Lebesgue积分的论述

1、泛函分析 题目：Lebesgue积分的叙述 学院：理学院 专业：基础数学 姓名：李晓玉 日期：2015年12月23日目录摘要I引言1一、Lebesgue积分的定义2二、Lebesgue控制收敛定理4三、黎曼积分与Lebesgue积分的关系5四、全连续函数6参考文献6Lebesgue积分的论述摘要：Lebesgue积分是Lebesgue在发现黎曼积分的缺陷后在黎曼积分定义的基础上扩张的一种新的积分方法，本文以Lebesgue积分的三种等价定义为主，Lebesgue控制收敛定理为辅来认识的Lebesgue积分，希望能对Lebesgue积分有个基础的认识，同时本文还简单介绍了一下全连续.关键词：Le

2、besgue积分、黎曼积分、全连续I引言：黎曼积分的概念与理论是数学史上非常重要的一部分，它作用于许多学科，比如常微分方程、复变函数论和概率论等课程中.但是黎曼积分有一个很大的缺点，就是黎曼可积函数列的极限并不一定是可积的，或者说黎曼可积函数类对极限运算是不封闭的.换句话说，黎曼可积函数对极限运算是不完备的.所以我们希望扩张黎曼可积函数类，即重新定义一种积分，它的可积函数类对极限是封闭的.也就是说，我们要给出的一种新的积分定义，这就是20世纪初Lebesgue引进的Lebesgue积分.Lebesgue积分的论述一、Lebesgue积分的定义 一般定义勒贝格积分的方法有三种，并且是互相等价的，

3、下面会分别叙述并给予简单说明.定义1 设是上的非负可测函数.我们定义是上的勒贝格积分，这里的积分可以是；若，则称在上是勒贝格可积的.为上的可测函数，若积分 中至少有一个是有限值，则称 为是上的勒贝格积分；当上式右端两个积分皆为有限时，则称是勒贝格可积的（勒贝格可积又称积分）.定义2 设是上的有界可测函数.即存在,使,若是的任意分割，设 任取，作和，如果存在一个常数,使得对的任意分割和介点的任意选取，都有存在，且 ,则称是上可积的，且称该极限值为在上的积分，记为.定义3 设是上的有界可测函数.作的任意分割，其中为互不相交的非空可测子集.设 则的大和及小和为 若，则称在上是可积的，且称该共同值为在

4、上的积分，记为.关于勒贝格积分定义的说明(1) 第一种定义说明在上勒贝格可积在上上勒贝格可积. 而这对于黎曼积分确实不对的，例如： 这个函数在闭区间不是黎曼可积的，但在闭区间是黎曼可积的.(2) 第二种定义是勒贝格本人最初的定义，也是弥补黎曼积分缺点的所在，黎曼积分要求函数在任意区间上的振幅不能太大，即函数不能太不连续.（3）第三种定义与一般的数学分析教材上的黎曼积分定义的形式非常相象，只是将区间分割成在小区间改成区间分割成可测子集；就是这一点改动，就形成了数学科学发展的一座里程碑.这种定义便于将勒贝格积分同黎曼积分进行比较.综上所述，上面三种勒贝格积分定义各有其特色.二、Lebesgue控制

5、收敛定理设为可测集，为上的一列可测函数.是上的非负可积函数，如果对于任意的自然数，于且于，则 () ； () . 证明这个定理之前，先介绍法图引理.法图引理：设为可测集，为上的一列非负可测函数，则.证明 令.则是上的一列非负可测函数且时，于是. 现在证明Lebesgue控制收敛定理证明()： 显然在上可测且于，所以在上可积，每个也在上可积.令，则在上非负可积，于且，于.因而于且于.由法图引理： .所以.由于，故.即 . ()由()即得. Lebesgue控制收敛定理为积分与极限次序的交换所提供的充分条件有着广泛的作用.它是Lebesgue积分理论中最重要的结果之一.三、黎曼积分与Lebesgu

6、e积分的关系就一元函数讨论黎曼积分和Lebesgue积分的关系.在这里把一元函数在上的黎曼积分记作，Lebesgue积分记作.先给出有界函数在上可积的一个充要条件，然后讨论这两种积分之间的关系.设在上的一个有界函数，时.对于任意的自然数，作的分法，使得时，这里表示分法的最大区间长.令，,由数学分析中黎曼积分的相关知识可知，当时这里和分别是在上的达布上积分与下积分.四、全连续函数设为上的有限函数，如果对任意，存在，使对中互不相交的任意有限个开区间，只要，就有，则称为上的全连续函数.设为测度空间，为互不相交的任意有限个开区间，为上的可测函数，对任意的，存在，当且时，就有.不难证明全连续函数是一致连续函数，并且也是有界变差函数，满足利普希茨条件的函数是全连续函数.参考文献1 数学分析(上)M.北京:高等教育出版社,2010.7.2 数学分析(下)M.北