初中数学公式定理

1、代数部分第一章 有理数及其运算1 自然数及其运算11 自然数零的符号是“0”,它表示没有数量或进位制上的空位除0之外,任何自然数都是由若干个“1”组成的,“1”是数个数的单位,称作自然数的单位自然数的全体：0,1,2,3,4,n,叫做自然数的集合,简称自然数集能被2整除的数叫做偶数;不能被2整除的数叫做奇数12 自然数的运算1 加法: 求和的运算叫做加法2 减法: 减法是加法的逆运算3 乘法: 同一个自然数的连加运算,就叫做乘法4 除法: 除法是乘法的逆运算,零不能做除数13 自然数的运算性质用字母表示任一个自然数,来说明对于任何自然数的运算普遍成立的运算规律和运算特征即它们的共同性质,并简称

2、为运算通性或运算律1 加法交换律:a+b=b+a2 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)3 乘法交换律:a·b=b·a4 乘法对加法的分配律:(a+b)·c=a·c+b·c5 加法结合律:(a·b)·c=a·(b·c)6 自然数0和1的运算特征14 乘法运算及指数运算律求同一个数得连乘运算,叫做乘方运算an中,a叫做底数,自然数n叫做指数,乘方的结果an叫做幂(读作“a的n次幂”或“a的n次方”)零的n次方总等于零,1的n次方总等于1同底数幂相乘,底数不变,只是指数相加指数运算律(一)同底数幂相乘,

3、指数相加,底数不变,即am·an=a(m+n),指数运算律(二)乘积的幂,等于各因数的幂的乘积,即(a·b)n=an·bn指数运算律(三)幂的乘方,指数相乘,底数不变,即(am)n=a(mn)指数运算律(四)同底数幂相除,指数相减,底数不变,即am/an=a(m-n)其中m>n,a!=0两个同底数(不为0)、同指数的幂相除,其商等于1a0=1 (a!=0)分数的意义与特点a/b·b=(a·1/b)·b=(b·1/b)·a=1·a=aa/b=am/bm (m!=0)a/b=(a/b)/(b/n) (n

4、!=0)分数有一个重要的基本性质：一个分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为零的数,分数的值不变22 分数的运算及运算律加、减法a/b(+,-)c/d=ad/bd(+,-)bc/bd=(ad(+,-)bc)/bd乘法a/b·c/d=ac/bd除法(a/b)/(c/d)=(a/b)·(d/c)=ad/bc乘方(a/b)m=(a/b)·(a/b)(a/b)m个括号=(am)/(bm)分数加法的交换律是 a/b+c/d=c/d+a/b3 有理数的意义31 相反意义的量在研究两者的总效果时,可以互相抵消或一部分抵消32 正数和负数、相反数带有正号的数叫做正数(“+”号也

5、可省略不写);带有负号的数叫做负数负数与正数合并时,其结果可以相消或部分抵消数零,既不是正数,也不是负数对任一个数a,总能有一个数-a,使它们可以相消,像这样只是符号不同的两个数,叫做互为相反数零的相反数,仍是零33 有理数、数轴整数包括正整数、负数和零分数包括正分数、负分数整数和分数,统称为有理数全体有理数组成的集合,称为有理数集合全体整数组成的集合,称为整数集合全体自然数组成自然数集合有理数可以用一条直线上的点来表示规定了原点、正方向和单位程度的直线叫做数轴对于任一个有理数,在数轴上都可以有一个确定的点表示它正数和负数,可表示“相反意义”的量,而数零是它们的界限互为相反数的一对数,在数轴上

6、总是表示到原点距离相等的一对点零与它们的相反数都用原点表示34 绝对值一个有理数在数轴上所对应的点至原点的距离叫做绝对值一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;零的绝对值是零4 有理数的运算41 有理数的加法与减法加法符号相同的两个有理数相加,只要将两数的绝对值相加,符号仍取原来的符号两个符号相反的有理数相加,将较大的绝对值减去较小的绝对值,符号取绝对值较大的加数的符号减法减法是加法的逆运算减法法则是减去一个数,等于加上这个有理数的相反数在有理数范围内,减法运算也是畅通无阻的42 代数和含有加减运算的式子,都能转化成井含有加法运算的式子,我们称它为“代数和”去括号法则：去掉紧接

7、正号后面的括号时,括号里的各项都不变;去掉紧接负号后面的括号时,括号里的各项都要变号添括号法则：紧接正号后面添加括号时,括号到括号里的各项都不变;紧接符号后面添加括号时,括到括号里的各项都要变号43 有理数的乘法与除法乘法异号(一负一正)两有理数相乘,将绝对值相乘,符号取负两个负有理数相乘,将绝对值相乘,符号取正乘法法则：将绝对值相乘,积的符号是：同号得正,异号得负当负乘数有奇数个时,成积为负;当负乘数有偶数个时,成积为正;只要有一个乘数为零,那么乘积必定是零除法除法法则：将绝对值相除,商的符号是：同号相除得正,异号相除得负零除以任一个非零有理数,其商仍为零零不能作除数任一个非零有理数x,除1

