全等三角形的判定教学用(总复习)

1、1第第4 4讲讲 全等三角形的判定全等三角形的判定 ABC什么叫全等三角形？什么叫全等三角形？两个能两个能完全重合完全重合的三角形叫做全等的三角形叫做全等三角形三角形。ABCABC全等三角形的性质？全等三角形的性质？全等三角形：对应边相等，对应全等三角形：对应边相等，对应角相等角相等。 ABC ABCABCAB=AB, AC=AC, BC=BCA=A ,B=B,C=C全等三角形共有全等三角形共有6组元素组元素(3组对应边、组对应边、3组对应角组对应角)对应角是对应角是: BOF和和COE、 BFO 和和CEO、 FOB和和EOC。对应边是：。对应边是：OF和和OE、OB和和OC、BF和和CE。

2、下列全等三角形的对应边和对应角下列全等三角形的对应边和对应角1、 ABE ACF对应角是：对应角是： A和和A、 ABE和和ACF、 AEB和和AFC；对应边；对应边是是AB和和AC、AE和和AF、BE和和CF。2、 BCE CBF对应角是：对应角是： BCE和和 CBF、 BEC和和CFB、 CBE和和 BCF。对应边是：。对应边是：CB和和BC、CE和和BF、CF和和BE。3、 BOF COE找一找找一找 三角形的三角形的6组元素组元素(3组对应边、3组对应角)中，中，要使两个三角形全等，到底需要使两个三角形全等，到底需要满足哪些条件？要满足哪些条件？ 6选选1 or 6选选2（一个角对应

3、相等）（一个角对应相等）（一条边对应相等）（一条边对应相等）/（两条边对应相等）（两条边对应相等）（两个角对应相等）（两个角对应相等）6选选1：一个角一个角对应相等的两个三角形对应相等的两个三角形不不一定全等；一定全等；一条边一条边对应相等的两个三角形对应相等的两个三角形不不一定全等；一定全等；6选选2： 两个角两个角对应相等的两个三角形对应相等的两个三角形不不一定全等；一定全等；两条边两条边对应相等的两个三角形对应相等的两个三角形不不一定全等；一定全等；一角和一边一角和一边对应相等的两个三角形对应相等的两个三角形不不一定全等；一定全等；(一个角、一条边对应相等）一个角、一条边对应相等）= 可

4、见：可见：要使两个三角形全等，要使两个三角形全等，应至少有应至少有 组元素对应相等。组元素对应相等。36 6选选3 3边边边边边边 (SSS)两边一角两边一角两角一边两角一边角角角角角角两边和它的夹角两边和它的夹角(SAS)两边和它一边的对角两边和它一边的对角两角和夹边两角和夹边(ASA)两角和一角的对边两角和一角的对边(AAS)两边和其中一边的对角两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。=SSA 可见：可见：要使两个三角形全等，要使两个三角形全等，应至少有应至少有 组元素对应相等。组元素对应相等。36 6选选3 3边边边边边边 (SSS)两边一角两边一角两角一边两角一边角角角角角

5、角两边和它的夹角两边和它的夹角(SAS)两边和它一边的对角两边和它一边的对角两角和夹边两角和夹边(ASA)两角和一角的对边两角和一角的对边(AAS)10三个角三个角对应相等的两个三角形不一定全等AAA 可见：可见：要使两个三角形全等，要使两个三角形全等，应至少有应至少有 组元素对应相等。组元素对应相等。36 6选选3 3边边边边边边 (SSS)两边一角两边一角两角一边两角一边角角角角角角两边和它的夹角两边和它的夹角(SAS)两边和它一边的对角两边和它一边的对角两角和夹边两角和夹边(ASA)两角和一角的对边两角和一角的对边(AAS)12三角形全等的三角形全等的4个个种判定公理：种判定公理： SS

6、S（边边（边边边）边）SAS（边角（边角边）边）ASA（角边角（角边角）AAS（角角（角角边边） 有三边对应相等有三边对应相等的两个三角形全等的两个三角形全等. . 有两边和它们的有两边和它们的夹角对应相等的两夹角对应相等的两个三角形全等个三角形全等. . 有两角和它们的夹有两角和它们的夹边对应相等的两个边对应相等的两个三角形全等三角形全等. . 有两角和及其中有两角和及其中一个角所对的边对一个角所对的边对应相等的两个三角应相等的两个三角形全等形全等. . 有公共边的，公共边是对应边有公共边的，公共边是对应边. .有公共角的，公共角是对应角有公共角的，公共角是对应角. .有对顶角的，对顶角是对

