矩阵特征值方法研究与初探

1、ANYANG INSTITUTE OF TECHNOLOGY 本 科 毕 业 论 文矩阵特征值的计算方法初探Study on calculation method of the matrix feature学 院： 数理学院 专业班级： 信息与计算科学09-1 学生姓名： 王江朋 学 号： 200911010004 指导教师姓名： 刘肖云 指导教师职称： 讲师 2013年5 月毕业设计（论文）原创性声明和使用授权说明原创性声明本人郑重承诺：所呈交的毕业设计（论文），是我个人在指导教师的指导下进行的研究工作及取得的成果.尽我所知，除文中特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或组织已经发表或公布

2、过的研究成果，也不包含我为获得安阳工学院及其它教育机构的学位或学历而使用过的材料.对本研究提供过帮助和做出过贡献的个人或集体，均已在文中作了明确的说明并表示了谢意.作 者 签 名： 日 期： 指导教师签名： 日期： 使用授权说明本人完全了解安阳工学院关于收集、保存、使用毕业设计（论文）的规定，即：按照学校要求提交毕业设计（论文）的印刷本和电子版本；学校有权保存毕业设计（论文）的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文；在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容.作者签名： 日 期： 矩阵特征的计算方法初探摘要：矩阵是主要的研究

3、工具，而且在很多领域都有很重要的应用.矩阵的特征值是矩阵应用的一个重点之一，在科学研究方面具有重要的地位.进行矩阵特征值的讨论可以直接用来解决实际的问题.矩阵特征的计算方法初探，引入矩阵的定义以及性质，主要介绍了矩阵的普通矩阵特征值的求法和求解矩阵的一些其他优化方法.其中求解矩阵的普通方法包括传统的求法以及初等变换求矩阵的特征值方法；其他的一些优化方法包括幂法、反幂法、Jacobi方法、QR方法.在实际的求解矩阵特征值的问题，根据矩阵的不同特点，选择最快速的方法求解，从而达到最优化解决实际问题.关键词：矩阵 矩阵特征值 幂法 反幂法 Jacobi方法 QR方法Study on calculat

4、ion method of the matrix featureAbstract ：The matrix is the main research tool, and has very important application in many fields. The eigenvalue of the matrix is one of the key matrix application, has the important status in the fields of scientific research. Discussion of matrix eigenvalues can be

5、 directly used to solve practical problems. Calculation of matrix characteristic, introducing the definition of matrix and properties, mainly introduces the common matrix eigenvalue matrix value calculation methods and some other optimization method for solving matrix. One common method for solving

6、matrix eigenvalue approach method including traditional and elementary transformation matrix; some other optimization approaches including power method, inverse method, QR method, Jacobi method. In solving the matrix characteristics of practical value of the problem, according to different character

7、istics of matrix, solving method to select the most quickly, so as to achieve the optimization to solve practical problems.Key words：matrix matrix eigenvalue power method inverse power method Jacobi method QR method目录第1章 矩阵特征值的定义以及性质21.1 矩阵特征值与特征向量的定义21.2 矩阵特征值的性质2第2章 普通矩阵特征值的求法22.1 传统方法22.2 初等变换求矩阵

8、的特征值3第3章 求解矩阵特征值的其他优化方法43.1 幂法43.2 幂法103.3 Jacobi方法113.4 QR方法15结论19致谢20参考文献21附录21引言1 课题的主要内容随着电子计算机的普及和记忆电子技术的迅猛发展，矩阵特征值的计算越来越被从事计算数学的人们所关注，在现有的经典Jacobin算法、QR算法的基础上，出现了一些新的计算方法，还有一些实在这积累算法基础上进行改进的，都有很大的实用性.本文首先介绍矩阵特征值的概念，接着引出求特征值的普通使用的常规方法，在此基础上进行改进的新方法，对各种方法进行适用性及复杂性的比较，最后在不同的分类矩阵问题上探索矩阵特征值的最佳方法，运用