8、所得的商1/x,叫做这个数x的倒数非零有理数x与1/x互为倒数,其特征性质是x·1/x=1零没有倒数除以一个非零有理数,就等于诚意这个数的倒数a/b=a·1/b=a/b44 有理数的乘方非零有理数的乘方,将其绝对值乘方,而结果的符号是：正数的任何次乘方都取正号;负数的奇数乘方取负号,负号的偶次乘方取正号零的非零次都0;零的零次方没有意义45 有理数的混合运算先乘方,再乘除,后加减;若有括号,则“先里后外”去括号,逐步计算46 近似数和有效数字与实际相符的数,叫做准确数与实际接近的数,叫近似数一般地,一个近似数四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位这时,从左边第一个非零

9、数字起到精确到那一位数字止,所有的数字,都叫做这个数的有效数字5 有理数的基本性质51 有理数运算的“通性”1 加、减、乘(乘方)、除运算的封闭性任意两个有理数的和、差、积、商(0不作除数)都还是有理数这就是有理数四则运算的封闭性相比之下,在自然数范围内,除法(除数不为0)、减法都不封闭;在整数范围内,除法(除数不为0)也不封闭2 加法、乘法运算满足交换律、结合律和分配律(1) 加法的交换律、结合律对于有理数a、b、c来说a+b=b+a;(a+b)+c=a+(b+c)(2) 乘法的交换律、结合律对于有理数a、b、c来说,a·b=b·a; (a·b)·c=

10、a·(b·c)(3)乘法对于加法的分配律对于有理数a、b、c来说a·(b+c)=a·b+a·c3 加、减法运算,乘、除运算的统一(1) 加、减运算的统一任意一个有理数a,总有它唯一的一个相反数-a,使得(-a)+a=a+(-a)=0因而,有理数减法,就可以转化为加法,即a-b=a+(-b)(2) 乘、除运算的统一任意一非零有理数b,总有它唯一的一个倒数1/b,使得b·1/b=1/b·b=1因而,有理数除法,就可以转化为乘法,即a/b=a·1/b(b!=0)4 数0与1的特性对于任意有理数a来说,a+0=0+a=a;

11、 a·0=0·a=0; a·1=1·a=a5 乘方运算满足指数运算律52 有理数的大小顺序负数<零<正数a-b>0, a>b;a-b=0, a=b;a-b<0, a<b负数小于0,0小于正数,负数小于正数;两个整数比较时,绝对值大的数较大;两个负数比较时,绝对值大的数反而较小负数按绝对值由大到小排列,正数按绝对值由小到大排列在数轴上,右边的点所表示的有理数总是大于左边的点所表示的有理数53 等式与不等式的基本性质1 等式用等号“=”联结两个算式的式子,叫做等式无需任何条件,本来就是真实的等式,叫做恒等式在某些条件下,才

12、能成为真实的等式,叫做条件等式根本不能成立的等式,叫矛盾等式等式有以下基本性质：1) 等式的两边可以对调2) 等式的关系可以传递3) 等式的两边,可以加上(或减去)同一个数4) 等式的两边,可以乘以(或除以非零的)同一个数2 不等式用不等号“>”或“<”表示的关系式,叫做不等式1) 如果A>B,那么B<A2) 如果A>B,B>C,那么A<C3) 如果A>B,那么A(+,-)m>B(+,-)m4) 如果A>B,且m>0,那么Am>Bm5) 如果A>B,且m<0,那么Am<Bm第二章 一次方程(组)与一次不等

13、式(组)1 算术解法与代数解法11 两种解法的分析、对比12 未知数和方程用字母x、y、等,表示所要求的数量,这些字母称为“未知数”用运算符号把数或表示书的字母联结而成的式子,叫做代数式含有未知数的等式,叫做方程在一个方程中,所含未知数,又成为元;被“+”、“-”号隔开的每一部分称为一项在一项中,数字或表示已知数的字母因数叫做未知数的系数某一项所含有的未知数的指数和,成为这一项的次数不含未知数的项,成为常数项当常数不为零时,它的次数是0,因此常数项也称为零次项13 方程的解与解方程的根据未知数应取的值是指：把所列方程中的未知数换成这个值以后,就使方程变成一个恒等式能是方程左右两边的值相等的未知

