导数的综合应用练习题及答案

1、导数应用练习题答案1 .下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出定理中的数值(1)f (x) 2x2 x 31,1.52,2; f(x) x ,3-x0,3；x2(4)f(x) ex11,1解：(1)f(x) 2x2 x1,1.5该函数在给定闭区间上连续，其导数为f (x)4x 1,在开区间上可导，而且f( 1) 0, f(1.5)0,满足罗尔定理，至少有一点使f ( ) 41 0,解出(1,1.5),1o42,2该函数在给定闭区间上连续,其导数为f(x)2x72T2(1 x )1 一 一,在开区间上可导， 而且f( 2) - , f (2)5满足罗尔定理，至少有一点(2

2、,2),一2一使f ( ) k0 ,解出(12)20。解：(3)f(x) x . 3 x0,3该函数在给定闭区间上连续，其导数为(x)_x ,在开区间上可导，而且 f (0)2、x 30,f (3) 0,满足罗尔定理，至少有一点(0,3),使 f ( )- 32.2。2解：(4)f(x) ex 11,1该函数在给定闭区间上连续,其导数为f(x) 2xex ,在开区间上可导，而且f( 1) e 1, f (1) e 1,满足罗尔定理，至少有一点，使 f ()0。2 .下列函数在给定区域上是否满足拉格朗日定理的所有条件？如满足，请求出定理中的数值(1)f(x) x30,a (a 0)；(2) f

3、(x) In x 1,2；3 3) f (x) x3 5x2 x 2 1,0该函数在给定闭区间上连续，其导数为f (x) 3x2 ,在开区间上可导，满足拉格朗日定理条件，至少有一点(0, a)，使 f (a)f(0) f ( )(a 0),即 a3 0 3 2(a 0),解出a3解：(2)f(x) Inx 1,2该函数在给定闭区间上连续，其导数为11，_ ,f (x),即在开区间上可导，满足拉格朗日定理条件，至少有 x一点一 r1(1,2),使 f(2)f(1) f ( )(2 1),即 ln2 ln1 1 (2 1),解出1ln2解：(3)f(x) x3 5x2 x 21,0该函数在给定闭区

4、间上连续，其导数为5 .433f (x) 3x2 10x 1,即在开区间上可导，满足拉格朗日定理条件，至少有一点 (1,0)，使 f (0) f( 1) f ( )(0 1),即 2 ( 9) (3 2 101)(0 1),解出3.不求导数，判断函数f(x) (x 1)(x 2)(x答案：有三个本艮分别在 (1,2),(2,3),(3,4)3)(x 4)的导数有几个实根及根所在的范围。2x2 x成立且 F (x)21 x2212(1 x2) 2x 2x1 (1)1 x21 x221 x24证明：当x 1时，恒等式2arctan x arcsin -12x证：设 F (x) 2arctan x

5、arcsin彳1 x2当x 1时，F(x)连续，当x 1时，F(x)可导即当 x 1 时，F(x) C,即 F(x) F(1) 2 -4 22x故当 x 1 时， 2arctan x arcsin21 x25设f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且f (0) 0,证明在(0,1)内存在一点c,使 cf (c) 2f (c) f (c).F(1)证明：令F(x) (x 1)2f(x),则F(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且因f (0) 0,则F(0) 0即F(x)在0,1上满足罗尔定理的条彳%则至少存在c (0,1)使F(c) 0又 F(x) 2(x 1)f (x) (x 1)

6、2f(x),即 2(c 1)f (c) (c 1)2f (c) 0而 c (0,1),得 cf(c) 2f (c) f (c)6.已知函数f (x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且f(0) 1,f(1) 0 ,证明在(0,1)内至少存在一点使得f ()f()证明：令F(x) xf(x),则F(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且F(0) 0 F(1)即F(x)在0,1上满足罗尔定理的条件，则至少存在(0,1)使尸()0又 F(x) f (x) xf(x),即 f() f ( ) 0,故 f()工).7 .证明不等式：sin x2 sin x,x2 x,证明：设函数 f (x) si

