考研数学三真题和详解

1、1989年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.)(1) 曲线在点处的切线方程是_ _ .(2) 幂级数的收敛域是_ _ .(3) 齐次线性方程组 只有零解,则应满足的条件是_ _ .(4) 设随机变量的分布函数为 则=_, .(5) 设随机变量的数学期望,方差,则由切比雪夫(Chebyshev)不等式,有_ _ .二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设则当时 ( )(A) 与是等价无穷小量 (B) 与是同阶但非等价无穷小量(C) 是比较高阶

2、的无穷小量 (D) 是比较低阶的无穷小量(2) 在下列等式中,正确的结果是 ( )(A) (B) (C) (D) (3) 设为阶方阵且,则 ( )(A) 中必有两行(列)的元素对应成比例(B) 中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合(C) 中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合 (D) 中至少有一行(列)的元素全为0(4) 设和均为矩阵,则必有 ( )(A) (B)(C) (D) (5) 以表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件为 ( )(A) “甲种产品滞销,乙种产品畅销” (B) “甲、乙两种产品均畅销”(C) “甲种产品滞销” (D) “甲种产品滞销

3、或乙种产品畅销” 三、计算题(本题满分15分,每小题5分)(1) 求极限(2) 已知且的二阶偏导数都连续.求.(3) 求微分方程的通解.四、(本题满分9分)设某厂家打算生产一批商品投放市场.已知该商品的需求函数为,且最大需求量为6,其中表示需求量,表示价格.(1) 求该商品的收益函数和边际收益函数.(2分)(2) 求使收益最大时的产量、最大收益和相应的价格.(4分)(3) 画出收益函数的图形.(3分)五、(本题满分9分)已知函数试计算下列各题：(1) (4分) (2) (2分)(3) (1分) (4) .(2分)六、(本题满分6分)假设函数在上连续,在内可导,且,记证明在内,.七、(本题满分5

4、分)已知其中求矩阵.八、(本题满分6分)设.(1) 问当为何值时,向量组线性无关?(3分)(2) 问当为何值时,向量组线性相关?(1分)(3) 当向量组线性相关时,将表示为和的线性组合.(2分)九、(本题满分5分)设(1)试求矩阵的特征值；(2分)(2)利用(1)小题的结果,求矩阵的特征值,其中是三阶单位矩阵.(3分)十 、(本题满分7分)已知随机变量和的联合密度为试求：(1) ；(5分) (2) .(2分)十一、(本题满分8分)设随机变量在2,5上服从均匀分布,现在对进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于3的概率.1989年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题满分15

5、分,每小题3分.)(1)【答案】【解析】对函数两边对求导,得令得所以该曲线在点处的切线的斜率为,所以 切线方程是即为所求.(2)【答案】【解析】因系数,从而即幂级数的收敛半径,当时幂级数绝对收敛.当时得交错级数(条件收敛)；当时得正项级数(发散).于是,幂级数的收敛域是.(3)【答案】【解析】个方程个未知数的齐次方程组有非零解的充分必要条件是,因为此时未知数的个数等于方程的个数,即为方阵时,用判定比较方便.而 所以当时.所以此题应填:.(4)【答案】,【解析】由于任何随机变量的分布函数是右连续函数,因此对任何,有.对于,有令 ,得到,其中.又因在处连续,连续函数在任何一个点上的概率为0,因此所

6、以 (5)【答案】【解析】由切比雪夫不等式,有.二、选择题(本题满分15分,每小题3分.)(1)【答案】(B)【解析】由洛必达法则有.所以与是同阶但非等价无穷小量.(2)【答案】(C)【解析】由不定积分的概念和性质可知,为常数.故应选(C).(3)【答案】(C)【解析】本题考查的充分必要条件,而选项(A)、(B)、(D)都是充分条件,并不必要.因为对矩阵来说,行和列具有等价性,所以单说列或者单说行满足什么条件就构成了的必要条件,但是不具有任意性,只需要存在一列向量是其余列向量的线性组合.以3阶矩阵为例,若 ,条件(A)必有一列元素全为0,(B)必有两列元素对应成比例均不成立,但有,所以(A)、