14、数的值,叫做方程的解,也叫做根求方程解的过程,叫做解方程解方程的根据是“运算通性”及“等式性质”可以“由表及里”地去掉括号,并将“含有相同未知数且含未知数的次数也相同”的各项结合起来,合并在一起这叫做合并同类项把方程一边的任一项改变符号后,移到方程的另一边,叫做移项简单说就是“移项变号”把方程两边各同除以未知数的系数(或同乘以系数的倒数),就得到未知数应取的值综上所述,得到解方程的方法、步骤：去括号、移项变号、合并同类项,使方程化为最简形式ax=b(a!=0)、除以未知数的系数,得出x=b/a(a!=0)2 一元一次方程只含有一个未知数并且次数是1的方程,叫做一元一次方程一般形式:ax+b=0

15、(a!=0,a、b是常数)22 一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤是：1 去分母(或化为整系数);2 去括号;3移项变号;4 合并同类项,化为ax=-b(a!=0)的形式;5 方程两边同除以未知数的系数,得出方程的解x=-b/a3 一次方程组31 二元一次方程含有两个未知数的一次方程叫做二元一次方程能够使二元一次方程两边的值相等的未知数x、y的一组值,叫做这个二元一次方程的一个解任何一个二元一次方程都有无限多个解,正因为如此,二元一次方程也被称为不定方程32 方程组与方程组的解把几个方程联合在一起,组成一个整体,叫做联立方程,也叫方程组由几个一次方程组并含有两个未知数的方程组,成为二元

16、一次方程组能够同时满足方程组中每一个方程的未知数的数组组,叫做方程组的解33 二元一次方程组的解法求方程组的解的过程,叫做解方程组设把二元方程转化为一元方程求解,称为消元法叫做加减消元法,简称加减法原方程组是矛盾方程组,无解34 三元一次方程组及其解法含有三个未知数的三元一次方程组4 解应用问题5 一元一次不等式(组)51 一元一次方程式在含有未知数的不等式中,如果只含有一个未知数、分母不含未知数,并且未知数的次数是一次,那么这样的不等式,叫做一元一次不等式能够使不等式成立的未知数的值,称为这个不等式的解,所有这样的解的集合,简称为这个不等式的解集求不等式的解集的过程,叫做解不等式52 一元一

17、次不等式的解法53 一元一次不等式组由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组,叫做一元一次不等式不等式组中每个不等式的解的公共部分,叫做这个不等式组的解集54 一元一次不等式组的解法解一元一次不等式组的一般步骤是：1 先求出不等式组里各个不等式的解集;2 在求出这些不等式的解集的公共部分,就得到这个不等式组的解集第三章 一元二次方程1 平方与平方根11 面积与平方(1) 任意两个正数的和的平方,等于这两个数的平方和(2) 任意两个正数的差的平方,等于这两个数的平方和,再减去这两个数乘积的2倍任意两个有理数的和(或差)的平方,等于这两个数的平方和,再加上(或减去)这两个数乘积的2倍12

18、平方根1 正数有两个平方根,这两个平方根互为相反数;2 零只有一个平方根,它就是零本身;3 负数没有平方根14 实数无限不循环小数叫做无理数有理数和无理数统称为实数2 平方根的运算21 算术平方根的性质性质1 一个非负数的算术平方根的平方等于这个数本身性质2 一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值22 算术平方根的乘、除运算1 算术平方根的乘法sqrt(a)·sqrt(b)=sqrt(ab) (a>=0,b>=0)2 算术平方根的除法sqrt(a)/sqrt(b)=sqrt(a/b) (a>=0,b>0)通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去火把根

19、号中的分母化去,叫做分母有理化(1) 被开方数的每个因数的指数都小于2;(2) 被开方数不含有字母我们把符合这两个条件的平方根叫做最简平方根23 算术平方根的加、减运算如果几个平方根化成最简平方根以后,被开方数相同,那么这几个平方根就叫做同类平方根3 一元二次方程及其解法31 一元二次方程只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2的方程,叫做一元二次方程32 特殊的一元二次方程的解法33 一般的一元二次方程的解法配方法用配方法解一元二次方程的一般步骤是：1 化二次项系数为1用二次项系数去除方程两边,将方程化为x2+px+q=0的形式2 移项把常数项移至方程右边,将方程化为x2+px=-q的形式3

20、配方方程两边同时加上“一次项系数一半的平方”,是方程左边成为含有未知数的完全平方形式,右边是一个常数4 有平方根的定义,可知(1) 当p2/4-q>0时,原方程有两个实数根;(2) 当p2/4-q=0,原方程有两个相等的实数根(二重根);(3) 当p2/4-q<0,原方程无实根34 一元二次方程的求根公式 一元二次方程ax2+bx+c=0(a!=0)的求根公式:当b2-4ac>=0时,x1,2=(-b(+,-)sqrt(b2-4ac)/2a35 一元二次方程根的判别式方程ax2+bx+c=0(a!=0)当delta=b2-4ac>0时,有两个不相等的实数根;当delta