7、nx ,x1,x2 R,不妨设x x2,该函数在区间x，x2上连续，在(x，x2)上可导，由拉格朗日中值定理有f(x2) f(x1) f ( )(x2 x1)，(x1x2)即 sinx2 sin x1cos (x2 x1),1,所以有 sin x2 sin x1x2x1故 sinx2 sinx cos (x2 x1),由于 cos8 .证明不等式：nbn 1 (a b) an bn nan 1 (a b) (n 1,a b 0)证明：设函数f (x) xn,在b, a上连续，在(b, a)内可导，满足拉格朗日定理条件，故n nn 1n 1 n 1 n 1a b n (a b),其中 0 ba,

8、因此 ba有 nbn 1(a b) n n 1(a b) nan 1(a b)所以 nbn 1(a b) an bn nan 1(a b)9 .利用洛必达法则求下列极限:(1)limx 0limx 1ln xx 1解:ln x limx 1 x 11lim x 1x 1 1则32x 3x 2lim13x22x 1(4) limx _ 2tanx解:limx _2tanxlimx _2x 一212- cos xlimx _n x lim - axx e(a0,n为正整数)解:limxn xax elimxn 1 nxax elimxn!ax e2cos xlimx _22cosx ( sin x

9、)(6) lim xx 0mln(m0)；解：lim xx 0ln xlimIn xlimx 0xm mxlimx 0解：lim(”)e 1xm0x(ex 1)lim 一 x 0 exexm0x xexm01顾(1 sin x)x ;1解：lim(1 sin x)xlim(11 sin x)s1nxsin x(9) lim xsinxx 0sin x斛：lim xx 0elim：0sin xln xln x lim _10 sin xlimex 01xsin 2 x cosxlimx 0sin2xx cosxexsin x sin x lim0 x cosxln(1kx)10.设函数f (x)

10、解：由于函数在limx 0ln(1 kx),若f (x)在点x 0处可导，求k与f (0)的值。0处可导,kx lim 一 x 0 x因此函数在该点连续，由连续的概念有k f (0)1 ,即 k 11 cosx2x11.设函数f(x) k11一x x e 1解：函数连续定义,lim f (x)x 0limx 0(1xlimx 0ex 1 xx(ex 1)limx 0xe 1xxe 1 xelimx 0xxelim x 0 2 x按导数定义有ln(1 x) 1_X 1f (x) f (0)xln(1 x) x 1 x1f (0) lim - lim x lim2-lim1xlimx 0 x 0

11、x 0 x x 0 x x 0 2x x 0 2(1 x)x 0x 0 ,当k为何值时，f (x)在点x 0处连续。x 0lim f (x) lim f (x) f (0), x 0x 01 cosx 11lim f (x) lim 2 一，而 f (0) k lim f (x) 一;x 0x 0 x2x02i. 1.即当k 时，函数f (x)在x 0点连续。212.求下列函数的单调增减区间:，一一 2 一(1)y 3x6x 5；解：y 6x 6 0,有驻点x 1 ,由于当x 1时，y 0,此时函数单调减少;由于当x 1时，y 0,此时函数单调增加; y x4 2x2 2；解：y 4x3 4x

12、 4x(x2 1),令 y 0 ,有 x 0,x 1,x1 ,当x 1时，y 0,此时函数单调较少；当 1 x 0时，y 0,此时函数单调增加；当0 x 1时，y 0,此时函数单调较少；当 x 1时，y 0 ,此时函数单调增加2 x y :； 1 x2 c2解：y 2x(1 x)2x 2x x2 ,令y 0,有x 0,x2,此外有原函数知 x 1,(1 x) (1 x)当x 2时，y 0,此时函数单调增加；当 2 x 1时，y 0,此时函数单调减少;当1 x 0时，y 0,此时函数单调减少；当 x 0时，y 0,此时函数单调增加；13.证明函数y x ln(1 x2)单调增加。证明:y 14少