9、于实际的求解问题当中.2 课题的目的和意义本文通过对矩阵特征值的概念的引入，给出一些特征值的方法.根据不同的矩阵，探讨不同种类的矩阵，探讨能够运用最合适的方法进行特征值的求解，使得在以后的学习中，对矩阵的计算方法的问题上能够灵活的运用各种方法.矩阵特征值的问题在许多领域的研究有重要的地位，是高等代数学习的一个重要内容，也是一个基础性的知识，所以熟练掌握矩阵特征值的一些重要结论和计算方法是非常必要的矩阵特征值问题不仅可直接解决数学中诸如非线性规划、优化、常微分方程，以及各种数学计算问题，而且在结构力学、工程设计、计算物理和量子力学中具有重要作用，目前矩阵特征值问题的应用大多来自解数学物理方程、差

10、分方程等.正因为它具有重要意义和广泛的应用，所以矩阵特征值问题是当前国内外高性能计算机的主要任务之一.第1章 矩阵特征值的定义以及性质1.1 矩阵特征值与特征向量的定义设是阶方阵，如果存在数和非零维列向量，使得成立，则称是 的一个特征值或本征值.非零维列向量x称为矩阵的属于（对应于）特征值的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或的本征向量.1.2 矩阵特征值的性质设为的特征值, 且，则有 为的特征值(c0为常数)； 为的特征值，即； 为的特征值，即 ； 设为非奇异矩阵，那么, 且为的特征值，即 .第2章 普通矩阵特征值的求法2.1 传统方法求解矩阵特征值的传统方法，即求解，等价于求，使得，其中

11、是单位矩阵，0为零矩阵.，求得的值即为的特征值.是一个次多项式，它的全部根就是阶方阵的全部特征值.例：求矩阵的特征值解所以由知道的特征根，2.2 初等变换求矩阵的特征值下面是矩阵的三种变换（1）互换两列，同时互换两行；（2）第列乘以非零数,同时第行乘；（3）第列倍数加到第列，同时第行倍加到第行.推论1： 对任一个阶复矩阵 , 则一定存在一系列初等矩阵, 使得为一个上三角矩阵.定理：相似矩阵有相同的特征多项式.证明: 设, 为两个阶矩阵, 若, 则存在可逆矩阵, 使得,因而有推论2 : 相似矩阵有相同的特征值.例：求的特征值解：所以特征值，第3章 求解矩阵特征值的其他优化方法传统方法对于很小时是

12、可以的.但当稍大时，计算工作量将以惊人的速度增大且由于计算带有误差，特征方程的求解就很困难了.这时我们就需要一些其他方法求解矩阵特征值.3.1 幂法幂法是一种计算矩阵主特征值(矩阵按模最大的特征值)以及对应特征向量的迭代法，设矩阵有一个完备的特征向量组，其特征值为，相应的特征向量为，.已知A的主特征值都是实根，且满足条件幂方法的基本思想是任意取一个非零的初始值向量，由矩阵A构造一向量序列称为迭代向量.由假设，可表示为（设）于是其中=，由假设，故，从而这说明序列越来越接近A的相对应的特征向量，或者说当k充分大时，及，即迭代向量为的特征向量的相似向量(除了一个因子外).下面再考虑主特征值的计算，再

13、用表示的第个分量，则，故也就说明两相邻迭代向量的比值收敛到主特征值.这种由一直非零向量以及矩阵A的幂乘构造向量序列以计算A的主特征值以及相应特征向量的方法称为幂法在上述同等条件下，幂法可以这样进行：取一初始向量，构造向量序列：其中中表示向量的绝对值最大的分量.由上面的式子可以得到：所以求解矩阵的主特征值就只需要求解就行了.例：用幂法求解的主特征值 解，取初值向量K5(0.7651,0.6674,1)2.588791810(0.7494,0.6508,1)2.538002915(0.7483,0.6497,1)2.536625620(0.7482,0.6497,1)2.5365323矩阵A的主特