21、=b2-4ac=0时,有两个相等的实数根;当delta=b2-4ac<0时,没有实数根36 一元二次方程的根与系数的关系以两个数x1,x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2-(x1+x2)x+x1·x2=04 解应用问题第四章 多项式的四则运算1 单项式与多项式仅含有一些数和字母的乘法(包括乘方)运算的式子叫做单项式单独的一个数或字母也是单项式单项式中的数字因数叫做这个单项式(或字母因数)的数字系数,简称系数当一个单项式的系数是1或-1时,“1”通常省略不写一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数如果在几个单项式中,不管它们的系数是不是相同,只要他们所含的字

22、母相同,并且相同字母的指数也分别相同,那么,这几个单项式就叫做同类单项式,简称同类项所有的常数都是同类项12 多项式有有限个单项式的代数和组成的式子,叫做多项式多项式里每个单项式叫做多项式的项,不含字母的项,叫做常数项单项式可以看作是多项式的特例把同类单项式的系数相加或相减,而单项式中的字母的乘方指数不变在多项式中,所含的不同未知数的个数,称做这个多项式的元数经过合并同类项后,多项式所含单项式的个数,称为这个多项式的项数所含个单项式中最高次项的次数,就称为这个多项式的次数13 多项式的值任何一个多项式,就是一个用加、减、乘、乘方运算把已知数和未知数连接起来的式子14 多项式的恒等对于两个一元多

23、项式f(x)、g(x)来说,当未知数x同取任一个数值a时,如果它们所得的值都是相等的,即f(a)=g(a),那么,这两个多项式就称为是恒等的记为f(x)=g(x),或简记为f(x)=g(x)性质1 如果f(x)=g(x),那么,对于任一个数值a,都有f(a)=g(a)性质2 如果f(x)=g(x),那么,这两个多项式的个同类项系数就一定对应相等15 一元多项式的根一般地,能够使多项式f(x)的值等于0的未知数x的值,叫做多项式f(x)的根2 多项式的加、减法,乘法21 多项式的加、减法22 多项式的乘法单项式相乘,用它们系数作为积的系数,对于相同的字母因式,则连同它的指数作为积的一个因式3 多

24、项式的乘法多项式与多项式相乘,先用一个多项式等每一项乘以另一个多项式的各项,再把所得的积相加23 常用乘法公式公式I 平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差公式II 完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2两数(或两式)和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们积的2倍3 单项式的除法两个单项式相除,就是它们的系数、同底数的幂分别相除,而对于那些只在被除式里出现的字母,连同它们的指数一起作为商的因式,对于只在除式里出现的字母,连同它们的指数的相反数一起作为商的因式一个多项式处以一个单项式,先把这

25、个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加第五章 因式分解1 因式分解11 因式如果一个次数不低于一次的多项式因式,除这个多项式本身和非零常数外,再也没有其他的因式,那么这个因式(即该多项式)就叫做质因式12 因式分解把一个多项式写成几个质因式乘积形式的变形过程叫做多项式的因式分解1 提取公因式法2 运用公式法3 分组分解法4 十字相乘法5 配方法6 求根公式法13 用待定系数法分解因式2 余式定理及其应用21 余式定理f(x)除以(x-a)的余式是常数f(a)如果f(a)=0,那么f(x)必定含有因式x-a;反过来,如果f(x)含有因式x-a,那么f(a)=0这个结论叫做因式定理22

26、余式定理的应用23 因式分解法解一元方程24 根与系数的关系如果x1,x2时二次三项式ax²+bx+c(a不等于)0的两个根,那么x1+x2=-b/a,x1x2=c/a第六章 分式与二次根式1 分式与分式方程11 指数的扩充12 分式和分式的基本性质设f,g是一元或多元多项式,g的次数高于零次,则称f,g之比f/g为分式分式的基本性质 分数的分子与分母都乘以或除以同一个不等于0的数,分数的值不变13 分式的约分和通分分式的约分是将分子与分母的公因式约去,使分式化简如果一个分式的分子与分母没有一次或一次以上的公因式,且各系数没有大于1的公约数,则此分式成为既约分式既约分式也就是最简分式

27、对于分母不相同的几个分式,将每个分式的分子与分母乘以适当的非零多项式,使各分式的分母相同,而各分式的值保持不变,这种运算叫做通分14 分式的运算15 分式方程方程的两遍都是有理式,这样的方程成为有理方程如果有理方程中含有分式,则称为分式方程2 二次根式21 根式在实数范围内,如果n个x相乘等于a,n是大于1的整数,则称x为a的n次方根含有数字与变元的加,减,乘,除,乘方,开方运算,并一定含有变元开方运算的算式成为无理式22 最简二次根式与同类根式具备下列条件的二次根式称为最简二次根式:(1)被开方式的每一个因式的指数都小于开方次数 (2)根号内不含有分母如果几个二次根式化成最简根式以后,被开方