13、。,等号仅在x 1成立，所以函数y x ln(12x)在定义区间上为单调增加。14.证明函数y解：y cosx等号仅在孤立点sin x0,2n15.证明不等式:2、x证明:设 f(x)2.xx单调减少。(n 0, 1, 2L L )成立,所以函数y sin xx在定义域内为单调减少。1时，fx 1时,(x) 0,f (x)所以对一切x0,且16.证明：当x0时,解：设f(x) exf (x)所以0,ex所以0, f (x)x 0,exx0,e17.证明：当解：设f(x)x.0时,f (x)所以x3 1 (x 0,x x函数单调增加，因此1)f(1)f(x) f(1) 0;0 ,函数单调减少，因

14、此 f (x)1 ,都有 f (x) 0 ,即 26f(1)3 - x0;(x0, ff(x)ln(1 x)1(1 x)20, f(x)f(0)(x) 0，所以ln(1 x)x2 ,(1 x)f (x)，所以x0, f(x) f(0)当 x 0, f (x)0, f(x)f(0)f(x)0,即x 0 , ln(1 x)18.证明方程x33x 10在(0,1)内只有一个实根。证明：令f (x)x3 3x1, f (x)在0,1上连续，且 f (0) 1,f (1)由零点定理存在0,x1,1)(0,1),使f() 0,所以 是方程x3 3x 1 0在(0,1)内的一个根。又因为 f (x) 3x2

15、 3 3(x2 1),当 x (0,1)时 f(x)0 ,函数单调递减,当 x 时，f(x) f ( ) 0 ,当 x 时，f (x) f()0 ,所以在(0,1)内只有一个实根或用罗尔定理证明只有一个实根19.求下列函数的极值:(1)y x3 3x2 7；解：y 3x2 6x 3x(x 2),令 y 3x2 6x 3x(x2) 0,解出驻点为x 0;x 2,函数在定义(,0)(0, 2)2(2,)f (x)一一0f(x)单调增加极大7单调减小极小3单调增加域内的单调性与极值见图表所示:x(2)y2x1 x2 2(1 x)(12x)(1 x )x(,1)1(1,1)1(1,)f (x)极小极大

16、f(x)单调减小1单调增加1单调减少解：y,驻点为x 1,x1,函数的单调性与极值见表(3)y解：yxe x(2x),驻点为二阶导数为y ex / 2(x 4x2),显然 y (0) 2, y (2)4函数在x0点取极小值0,在x 2处取极大值2 ex3(x 2)2；2 一， 一 一 ，一 x(,2)2(2,)f (x)不存在f(x)单调增加极大3单调减少解：y一2一1,函数在x 2处不可导，以此点为界划分区间并给出函数单调性与极值。x3(x 2)3(5)y (x 1)3x2；示。5x 22解：函数导数为 y ,解出驻点为x -,不可导点为x 0,函数在各个区间的单调性见表格所 c 353x3

17、x(,0)0(0,1)_5 _25另)f (x)不存在0f(x)单调增加极大0单调减少极小 20 25单调增加(6)y3 x解：y(x 1)22 /x (x 3 ,驻点为x 0,x 3,不可导点为x 1 ,划分区间并判断增减性与极值 (x 1)x(,0)0(0,1)(1,3)3(3,)f (x)00f(x)单调增加无极 值单调增加单调减少极小27单调增加20 .设y ln(1 x2),求函数的极值，曲线的拐点。 2x解：y 5 0 ,解出 x 0, x 0, y 0 , y1 x22(1 x2),a2、2(1 x )x 0, y 0 , y ,极小值 f (0) 0x(,1)1(1,1)1(1

18、,)y0+0y凸ln2凹ln2凸0,解出x1,拐点(1,ln2), ( 1,ln2)21 .利用二阶导数，判断下列函数的极值： _ 2_(1)y (x 3) (x 2);解：y (3x 7)(x 3), y 2(3x 8),驻点：x x 3,3八一，7 4y 72 0,因此在x 一点函数取极大值一；x 3327y|x 3 2 0,因此在x 3点函数取极小值0； y 2ex e x解：y 竺，y 2ex ex,驻点为x , e2由于y x %2 2yli 0,因此在x旭处函数取得极小值 2及。x. in 222.曲线 y ax3bx2cxd过原点，在点(1,1)处有水平切线，且点(1,1)是该曲

