直线平面垂直的判定及其性质

1、 直线平面垂直的判定及其性质一、选择题1.(2014·广东高考文科·T9)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4满足l1l2,l2l3,l3l4,则下列结论一定正确的是()A.l1l4 B.l1l4C.l1与l4既不垂直也不平行 D.l1与l4的位置关系不确定【解题提示】由于l2l3,所以l1与l4的位置关系可以通过同垂直于一条直线的两条直线加以判断.【解析】选D.因为l2l3,所以l1l2,l3l4实质上就是l1与l4同垂直于一条直线,所以l1l4,l1l4,l1与l4既不垂直也不平行都有可能成立,但不是一定成立,故l1与l4的位置关系不确定.2.(2014&#

2、183;广东高考理科)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4满足l1l2,l2l3,l3l4,则下列结论一定正确的是()A.l1l4B.l1l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定【解题提示】由于l2/l3,所以l1与l4的位置关系可以通过同垂直于一条直线的两条直线加以判断.【解析】选D.因为l2/l3,所以l1l2,l3l4实质上就是l1与l4同垂直于一条直线,所以l1l4,l1/l4,l1与l4既不垂直也不平行都有可能成立,但不是一定成立,故l1与l4的位置关系不确定.二、解答题3. (2014·湖北高考文科·T13)如图,在正方体AB

3、CD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q,M,N分别是棱AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1的中点.求证:(1)直线BC1平面EFPQ.(2)直线AC1平面PQMN.【解题指南】(1)通过证明FPAD1,得到BC1FP,根据线面平行的判定定理即可得证.(2)证明BD平面ACC1,得出BDAC1,进而得MNAC1,同理可证PNAC1,根据线面垂直的判定定理即可得出直线AC1平面PQMN.【解析】(1)连接AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,知AD1BC1,因为F,P分别是AD,DD1的中点,所以FPAD1.从而BC1FP.而FP平面EFPQ,且BC1平面EFPQ,故直线BC1

4、平面EFPQ.(2)连接AC,BD,则ACBD.由CC1平面ABCD,BD平面ABCD,可得CC1BD.又ACCC1=C,所以BD平面ACC1.而AC1平面ACC1,所以BDAC1.因为M,N分别是A1B1,A1D1的中点,所以MNBD,从而MNAC1.同理可证PNAC1.又PNMN=N,所以直线AC1平面PQMN.4. （2014·湖南高考文科·18）（本小题满分12分）如图3，已知二面角的大小为，菱形在面内，两点在棱上，是的中点，面，垂足为.（1） 证明：平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值.【解题提示】（1）利用线面垂直的判定定理证明；（2）根据二面角的平面角的定义

5、，及线线角的定义解。【解析】(1)如图，因为,所以连接，由题设知，是正三角形,又E是AB的中点，所以,面,故.(2)因为所以BC与OD所成的角等于AD与OD所成的角，即是BC与OD所成的角。由（1）知，所以又,于是是二面角的平面角，从而不妨设,则,易知在中，连接AO，在中，故异面直线BC与OD所成角的余弦值为5.(2014·广东高考文科·T18)(13分)如图1,四边形ABCD为矩形,PD平面ABCD,AB=1,BC=PC=2.作如图2折叠,折痕EFDC,其中点E,F分别在线段PD,PC上,沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M,并且MFCF.(1)证明:CF平面MDF.

6、(2)求三棱锥MCDE的体积.【解题提示】(1)可利用PD平面ABCD,证明MD平面CDEF.(2)只需求高MD及CDE的面积,即可求得结论.【解析】(1)因为PD平面ABCD,所以PDMD.在矩形ABCD中MDCD,又PDCD=D.所以MD平面CDEF,所以MDCF.又因为MFCF,所以CF与相交直线MD和MF都垂直,故CF平面MDF.(2)在CDP中,CD=AB=1,PC=2,则PD=,PCD=60°CF平面MDF,则CFDF,CF=,DF=.因为EF/DC,所以=,DE=,PE=ME,SCDE=CD·DE=.由勾股定理可得MD=,所以VM􀆼CDE=M