28、式相同,那么这几个二次根式叫做同类根式23 二次根式的运算24 无理方程根号里含有未知数的方程叫做无理方程第七章 二元二次方程组1 二元二次方程与二元二次方程组11 二元二次方程含有两个未知数,并且未知数最高次数是2的整式方程,称为二元二次方程关于x,y的二元二次方程的一般形式是 ax²+bxy+cy²+dy+ey+f=0其中ax²,bxy,cy²叫做方程的二次项,d,e叫做一次项,f叫做常数项12 二元二次方程组2 二元二次方程组的解法21 第一种类型的二元二次方程组的解法当二元二次方程组的二元二次方程可分解成两个一次方程的时候,我们就可以把分解得到的

29、各方程与原方程组的另一个方程组组成两个新的方程组来解这种解方程组的方法,称为分解降次法22 第二种类型的二元二次方程组的解法第八章 函数与图像1数轴11 有向直线在科学技术和日常生活中,为了区别一条直线的两个不同方向,可以规定其中一方向为正向,另一方向为负相规定了正方向的直线,叫做有向直线,读作有向直线l12 数轴我们把数轴上任意一点所对应的实数称为点的坐标对于每一个坐标(实数),在数周上可以找到唯一的点与之对应这就是直线的坐标化数轴上任意一条有向线段的数量等于它的终点坐标与起点坐标的差任意一条有向线段的长度等于它两个断电坐标差的绝对值2 平面直角坐标系21 平面的直角坐标化在平面内任取一点o

30、为作为原点(基准点),过o引两条互相垂直的,以o为公共原点的数轴,一般地,两个数轴选取相同的单位长度这样就构成了一个平面直角坐标系x轴叫横轴,y轴叫纵轴,它们都叫直角坐标系的坐标轴;公共原点o称为直角坐标系的原点;我们把建立了直角坐标系的平面叫直角坐标平面简称坐标平面两坐标轴把坐标平面分成四个部分,它们叫做四个象限22 两点间的距离23 中点公式3 函数31 常量,变量和函数在某一过程中可以去不同数值的量,叫做变量在整个过程中保持统一数值的量或数,叫做常量或常数一般地,设在变活过程中有两个互相关联的变量x,y,如果对于x在某一范围内的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与之对应,那么就称y是x的

31、函数,x叫做自变量1. 函数的定义域2. 对应法则(1) 解析法就是用等式来表示一个变量是另一个变量的函数,这个等式叫做函数的解析表达式(函数关系式)(2) 列表法(3) 图像法3 函数的值域一般的,当函数f(x)的自变量x去定义域D中的一个确定的值a,函数有唯一确定的对应值这个对应值,称为x=a时的函数值,简称函数值,记作:f(a)32 函数的图像若把自变量x的一个值和函数y的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标,可以在直角坐标平面上描出一个点(x,f(x)的集合构成一个图形F,而集F成为函数y=f(x)的图像知道函数的解析式,要画函数的图像,一般分为列表,描点,连线三个步骤4 正比例函数41

32、正比例函数一般地,函数y=kx(k是不等于零的常数)叫做正比例函数,其中常数k叫做变量y与x之间的比例函数确定了比例函数k,就可以确定一个正比例函数正比例函数y=kx有下列性质:(3) 当k>0时,它的图像经过第一,三象限,y随着x的值增大而增大;当k<0时,他的图像经过第二,四象限,y随着x的增大而减小(2)随着比例函数的绝对值的增加,函数图像渐渐离开x轴而接近于y轴,因此,比例系数k和直线y=kx与x轴正方向所成的角有关据此,k叫做直线y=kx的斜率42 反比例函数一般地,函数y=k/x(k是不等于0的常数)叫做反比例函数反比例函数y=k/x有下列性质:(7) 当k>0时

33、,他的图像的两个分支分别位于第一,三象限内,在每一个象限内,y随x的值增大而减小;当k<0时,它的图像的两个分支分别位于第二、四象限内,在每一个象限内,y随x的增大而增大(8) 它的图像的两个分支都无限接近但永远不能达到x轴和y轴5 一次函数及其图像51 一次函数及其图像如果k=0时,函数变形为y=b,无论x在其定义域内取何值,y都有唯一确定的值b与之对应,这样的函数我们称它为常函数直线y=kx+b与y轴交与点(0,b),b叫做直线y=kx+b在y轴上的截距,简称纵截距52 一次函数的性质函数y=f(小),在axb上,如果函数值随着自变量x的值增加而增加,那么我们说函数f(x)在ax&l