19、线的拐点，求 a,b,c,d解：因为曲线y3 axbx2cxd过原点，有d 0,在点(1,1)处有水平切线， 点(1,1)是该曲线的拐点， 又因为点(1,1)在曲线上, 联立方程组解出a 1,b(x)b3,c3a 2b c6ax 2b,c d 1 3,d 00, f (1) 6a2b0,23.求下列函数在给定区间上的最大值与最小值:4_2_ _(1)y x 2x 5 2,2；解：y 4x3 4x 4x(x 1)(x 1),令 y0,x 1,x1 ,计算出驻点处和区间端点处所有的函数值为比较上述函数值，知最大值为y( 2) y(2)y( 2) 13;13, y(1)4, y(0) 5, y(1)

20、 4, y(2) 13,最小值为y( 1) y(1) 4。 y ln(x2 1)1,2;y( 1)2x-2，x 1ln 2, y(0)0,y(2)ln5，比较上述函数值,计算出驻点处和区间端点处所有的函数值为知最大值为y(2) ln5；最小值为y(0) 0(3)y12,1；解：y(x2)x(x 1)2令y 0 ,得驻点为x 0, x2，计算出驻点处和区间端点处所有的函数值为y( 2)4,y(0)知最大值为y(1 110,y( -) -,y(1)一,比较上述函数值,2 221y(1)；最小值为y(0) 0。2 y x G 0,4解：y0,函数单调增加，计算端点处函数值为y(0) 0, y(4)

21、6,知最大值为y(4) 6 ;最小值为y(0) 024.已知函数f (x) ax3 6ax2 b (a 0),在区间1,2上的最大值为3,最小值为 29,求a,b的值。解：f (x) 3ax2 12ax，令 f (x) 3ax2 12ax 3ax(x 4) 0,解出驻点为 x 0,x 4(舍),且 f ( 1) b 7a , f (0) b, f (2) b 16a因为 a 0,所以 f (0) f( 1) f(2)故f(0) b 3为最大值，f(2) b 16a为最小值，即f (2) b 16a29 ,解出a 2。25 .欲做一个底为正方形，容积为108m3的长方体开口容器，怎样做所用材料最

22、省?解：设底面正方形的边长为 x ,高为h ,则表面积为S x2 4xh , 2V又体积为V x2h ,有h二 x2x6, h 3小 c 2 4V2 432dS得S x x , xxdx即取底面边长为6,高为3时，做成的容器表面积最大。26 .欲用围墙围成面积为 216m2的一块矩形土地，并在正中间一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽 选取多大的尺寸，才能使所用建筑材料最省？解：所用的建筑材料为 L 3x 2y,其中面积xy 216,因此有L3x432xdL432 30,解出x 12,即当取宽为x 12米，长为ydxx18米时所用建筑材料最省。27 .某厂生产某种商品，其年销量为100万件，

23、每批生产需增加准备费1000元，而每件的库存费为 0.05元,如果年销售率是均匀的，且上批销售完成后，立即再生产下一批(此时商品库存数为批量的一半)，问应分几批生产，能使生产准备费及库存费之和最小？解：设100万件分x批生产，生产准备费及库存费之和为y ,则1 000 000y 1000x 0.05 1000x2x25 000y 1000 2 0 ，解出 x 5,x25 000x问5批生产，能使生产准备费及库存费之和最小。28 .确定下列曲线的凹向与拐点：23(1)y x x ；21斛：y 2x 3x , y 2 6x,令 y 0,x -3 y ln(1x2)；x13)1310)f (x)0f

24、(x)凹227小凸解：y-2xr,y2 2x2 , 令 y 0,x11 x (1 x )x(,1)1_(1,1)1(1,)f (x)00f(x)凸ln2拐点凹ln2拐点凸111K解：y x 3, y3 y x3；(4)y2x1 x22人一 -1-, 令y不存在点,x 035. xx(,0)0(0,)f (x)不存在f(x)凹0拐点凸_ 22_解：y2 2x4x(x3)7L2T2，y2 3(1 x )(1 x )(5)y xex；解：yex(1+x), yex(2+x),令 y 0, x= 2令 y 0,x 0, x .3x(,拈也(石0)0（0,五）(G)f (x)000f(x)凸百 2 拐点