7、D·SCDE=.6.（2014·福建高考文科·19）（本小题满分12分）如图，三棱锥中，.（1） 求证：平面；（2） 若，为中点，求三棱锥的体积.【解题指南】（1）利用线面平行的判定定理证明（2）分别求出的面积和高CD，继而求出体积或利用VA-MBC =VA-BCD -VM-BCD求解【解析】（1）平面BCD，平面BCD，.又，平面ABD，平面ABD，平面.（2）由平面BCD，得.，.M是AD的中点，.由（1）知，平面ABD，三棱锥C-ABM的高，因此三棱锥的体积 .解法二：（1）同方法一.（2）由平面BCD知，平面ABD平面BCD，又平面ABD平面BCD=BD，

8、如图，过点M作交BD于点N.则平面BCD，且，又，.三棱锥的体积 .7. （2014·浙江高考文科·6）设是两条不同的直线，是两个不同的平面（ ） A若，则 B若，则 C若，则 D若，则【解题提示】依据线、面平行，垂直的条件与性质逐一判断.【解析】选C.对A若，则或或，错误；对若，则或或，错误；对若，则，正确；对若，则或或，错误；8. （2014·浙江高考文科·20）20、如图，在四棱锥ABCDE中，平面平面；，.（1）证明：平面；（2）求直线与平面ABC所成的角的正切值. 【解析】（1）连结BD，在直角梯形BCDE中，CD=2所以BD=BC=由，AB=

9、2，得，所以又平面平面，所以平面(2) 过点E作EMCB交CB的延长线于点M，连接AM又平面ABC平面BCDE，所以EM平面ACB所以EAM是直线AE与平面ABC所成的角在RtBEM中，EB=1，EBM=45°所以.在RtACM中，在RtAEM中，9、（2014·浙江高考理科·20）（本题满分15分）如图，在四棱锥中，平面平面.（1） 证明：平面;（2） 求二面角的大小. 【解析】（1）在直角梯形BCDE中，由DE=BE=1，CD=2，得BD=BC=,由AC=，AB=2，得，所以又平面ABC平面BCDE，从而AC平面BCDE所以ACDE，又DEDC，从而DE平面A

10、CD.（2）方法一：作BFAD，交AD于F，过点F作FGDE，交AE于点G，连结BG由（1）知，DEAD，而FGAD，所以是二面角的平面角在直角梯形BCDE中，由，得又平面ABC平面BCDE，从而BDAB由于平面BCDE，得BD平面BCDE，得ACCD在RtACD中，由DC=2，AC=，得AD=在RtAED中，由DE=1，AD=，得AE=在RtABD中，由BD=，AB=2，AD=，得BF=，AF=AD，从而GF=在ABE，ABG中，利用余弦定理分别可得，BG=在BFG中，所以，即二面角的大小是方法二：以D为原点，分别以射线DE，DC为轴，轴的正半轴，建立空间直角坐标系，如图所示由题意知各点坐标

11、如下：，设平面ADE的法向量为，平面ABD的法向量为可算得，,由即可取由即可取所以由题意可知，所求二面角是锐角，故二面角的大小是.10. （2014·辽宁高考理科·19）（本小题满分12分）如图，和所在平面互相垂直，且，E、F分别为AC、DC的中点.（）求证：；（）求二面角的正弦值.【解析】（）如图，以点B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线为轴，BC所在的直线为轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，从而.所以因此,（）平面BFC的一个法向量为，设平面BEF的一个法向量为又,则由得令得，所以设二面角的大小为，则所以，即所求二面

12、角的正弦值.11. （2014·辽宁高考文科·19）（本小题满分12分）如图，和所在平面互相垂直，且，分别为的中点.（）求证：平面；（）求三棱锥的体积.附：锥体的体积公式，其中为底面面积，为高.【解析】（）由已知得，,因此.又为AD的中点，则；同理，.因此平面.由题意，为的中位线，所以；所以平面.（）在平面ABC内作，交CB的延长线于,由于平面平面，平面平面，所以平面.又为AD的中点，因此到平面的距离是.在中，所以12. （2014·山东高考文科·18）如图，四棱锥中，,分别为线段的中点. （）求证：（）求证：【解题指南】（）本题考查线面平行的证法，可利

