换 T T

33、=0 零矩阵O 1.由于线性变换与矩阵的对应,所以线性变换之间的运算(加法,数乘,乘法)对应于相应的矩阵之间的运算.2.线性变换与矩阵的对应关系是在取定了空间的一组基的情况下建立的.基不同,矩阵也不同.Copyright 数学与计量经济学院2022-2-1364在线性空间 R3 中线性变换T关于基 的矩阵为A，其中(1)求 T 1, T2, T3. 1, 2, 3(2)若向量 T求,53215118723194Aexe完完Copyright 数学与计量经济学院2022-2-1365,)8 , 3, 4() 1 (1TT2(9,2, 11) ,TT3( 1,7,5)TT TT)56,10,10(

34、)2(Copyright 数学与计量经济学院2022-2-13661,2,m；1,2,m定理定理4 设向量空间V有两组基，分别为则B=C1AC证明： (1,2,m)B=T(1,2,m)(1,2,m)=(1,2,m)C且T(1,2,m)=(1,2,m)AT(1,2,m)=(1,2,m )B=T (1,2,m)C=(1,2,m)C1ACp93dli3=(1,2,m)AC故故B=C1ACCopyright 数学与计量经济学院2022-2-1367例例5 5设线性变换12312231( ,)(2,) ;TTT a a aaa aa a求基123(1,0,0) ,(0,1,0) ,(0,0,1)TTT1

35、23( 1,1,1) ,(1, 1,1) ,(1,1, 1)TTT 与基在上述变换下的矩阵Copyright 数学与计量经济学院2022-2-1368123123( ,)( ,) ;TA 210011100A123123(,)(,)TB 111222221131222B解解Copyright 数学与计量经济学院2022-2-1369线性变换T在R3中基1,2,3下的矩阵为6788152051115A求T在基1=21+32+3 , 2=31+42+3 , 3=1+22+23 下的矩阵.p94例例6 6Copyright 数学与计量经济学院2022-2-1370故线性变换 T 在 1, 2, 3

36、下的矩阵B=C1AC300020001解：解：从1, 2, 3 到1, 2, 3的过渡矩阵211243132C1111342561C完完Copyright 数学与计量经济学院2022-2-1371 设平面直角坐标系xy逆时针旋转某角度后变为平面直角坐标系 ,平面上任意向量的旧坐标和新坐标分别为(x,y)和 ,则新旧坐标之间的关系为三三.正交变换正交变换定义定义3欧氏空间 V 的线性变换T称为正交变换.若对任意, V, 均有(T, T )=( , )例例7 7cossinsincosyxyyxxyx) , (yxCopyright 数学与计量经济学院2022-2-1372oxy y xcossi

37、nxxyABCsincosyxyDEF完完Copyright 数学与计量经济学院2022-2-1373)cossin,sincos(),(yxyxyxT定义映射此映射为一个线性变换,它在标准基下的矩阵为cossinsincosA并且为一个正交变换(通常称为坐标旋转变换),常记为 .ICopyright 数学与计量经济学院2022-2-1374 定理定理2设T是欧氏空间的一个线性变换，则下面 几个命题等价：(1)T是正交变换；(2)T保持向量的长度不变，即对于任意的 V, |T|=| |; (3)如果1,2,m是V的标准正交基,则T1, T2,Tm也是V的标准正交基；(4)T在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵.Copyright 数学与计量经济学院2022-2-1375定义定义4 4设 T 是向量空间 V 的一个线性变换,如果存在数 及 n 维非零向量 ,使得T = 成立,则称 为T的一个特征值,而 称为 T 属于特征值 的一个特征向量.2.特征向量的求法在第四章具体讲述.四、线性变换的特征值与特征向量T (k )= kT = k = (k )1.若 为 T的属于特征值 的一个特征向量, 则k (k0)也为T的属于特征值 的特征向量.Copyright 数学与计量经济学院2022-2-1376