14、征值幂法的加速方法：原点平移法应用幂法计算A的主特征值的收敛速度主要由比值 来决定，但当接近于1时，收敛可能很慢. 这时，一个补救办法是采用加速收敛的方法. 引进矩阵 其中为参数，设的特征值为，则对矩阵B的特征值为，而且, 的特征向量相同如果要计算的主特征值, 只要选择合适的数，使为矩阵 的主特征值，且 那么，对矩阵应用幂法求其主特征值 收敛速度将会加快. 这种通过求的主特征值和特征向量，而得到的主特征值和特征向量的方法叫原点平移法. 对于的特征值的某种分布，它是十分有效的. 例： 设有特征值，比值. 做变换, 则的特征值为.应用幂法计算的主特征值的收敛速度的比值为虽然常常能够选择有利的值,

15、使幂法得到加速, 但设计一个自动选择适当参数的过程是困难的.下面考虑当的特征值是实数时，怎样选择使采用幂法计算得到加速设的特征值都是实数，且满足则不管如何，的主特征值为或.当希望计算及时，首先应选择使 且使收敛速度的比值显然，当时，即时为最小值，这时收敛速度的比值为当A的特征值都是实数，满足且,能初步估计出来，我们就能确定的近似值.当希望计算时，应选取使得应用幂法计算得到加速例：用原点平移加速法求矩阵的主特征值解，.对应用幂法，仍取 , 则迭代5步的计算结果见下表 k  12,4, 3.540.5,1,0.87527, 14, 10.5625140.5,1, 0.75453

16、6.76, 13.5179, 10.140613.51790.5, 1, 0.750746.7503, 13.5007, 10.125613.50070.5,1, 0.750056.7500, 13.5000, 10.125013.50000.5,1,0.7500可得到的主特征值为,因此，的主特征值为 3.2 幂法反幂法用来计算矩阵按模计算最小值及其特征向量，也可以用来计算对应一个给定近似特征值的特征向量设为非奇异矩阵，A的特征值依次记，相应的特征向量为，.则的特征值为，对应的特征向量为，.因此计算A的按模最小的特征值的问题就是计算的按摩最大的特征值的问题.对于引用幂法迭代（称反幂法），可求得

17、矩阵的主特征值，从而求得A的按摩最小的特征值.反幂法迭代公式为：取任意初始向量，构造向量序列迭代向量可以通过解线性方程求得3.3 Jacobi方法吉文斯变换： 设，则变换，或者是平面向量的一个旋转变换，其中为正交矩阵中的变换，其中，而称为中平面的旋转变换，也称吉文斯变换称为平面旋转矩阵.设为对称矩阵，为一平面旋转矩阵，则的元素计算公式为：而且不难验证定理：设为对称矩阵，若，为正交矩阵，则.证明：设为的特征值，则另外，矩阵的特征值也是，因此得证设的非对角元素，我们可选择平面旋转矩阵，使得的非对角元素.为此，由矩阵元素的计算公式可是，可选择，使得如果表示的对角线平方和，用表示的非对角线的平方和，则

18、对由，和定理得到，这说明的对角元素的平方和比的对角元素的平方和增加了，而的非对角元素的平方和减少了，这就是Jacobi方法求矩阵特征值的依据下面介绍Jacobi方法的计算过程先在中选择非对角元中绝对值最大的.可设，否则已经对角化了.可由选择平面旋转矩阵，使得的元素.计算出，再类似的选择，计算,继续这个过程，连续对旋行一系列平面变换消除非对角线绝对值最大的元素，直到将的非对角线元素全化为充分小为止.定理： 设为对称矩阵，施行上述一系列平面旋转变换则有.证明：设，由于，则反复利用上式，即可得到因此设m充分大时候，有为对角阵，则的对角线元素就是的吉斯特征值例：用Jacobi方法求的特征值.解，先取则

19、有，所以，再取可得，连续重复可得则的近似特征值已经求出3.4 QR方法QR算法是计算中小型矩阵的全部特征值最有效方法. 理论原理：任一非奇异实矩阵都可分解成一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积，而且当R的对角元符号取定时，分解是唯一的.QR方法的基本思想是利用矩阵的QR分解通过迭代格式将化成相似的上三角矩阵，从而求出矩阵的全部特征值.由，即.于是，即与相似.同理可知，即与相似.目前QR方法主要用来计算上海森伯格矩阵的全部特征值以及对称三角矩阵全部特征值的问题.对于一般矩阵 (或对称矩阵)，则首先用豪斯霍尔德方法将化为上海森伯格阵 (或对称三对角阵)，然后再用方法计算的全部特征值.设，且对进行