7、应角有对顶角的，对顶角是对应角. .一对最长的边是对应边，一对最长的边是对应边， 一对最短的边是对应边一对最短的边是对应边. .一对最大的角是对应角，一对最大的角是对应角， 一对最小的角是对应一对最小的角是对应角角. .在找全等三角形的对应元素时一般有什在找全等三角形的对应元素时一般有什么么规律规律？知识回顾：知识回顾：一般三角形一般三角形 全等的条件全等的条件：1.1.定义（重合）法；定义（重合）法；2.SSS2.SSS；3.SAS3.SAS；4.ASA4.ASA；5.AAS5.AAS. .直角三角形直角三角形 全等全等特有特有的条件：的条件：HLHL. .包括直角三角形包括直角三角形不包括

8、其它形不包括其它形状的三角形状的三角形解题解题中常中常用的用的4 4种种方法方法角的内部到角的两边的距离相等的点角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。在角的平分线上。 QDOA，QEOB，QDQE点Q在AOB的平分线上角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等. QDOA,QEOB,点Q在AOB的平分线上 QDQE二二.角的平分线：角的平分线：1.角平分线的性质：角平分线的性质：2.角平分线的判定：角平分线的判定：w定理定理 线段垂直平分线上的点到这条线线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等段两个端点距离相等.老师提示:这个结论是经常用来证明两条

9、线这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一段相等的根据之一.ACBPMNw如图如图,wAC=BC,MNAB,P是是MN上任意一点上任意一点(已知已知),wPA=PB(线段垂直平分线上线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离的点到这条线段两个端点距离相等相等).引入新知引入新知w逆定理逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点到一条线段两个端点距离相等的点,在在这条线段的垂直平分线上这条线段的垂直平分线上.（如图）（如图）ACBPMNwPA=PB(已知已知),w点点P在在AB的垂直平分线上的垂直平分线上(即即MC垂直平分垂直平分AB）(到一条线段两个端到一条线段两个端点距离相等的点点距离相等的

10、点,在这条线段的垂直在这条线段的垂直平分线上平分线上).老师提示:这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.从这个结果出发,你还能联想到什么?想一想想一想例子例子19一、挖掘一、挖掘“隐含条件隐含条件”判全等判全等1.1.如图（如图（1 1），），AB=CDAB=CD，AC=BDAC=BD，则，则ABCABCDCBDCB吗吗? ?说说理由说说理由ADBC图（1）2.2.如图（如图（2 2），点），点D D在在ABAB上，点上，点E E在在ACAC上，上，CDCD与与BEBE相交于点相交于点O O，且，且AD=AE,AB=AC.AD=AE,AB=AC.若若B=20B=20,

11、CD=5cm,CD=5cm，则，则C=C= , ,BE=BE= . .说说理由说说理由. .BCODEA图（2）3.3.如图（如图（3 3），），ACAC与与BDBD相交于相交于O,O,若若OB=ODOB=OD，A=CA=C，若，若AB=3cmAB=3cm，则，则CD=CD= . . 说说理由说说理由. . ADBCO图（3）205cm3cm学习提示：学习提示：公共边，公共角，公共边，公共角，对顶角这些都是隐含的边，角相等的条件！对顶角这些都是隐含的边，角相等的条件！204、如图，已知、如图，已知AD平分平分BAC， 要使要使ABD ACD， 根据根据“SAS”需要添加条件需要添加条件 ； 根

12、据根据“ASA”需要添加条件需要添加条件 ； 根据根据“AAS”需要添加条件需要添加条件 ；ABCDAB=ACAB=ACBDA=CDABDA=CDAB=CB=C友情提示：友情提示：添加条件的题目添加条件的题目. .首先要首先要找到已具备的条件找到已具备的条件, ,这些条件有些是这些条件有些是题目已知条件题目已知条件 , ,有些是图中隐含条件有些是图中隐含条件. .二二. .添条件判全等添条件判全等21 AN M EDCB1222 5 5、已知：、已知：B BDEFDEF，BCBCEFEF，现要，现要证明证明ABCABCDEFDEF，若要以若要以“SAS SAS ”为依据，还缺条件为依据，还缺条