25、凹0拐点凸员 2 拐点凹x(,2)2(2,)f (x)0f(x)凸22 e拐点凹解：y e x, y e x 0,所以y e x在(，)内是凹的，无拐点。29.某化工厂日产能力最高为 1000吨，每天的生产总成本 C (单位：元)是日产量 x (单位：吨)的函数:C C(x) 1000 7x 50、&x 0,1000(1)求当日产量为100吨时的边际成本；(2)求当日产量为100吨时的平均单位成本。2525解：(1)边际成本 C (x) 7 -5, C (100) 7 9.5 、.x105022C(x) 100050C(100) 1000(2)平均单位成本 AC(x) (-)7AC(100)1

26、0x x. x100100130.生广x单位某广品的总成本 C为x的函数：C C(x) 1100 x2,求(1)生产900单位时的总1200成本和平均单位成本；(2)生产900单位到1000单位时的总成本的平均变化率；(3)生产900单位和1000 单位时的边际成本。12解：(1) C(900) 1100 9002 1775,1200C(900)1775 197900900(2) C(1000) C(900) 1 581000 900(3)边际成本为C (x)旦， 600-900-1000C (900)1.5, C (1000)1.67600600231.设生广x单位某广品，总收由 R为x的函

27、数：R R(x) 200x 0.01x ,求：生广50单位广品时的 总收益、平均收益和边际收益。解：总收益 R(50) 200 50 0.01 2500 9975 ,平均U益 Rx) 200 0.01x , x边际U益 R (x) 200 0.02x ,R(50)32.生产x单位某种商品的利润是x的函数：L(x) 5000 x 0.00001 x2,问生产多少单位时获得的利润最大？解：L (x) 1 0.000 02x=0,解出 x 50 000所以生产50 000个单位时，获得的利润最大？33.某厂每批生产某种商品 x单位的费用为C(x) 5x 200,得到的收益是 R(x) 10x 0.0

28、1x2,问每批 生产多少单位时才能使利润最大?2解：L(x) R(x) C(x) 5x 0.01x200,令 L (x) 5 0.02x=0 ,解出 x 250所以每批生产250个单位时才能使利润最大。34.某商品的价格P与需求量、平均Q的关系为P 10 Q,求(1)求需求量为20及30时的总收益R5收益R及边际收益R ; (2)Q为多少时总收益最大?解：总收益函数R(Q)QPQ (10 q)Q=10Q5Q25平均收益函数R(Q) R 10 Q, Q5边际收益函数- 2QR(Q)=10 一,5(1) R(20)R(20)400900200 = 120,R(30) 300 二 120,55典 1

29、0 型二6,R(30) R3s 10 30=4, 2053054060R (20)=10=2,R (30)=10 = 2,55(2) R(Q)=1035.某工厂生产某产品,2Q 一八 =0,解出Q=25时总收益最大。5日总成本为C元，其中固定成本为200元，每多生产一单位产品,成本增加10元。该商品的需求函数为 Q 50 2P ,求Q为多少时，工厂日总利润 L最大?解：成本函数 C C(Q) 200 10Q ,50 QQ2L(Q) PQ C(Q) Q (200 10Q) 15Q - 200,22令 L (Q) 15 Q=0,解得 Q=15, 所以Q=15 ,总利润L最大。高二数学(文)选修1-1导数及其应用回扣练习一、选择题1.下列求导运算正确的是(,11A、(x-)1xx(log 2 x)四1x In 2Cn (x2 cosx) = - 2xsin x(3x)四 3x log 3 e22、已知函数f (x)=ax+c,且f=2,则a的值为()A. 0 B .般 C .1 D . 13 .函数y= x3+ x的递增区间是()A. (0,) B. (,1)C .(,) D.(1,)4 . (2009年