13、用线线平行，来证明线面平行；()本题考查了线面垂直的判定，在平面PAC中找两条相交直线与BE垂直即可.【解析】（）连接AC交BE于点O，连接OF，不妨设AB=BC=1,则AD=2四边形ABCE为菱形又（）,13. (2014·天津高考文科·T17)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形,BA=BD=,AD=2,PA=PD=,E,F分别是棱AD,PC的中点.(1)证明:EF平面PAB.(2)若二面角P-AD-B为60°,证明:平面PBC平面ABCD;求直线EF与平面PBC所成角的正弦值.【解析】(1)如图,取PB中点M,连接MF,AM. 因为F为PC中点

14、,故MFBC且MF=BC. 由已知有BCAD,BC=AD.又由于E为AD中点,因而MFAE且MF=AE,故四边形AMFE为平行四边形,所以EFAM.又AM平面PAB,而EF平面PAB,所以EF平面PAB.(2)连接PE,BE,因为PA=PD,BA=BD,而E为AD中点,故PEAD,BEAD.所以PEB为二面角P-AD-B的平面角.在PAD中,由PA=PD=,AD=2,可解得PE=2,在ABD中,由BA=BD=,AD=2,可解得BE=1.在PEB中,PE=2,BE=1,PEB=60°,由余弦定理,可解得PB=,从而PBE=90°,即BEPB.又BCAD,BEAD,从而BEBC

15、,因此BE平面PBC,又BE平面ABCD,所以平面PBC平面ABCD.连接BF.由知,BE平面PBC,所以EFB为直线EF与平面PBC所成的角,由PB=及已知,得ABP为直角.而MB=PB=,可得AM=,故EF=.又BE=1,故在RtEBF中,sinEFB=.所以直线EF与平面PBC所成角的正弦值为.14.（2014·安徽高考文科·19）如图，四棱锥的底面边长为8的正方形，四条侧棱长均为.点分别是棱上共面的四点，平面平面，平面.(1) 证明：(2) 若，求四边形的面积.【解题提示】（1）由线面平行得出BC平行于线线EF、GH；（2）设BD相交EF于点K，则K为OB的中点，由

16、面面垂直得出，再由梯形面积公式计算求解。【解析】（1）因为BC/平面GEFH,BC平面PBC，且平面PBC平面GEFH=GH，所以GH/BC,同理可证EF/BC，因此GH/EF。（2）连接AC,BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP,GK,因为PA=PC,O是AC的中点，所以,同理可得,又，且AC,BD都在底面内，所以底面ABCD，又因为平面GEFH平面ABCD,且平面GEFH,所以PO/平面GEFH，因为平面PBD平面GEFH=GK,所以PO/GK,且GK底面ABCD,从而,所以GK是梯形GEFH的高，由AB=8，EB=2得EB：AB=KB:DB=1:4,从而,即K是OB的中点。再由PO/

17、GK得，即G是PB的中点，且，由已知可得，所以GK=3，故四边形GEFH的面积15、（2014·安徽高考理科·20）如图，四棱柱中，底面.四边形为梯形，,且.过三点的平面记为，与的交点为.（1） 证明：为的中点；（2） 求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比；（3） 若，梯形的面积为6，求平面与底面所成二面角大小.【解题提示】 （1）由及得；（2）将问题转化为求出特殊几何体的体积，即+，从而得出结果；（3）利用平面ABCD，作证明为平面与底面ABCD所成二面角的平面角，解求得。【解析】（1）因为所以平面QBC/平面A1AD，从而平面A1CD与这两个平面的交线相互平行，即QC/A1D，故的对边相互平行，于是，所以,即Q为BB1的中点。（2）如图所示，连接QA,QD,设AA1=h,梯形ABCD的高位d,四棱柱被平面分成上下两部分的体积分别为V上和V下，BC=a,则AD=2a，所以+，又，所以。所以。（3）如上图所示，在中，作,垂足为E，连接A1E，又，所以,于是，所以为平面与底面ABCD所成二面角的平面角。因为BC/AD,AD=2BC,所以,又因为梯形ABCD的面积为6，DC=2，所以，于是，故所求二面角的大小。16. （2014·四川高考文科·18）在如图所示的多面体中，四