13、件_；若要以若要以“ASA ASA ”为依据，还缺条件为依据，还缺条件 _；若要以若要以“AAS AAS ”为依据，还缺条件为依据，还缺条件_并说明理由。并说明理由。 AB=DE AB=DE ACB=F ACB=F A=D A=DABCDEF23 6.6.如图（如图（4 4）AE=CFAE=CF，AFD=CEBAFD=CEB，DF=BEDF=BE，AFDAFD与与 CEBCEB全等吗？为什么？全等吗？为什么？解：解：AE=CF(已知已知)ADBCFEAEFE=CFEF(等量减等量，差相等等量减等量，差相等)即即AF=CE在在AFD和和CEB中，中， AFD CEBAFD=CEB(已知已知)DF

14、=BE(已知已知)AF=CE(已证已证)(SAS)247.如图（如图（5）CAE=BAD，B=D，AC=AE，ABC与与ADE全等吗？为什么？全等吗？为什么？ACEBD解：解： CAE=BAD(已知已知) CAE+BAE=BAD+BAE (等量减等量，差相等等量减等量，差相等)即即BAC=DAE在在ABC和和ADE中，中， ABC ADEBAC=DAE(已证已证)AC=AE(已知已知)B=D(已知已知)(AAS)练一练268.“三月三，放风筝三月三，放风筝”如图（如图（6）是小东同）是小东同学自己做的风筝，他根据学自己做的风筝，他根据AB=AD,BC=DC，不用度量，就知道不用度量，就知道AB

15、C=ADC。请用。请用所学的知识给予说明。所学的知识给予说明。解解: 连接连接ACADC ABC(SSS) ABC=ADC(全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等)在在ABC和和ADC中，中， BC=DC(已知已知)AC=AC(公共边公共边)AB=AD(已知已知)l如图如图,已知已知AB是是线段线段CD的的垂直平分线垂直平分线,E是是AB上的上的一点一点,如果如果EC=7cm,那么那么ED= cm;如果如果ECD=600,那么那么EDC= 0.老师期望老师期望: :你能说出填空结果的根据你能说出填空结果的根据. .EDABC760课堂练习课堂练习28实际运用实际运用 9. 测量如图河的宽

16、度，某人在河的对岸找到一参照物测量如图河的宽度，某人在河的对岸找到一参照物树木，视线树木，视线 与河岸垂直，然后该人沿河岸与河岸垂直，然后该人沿河岸步行步（每步约步行步（每步约0.75M）到）到O处，进行标记，处，进行标记，再向前步行再向前步行10步到步到D处，最后背对河岸向前步行处，最后背对河岸向前步行20步，此时树木步，此时树木A，标记，标记O，恰好在同一视线上，则，恰好在同一视线上，则河的宽度为河的宽度为 米。米。15ABODC2911. 如图如图,M是是AB的中点的中点 ,1 = 2 ,MC=MD.试说明试说明ACM BDMABMCD()12证明证明: : M是AB的中点 (已知) M

17、A=MB(中点定义) 在ACM 和BDM中， MA=MB(已证) 1 = 2 (已知) MC=MD(已知) ACM BDM (SAS)30 12.如图如图, M、N分别在分别在AB和和AC上上, CM与与BN相交于点相交于点O, 若若BM = CN, B=C .请找出图中所有相等的线段请找出图中所有相等的线段,并说明理由并说明理由. COBAMN3、如图，、如图，OBAB,OCAC,垂足为垂足为B,C,OB=OCAO平分平分BAC吗？为什么？吗？为什么？OCBA答：答： AO平分平分BAC理由：理由： OBAB,OCAC B=C=90 在在RtABO和和RtACO中中 OB=OC AO=AO

18、RtABO RtACO （HL） BAO=CAO AO平分平分BAC 9、如图，已知、如图，已知E在在AB上，上，1=2， 3=4，那么，那么AC等于等于AD吗？为什么？吗？为什么？4321EDCBA解：解：AC=AD理由：在理由：在EBC和和EBD中中 1=2 3=4 EB=EB EBC EBD (AAS) BC=BD 在在ABC和和ABD中中 AB=AB 1=2 BC=BD ABC ABD (SAS) AC=AD33 14、已知：已知：ABC和和BDE是等边三角是等边三角形形, 点点D在在AE的延长线上。的延长线上。 求证：求证：BD + DC = AD ABCDE分析：分析：AD = AE + EDAD = AE + ED 只需证：只需证：BD + DC = AE + EDBD + DC = AE + ED BD = ED BD = ED 只需证只需证DC = AEDC = AE即可。即可。34 16.如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，已知中，已知AB=AD，CD=CB，则图形中哪些角必定