34、t;b上市递增函数;如果函数值随着自变量x的值增大而减小,那么我们说函数y=发(x)在axb上是递减函数如果分别画出两个二元一次方程所对应的一次函数图像,交点的坐标就是这个方程组的解,这种求二元一次方程组的解法叫图像法3. 3 一次函数的应用第九章 二次函数1 二次函数及其图像11 二次函数我们把函数y=ax²+bx+c(a,b,c为常数,且a不等于0)叫做二次函数12 函数y=ax²(a不等于0)的图像和性质用表里各组对应值作为点的坐标,进行描点,然后用光滑的曲线把它们顺次联结起来,就得到函数y=x²的图象这个图象叫做抛物线函数y=x²的图像,以后简称

35、为抛物线y=x²这条抛物线是关于y轴成对称的我们把y轴叫做抛物线y=x²的对称轴对称轴和抛物线的焦点,叫做抛物线的顶点13 函数y=ax²+bx+c(a不等于0)的图像和性质抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标是(-b/2a,4ac-b²/4a),对称轴方程是x=-b/2a,当a0时,抛物线的开口向上,并且向上无限延伸;当a0时,抛物线的开口向下,并且向下无限延伸当a0时,二次函数y=ax²+bx+c在x-b/2a时是递减的,在x-b/2a时是递增的;在x=-b/2a处取得y最小=4ac-b²/4a当a0时,二次函数y=ax

36、²+bx+c在x-b/2a时是递减的;在x=-不/2a处取得y最大=4ac-b²/4a2 根据已知条件求二次函数21 根据已知条件确定二次函数22 二次函数的最大值或最小值23 一元二次方程的图像解法几何部分第一章 实验几何1 点和直线1.1位置和通路在几何学中,“点”就是表示位置的,它是没有大小的,通常,我们用不同的字母表示不同的电在空间,另一个原始的基本概念是“通路”,所谓通路,就是从一个位置移到另一个位置的路线连结A、B两点的最短通路唯一存在,它就是连结A、B两点的直线段直线段简称线段,两点之间可以连唯一一条线段；在所有连接两点的通路中线段最短已知线段AB,按点A到点

37、B的方向延长,那么延长出来的部分就叫线段AB的延长线,同样,也可以作线段BA的延长线1.2直线的基本性质由线段AB向两方无限延伸所形成的图形叫做直线,一条直线上有无限多个点,直线可以用标记它上面任意两个点的大写字母来表示,也可以用一个小写字母表示,如直线AB,直线l过相异两点有一条直线,并且只有一条直线（简称相异两点确定一条直线）两条相交直线确定一个交点1.3线段的长度两点间的距离就是连结这两点的线段的长度平分线段的点叫做线段的中点一条线段只有一个中点2 弧和角2.1圆和弧在平面上,固定线段OA的一个端点O,线段OA绕点O旋转一周,另一个端点所经过的封闭的曲线叫做圆,其中,定点O叫做圆心,线段

38、OA叫做半径圆上的任意两点叫做弧2.2方向和角方向与射线：直线上某一点和它一旁的部分叫做射线,这个点叫做射线的端点射线与角：从同一端点出发的两条射线所组成的图形叫做角,这个共同的端点叫做角的顶点,这两条射线分别叫做角的边若射线AB绕点A旋转一周,仍然回到原来的位置,所形成的角称为周角从角的顶点在这个角的内部引一条射线,如果这条射线将这个角分为两个相等的角,那么这条射线叫做角的平分线2.3角的度量当一个角等于平角的一半时,这个角叫做直角大于直角而小于平角的角叫做钝角大于零角而小于直角的角叫锐角两个角的和等于一个直角,则称这两个角互为余角两个角的和等于一个平角,则称这两个角互为补角3 相交与平行3

39、.1对顶角、邻角、邻补角一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线时,这两个角叫做对顶角对顶角相等3.2垂线和斜线当两条直线相交成直角时,这两条直线就叫做互相垂直,其中一条叫做另一条的垂线,交点叫做垂足直线l2和l1相交,它们的交角不成直角,这两条直线就叫做互相斜交,其中一条叫做另一条的斜线,交点叫做斜足过直线外一点画这条直线的垂线,这点到垂足间线段的长度叫做这点到这条直线的距离过线段中点作这条线段的垂线,这条垂线叫做这条线段的垂直平分线3.3同位角、内错角、同旁内角分别在两条直线的相同的一侧,并且都在第三条直线的同旁的一对角叫做同位角在两条直线的内侧,并且在第三条直线的异侧的一对角叫做内错

40、角在两条直线的内侧,并且都在第三条直线的同旁的一对角叫做同旁内角3.4平行线平行公理：经过直线外一点,又一条而且只有一条直线与该直线平行两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,两直线平行两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,两直线平行两条直线被第三条直线所截,如果内同旁内角互补,两直线平行垂直于同一直线的两直线平行两条平行线被第三条直线所截,同位角相等两条平行线被第三条直线所截,内错角相等两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边,那么这两个角相等或互补如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行3.5空间的直线与平面的位置关系一条棱垂直