20、分解，即其中为上三角阵, 为正交阵, 于是可得到一新矩阵显然，是由经过正交相似变换得到，因此与的特征值相同. 再对进行分解，又可得一新矩阵,重复这一过程可得到矩阵序列：设 将进行分解作矩阵 算法，就是利用矩阵的分解，按上述递推法则构造矩阵序列的过程. 只要为非奇异矩阵，则由算法就完全确定.定理：（基本方法）设，构造算法：记，则有（1）相似于，即（2）（3）的分解式为证明：（1），（2）显然，证明（3）.用归纳法，显然当时有，设有分解式，于是将进行分解，即将用正交变换化为上三角矩阵.，其中,所以这就是说可由按下述方法求得：左变换（上三角阵）；右变换.例：. 解，矩阵，取即为与相似的上三角矩阵，将

21、进行分解记,.于是再取于是第一次迭代得重复上述过程11次得到，结论本文中，第一张介绍了矩阵特征值的定义以及矩阵特征值的一些主要的性质，为下面介绍矩阵特征值的求法做了铺垫，第二章主要通过介绍求解矩阵特征值的传统方法以及行列式变换法，这两种方法适用于低阶简单的矩阵特征值的计算，第三章中，罗列了一些求矩阵特征值其他算法，包含了乘幂法，反乘幂法，Jacobi方法，和QR方法.矩阵的理论和计算博大精深，在这里我只是简单的做了一些探求.致谢本论文是在导师刘肖云的悉心指导下完成的.导师渊博的专业知识，严谨的治学态度，精益求精的工作作风，诲人不倦的高尚师德，严以律己、宽以待人的崇高风范，朴实无华、平易近人的人

22、格魅力对我影响深远.不仅使我树立了远大的学术目标、掌握了基本的研究方法，还使我明白了许多待人接物与为人处世的道理.本论文从选题到完成，每一步都是在导师的指导下完成的，倾注了导师大量的心血.在此，谨向导师表示崇高的敬意和衷心的感谢！ 本论文的顺利完成，离不开各位老师、同学和朋友的关心和帮助.参考文献1徐树方. 矩阵计算的理论与方法M . 北京: 北京大学出版社, 1995.2张凯院 徐仲.数值代数(第二版): 科学出版社3北京大学数学系. 1995. 高等代数(第二版). 北京：高等教育出版社4蔡大用. 1987. 数值代数. 北京：清华大学出版社5蔡大用, 白峰衫. 1997. 高等数值分析.

23、 北京：清华大学出版社6解学书. 1986. 最优控制. 北京：清华大学出版社7古以熹.矩阵特征值的分布J.应用数学学报，1994，4；501-5118逄明贤.矩阵谱论.长春:吉林大学出版社1989,479Golub G.H.,Van Loan C.F.矩阵计算(袁亚湘等译).北京:科学出版社,200110黄廷祝，游兆永矩阵最小奇异值下界的估计J 计算数学， 1997(4) : 359-36411徐仲, 张凯院, 路全. 1999. TOEPLITZ矩阵类的快速算法. 西安：西北工业大学出版社12Gohberg I, Kailath T, Koltracht I. 1986. Efficien

24、t solution of linear systems of equations with recursive. 附录附录A：矩阵的幂方法求解矩阵特征值的matalab计算A=1,1,0.5;1,1,0.25;0.5,0.25,2;%A为矩阵；ep为精度要求；N为最大迭代次数；m为绝对值最大的特征值；u为对应最大特征值的特征向量.N=0;ep=1e-8;n=length(A);u=ones(n,1);index=0;k=0;m1=0;while k<=N v=A*u; m=max(abs(v); u=v/m if abs(m-m1)<ep index=1; break; end m1=m; k=k+1;endm %特征值 u/norm(u) %特征向量 vv,ll=eig(A); %matlab求解的特征值和特征向量 mm,ii=max(abs(diag(ll); m_matlab=mm v_matlab=vv(:,i