7、(B)不满足题意,不可选.若,则,但第三列并不是其余两列的线性组合,可见(D)不正确.这样用排除法可知应选(C).(4)【答案】(C)【解析】当行列式的一行(列)是两个数的和时,可把行列式对该行(列)拆开成两个行列式之和,拆开时其它各行(列)均保持不变.对于行列式的这一性质应当正确理解.因此,若要拆开阶行列式,则应当是个阶行列式的和,所以(A)错误.矩阵的运算是表格的运算,它不同于数字运算,矩阵乘法没有交换律,故(B)不正确.若,则.而且存在时,不一定都存在,所以选项(D)是错误的.由行列式乘法公式知(C)正确.注意,行列式是数,故恒有.而矩阵则不行,故(B)不正确.(5)【答案】D【解析】设

8、事件“甲种产品畅销”,事件“乙种产品滞销”,则 事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”可表示为则“甲种产品滞销或乙种产品畅销”,应选(D).三、计算题(本题满分15分,每小题5分.)(1)【解析】这是型未定式求极限.设,则当时,.于是 ,令,则时,所以 ,所以 ,由洛必达法则得,所以 .(2)【解析】方法一：先求,再求.由复合函数求导法则,故 .方法二：利用一阶全微分形式不变性,可得 .于是有 .再对外求偏导数,即得.【相关知识点】复合函数求导法则：若和在点处偏导数存在,函数在对应点具有连续偏导数,则复合函数在点处的偏导数存在,且.(3)【解析】微分方程对应的齐次方程的特征方程为,特征根为,故对应

9、齐次微分方程的通解为.设所给非齐次方程的特解为,代入方程,比较系数,得,故所求方程的通解为为常数.【相关知识点】关于微分方程特解的求法:如果,则二阶常系数非齐次线性微分方程具有形如的特解,其中与同次(次)的多项式,而按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为、或.四、(本题满分9分)64 2【解析】(1)收益函数.边际收益函数.(2)由 ,得.又 .因此在取极大值.又因为极值点惟一,故此极大值必为最大值,最大值为.所以,当生产量为2时,收益取最大值,收益最大值为.而相应的价格为.(3) 由以上分析可列下表,并画出收益函数的图形.24+0-0+,凸极大值,凸拐点,凹五、(本题

10、满分9分)【解析】(1)为分段函数,由定积分的性质, .(2)用定积分换元法,令,则,所以 ,而 ,故 .(3) 用定积分换元法,令,则,所以而 ,故 .(4)利用以上结果,有.六、(本题满分6分)【解析】对两边对求导,得.证法一：由积分中值定理知,在内存在一点使得,所以 .又因为,故有,所以.证法二：令,则.因为,所以,即在上为减函数,所以,所以 .七、(本题满分5分) 【解析】方法一：本题可采用一般的解法如下：由得因为 所以 方法二：本题还可用由作初等行变换,此解法优点是少算一次矩阵乘法,可以适当减少计算量.,第一行乘以分别加到第二行和第三行上,再第三行乘以加到第三行上,得第三行自乘,再加

11、到第二行上,第二行再加到第一行上,有,所以八、(本题满分6分)【解析】个维向量线性相关的充分必要条件是齐次方程组.有非零解.特别地,个维向量线性相关的充分必要条件是行列式.由于,故当时,向量组线性无关；时向量组线性相关.当时,设将坐标代入有解出即.九、(本题满分5分)【解析】(1) 矩阵的特征方程为,经过行列式一系列的初等行变换和初等列变换,有,故矩阵的特征值为：.(2)由为的特征值可知,存在非零向量使,两端左乘,得.因为,故,于是有.按特征值定义知是的特征值.由的特征值是可知的特征值为又因为,那么的特征值是【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设是阶矩阵,若存在数及非零的维列向量使得成立,则称是矩阵的特征值,称非零向量是矩阵的特征向量.十 、(本题满分7分)【解析】(1) 由二维连续型随机变量的概率求法,概率等于对应区域上的二重积分(2) 由二维连