41、于一个面内两条相交的棱,这条棱与这个面就互相垂直如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么和两个平面互相垂直不在平面内的一条直线只要与平面内的某一条直线平行,这条直线与这个平面就是平行的4 叠合与全等4.1叠合与全等形两个形状相同,大小相等的几何图形叫做全等形两个全等三角形的对应边相等,对应角相等4.2三角形全等的条件三角形具有稳定性判定方法1 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应相等,那么这两个三角形全等判定方法2 如果一个三角形的两条边及其夹角分别与另一个三角形的两条边及其夹角对应相等,那么这两个三角形全等判定方法3 如果一个三角形的两个角及其夹边分别与另一个三角形的两个角及其

42、夹边对应相等,那么这两个三角形全等5 面积及勾股定理5 1面积 平行四边形面积公式 S=ah三角形面积公式 S=1/2a*h梯形面积公式 S=1/2(a+b)*h5 2勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方第二章 集合知识初步1 集合及其表示法1.1集合的描述法组成某个集合的每一个事物叫做这个集合的元素列举法：如果集合所含的元素个数较少,那么便可把这个集合所含的元素逐个列举出来,这种描述法叫做列举法特征性质描述法：如果集合所含的元素个数较多,甚至含有无限多个元素,这样的集合不便于用列举法表示出来,此时可采用指出元素特征性质的方法来表示集合,这种表示方法叫做特征性质描述法维因图：为了形

43、象化地帮助我们理解集合,可以用一个简单的图形来表示它,通常用来表示给定集合的图形是圆形,圆形上的点表示这个集合所含有的元素,这种用来表示集合的图形叫维因图1.2集合之间的关系包含关系：如果集合A的元素都是集合B的元素,那么就称集合A包含于集合B,也可称集合B包含集合A1.3交集、并集交集：对于给定的两个集合A、B,由它们的公共元素所组成的集合叫做A、B的交集并集：对于给定的两个集合A、B,把它们所含元素合并起来所组成的集合,叫做A、B的并集2 集合知识简单应用2.1集合及其性特征性质2.2子集与推出关系2.3充分条件与必要条件第三章 三角形1 三角形的有关概念和性质1.1三角形的内角和在同一平

44、面内,由一些不在同一条直线上的线段首位顺次相接所围成的封闭图形叫做多边形.组成多变形的那些线段叫做多边形的边.相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点.多变形相邻两边所夹的角叫做多边形的内角,简称多边形的角.多变形的角的一边与另一边的反向延长线组成的角叫做多边形的外角.三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180在原来图形上添画的线叫做辅助线依据三角形内角的特征,对三角形进行分类：三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形；锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形.在直角三角形中,夹直角的两边叫做直角边,直角的对边叫做斜边.推论1 直角

45、三角形的两个锐角互余推论2 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和1.2三角形的有关线段三角形一个角的平分线和对边相交,角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线从三角形的一个顶点向其对边或对边的延长线画垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高2 全等三角形2.1全等三角形的证明边边边 有三边对应相等的两个三角形全等边角边 有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等角边角 有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等定理 有两角及其其中一角的对边对应相等的两个三角形全等2.2直角三角形全等的判定定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

46、3 等腰三角形3.1等腰三角形及其性质三角形的三边,有的三边互不相等,有的有两边相等,有的三边都相等.三边都不相等的三角形叫做不等边三角形,有两边相等的三角形叫做等腰三角形,三边都相等的三角形叫做等边三角形.在等腰三角形中,相等的两边都叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角定理 等腰三角形的底角相等推论 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形定理 一个三角形是等腰三角形的充要条件是这个三角形有两个内角相等等边三角形定理1 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60等边三角形定理2 三个角都相等的三角形是等边三角形等边三

47、角形定理3 有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形3.2线段的垂直平分线与角平分线定理 线段的垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等定理 和一条线段两个端点距离相等的点,都在这条线段的垂直平分线上线段的垂直平分线可以看成是所有和线段两段距离相等的点的集合定理 点在角平分线上的充要条件是这一点到这个角两边的距离相等角的平分线可以看作是到角的两边距离相等的所有点的集合3 轴对称定义 如果点A,B在直线l的两侧,且l是线段AB的垂直平分线,则称点A,B关于直线l互相对称,点A,B互称为关于直线l的对称点,直线l叫做对称轴定义 在平面上,如果图形F的所有点关于平面上的直线l成轴对称,直线l叫做

48、对称轴定义 在平面上,如果存在一条直线l,图形F的所有点关于直线l的对称点组成的图形,仍是图形F自身,则称图形F为轴对称图形,直线l是它的一条对称轴定理 （1）对称轴上的任意一点与一对对称点的距离相等 （2）对称点所连线段被对称轴垂直平分推论 两个图形如果关于某直线称轴对称,那么这两个图形是全等形3.4三角形中的不等关系定理 三角形的外角大于和它不相邻的任一内角定理 三角形任何两边的和大于第三边推论 三角形任何两边的差小于第三边定理 在一个三角形中,如果两边不等,那么它们所对的角也不等,大边所对的角较大定理 在一个三角形中,如果两个角不等,那么它们所对的边也不等,大角所对的边较大在一个三角形中

49、,一条边大于另一条边的充要条件是,这条边所对的角大于另一条边所对的角4 直角三角形4.1勾股定理逆定理勾股定理逆定理 如果三角形的三边长a,b,c满足条件a+b=c,那么c所对的角是直角4.2含30角的直角三角形的性质定理 在直角三角形中,如果一个瑞角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半4.3直角三角形斜边上中线的性质定理 在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半5 基本作图5.1基本作图5.1作三角形5.3轨迹与反证法我们把物体按某种规律运动的路线叫做物体运动的轨迹我们就把一个点在空间按某种规律运动的路线,叫做这个点运动的轨迹,这个点就叫做动点定义 具有性质a的所有点构成的集合,叫做

50、具有性质a的点的轨迹轨迹具有纯粹性和完备性基本轨迹1 与两个已知点距离相等的点的轨迹是连结这两点的线段的垂直平分线基本轨迹2 与已知角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线第四章 四边形1 多边形1.1多边形延长多边形的任意一条边,如果这个多边形的其他各边都在这些延长所得的直线的同旁,我们把这样的多边形叫做凸多边形在多变形中,连结不相邻两个定点的线段叫做多边形的对角线1.2多变形的内角和多变形的内角和定理 n边形的内角和等于(n-2)*180多边形的外角和定理 任意多边形的外角和等于3602 平行四边形2.1平行四边形的定义和性质两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形平行四边形性质定理1 平

51、行四边形的对边相等平行四边形性质定理2 平行四边形的对角相等定理 夹在两条平行线间的平行线段相等同时垂直于两条平行线的直线叫做这两条平行线的公垂线,公垂线夹在平行线间的线段叫做公垂线段,两条平行线间公垂线短的长叫做这两条平行线间的距离推论 平行线间的距离处处相等平行四边形性质定理3 平行四边形对角线互相平分2.2平行四边形的判定平行四边形判定定理1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理2 两组对角分别向等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理3 对角线互相评分的四边形是平行四边形平行四边形判定定理4 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形2 3特殊的平行四边形一个角是直角的平

52、行四边形叫做矩形矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角矩形性质定理2 矩形的对角线相等矩形的判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形举行的判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形菱形的性质定理1 菱形的四条边都相等菱形的性质定理2 菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角菱形的判定定理1 四边都相等的四边形是菱形菱形的判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角,四条边都相等正方形性质定理2 正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角2.4中心对称定理1 成中心对称的两个图形,对称点连线都过对称中心,并且被对称中心平分定理2

53、中心对称的两个图形是全等形定理 平行四边形是中心对称形,它的对称中心是两条对角线的交点3 梯形3.1梯形我们把一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形梯形中,平行的两边叫做梯形的底,较短的底称为上底,较长的底称为下底,不平行的两边叫做梯形的腰3.2等腰梯形与直角梯形我们把两腰相等的梯形叫做等腰梯形,把有一个角是直角的梯形叫做直角梯形等腰梯形性质定理1 等腰梯形在同一底上的两个角相等等腰梯形性质定理2 等腰梯形的两条对角线相等等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形3.3四边形的分类3.4平行线等分线段定理平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在

54、其他直线上截得的线段也相等推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边3.5三角形的中位线连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半三角形三条中线的交点叫做三角形的重心3.6梯形的中位线连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半第五章 相似形1 比例线段1 1比与比例比例的基本性质反比性质更比性质合比性质分比性质等比性质1 2成比例线段在同一单位下,两条线段长度的比,叫做这两条线段的比,它们的比是一个正实数

55、如果四条线段a,b,c,d满足等式a/b=c/d,那么,这四条线段叫做成比例线段1 3黄金分割把一条线段分成两条线段,使其中较长的线段是原先段与较短线段的比例中项,叫做把这条线段黄金分割,把这条线段黄金分割的点,叫做黄金分割点0.618.称为黄金比2 相似三角形2 1相似三角形对应角相等,对应边成比例的三角形,叫做相似三角形2 2三角形相似的判定判定定理1 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么两三角形相似判定定理2 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么两三角形相似判定定理3 如果一个三角形的三边与另一个三角形的三边对应成比例,那么两三角形相似推论1 两直角三角形中有一锐角对应相等,那两三角相似推论2 平行于三角形一边的直线和其他两边