经济学概率论与数理统计课后习题答案下实用资料

1、习题三1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表：XY01231003002.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表：XY0123000102P(0黑,2红,2白)=03.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为F（x，y）=求二维随机变量（X，Y）在长方形域内的概率.【解】如图题3图说明：也可先求出密度函数，再求概率。4.设随机变量（X，Y）的分布密度f（x

2、，y）=求：（1）常数A；（2）随机变量（X，Y）的分布函数；（3）P0X<1，0Y<2.【解】（1）由得A=12（2）由定义，有(3) 5.设随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=（1）确定常数k；（2）求PX1，Y3；（3）求PX<1.5；（4）求PX+Y4.【解】（1）由性质有故（2）(3) (4) 题5图6.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，0.2）上服从均匀分布，Y的密度函数为fY（y）=求：（1）X与Y的联合分布密度；（2）PYX.题6图【解】（1）因X在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X的密度函数为而所以(2) 7.设二维随机变量（X，Y）的联

3、合分布函数为F（x，y）=求（X，Y）的联合分布密度.【解】8.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=求边缘概率密度.【解】题8图题9图9.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=求边缘概率密度.【解】题10图10.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=（1）试确定常数c；（2）求边缘概率密度.【解】（1）得.(2) 11.设随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=求条件概率密度fYX（yx），fXY（xy）.题11图【解】所以12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X，最大的号码为Y.（1）求X与Y的联合概率分布；

4、（2）X与Y是否相互独立？【解】（1）X与Y的联合分布律如下表YX345120300(2) 因故X与Y不独立13.设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为XY2 5 80.40.80.15 0.30 0.350.05 0.12 0.03（1）求关于X和关于Y的边缘分布；（2）X与Y是否相互独立？【解】（1）X和Y的边缘分布如下表XY258PY=yi0.40.150.300.350.80.80.050.120.030.20.20.420.38(2) 因故X与Y不独立.14.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布，Y的概率密度为fY（y）=（1）求X和Y的联合概率密度；（2）

5、设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0，试求a有实根的概率.【解】（1）因故题14图(2) 方程有实根的条件是故X2Y，从而方程有实根的概率为：15.设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设X和Y相互独立，且服从同一分布，其概率密度为f（x）=求Z=X/Y的概率密度.【解】如图,Z的分布函数(1) 当z0时，（2）当0<z<1时，（这时当x=1000时,y=）(如图a)题15图(3) 当z1时，（这时当y=103时，x=103z）（如图b）即故16.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N（160，202）分布.随机地选取4 只，求其中没有一只寿命小于18

6、0的概率.【解】设这四只寿命为Xi(i=1,2,3,4)，则XiN（160，202），从而17.设X，Y是相互独立的随机变量，其分布律分别为PX=k=p（k），k=0，1，2，PY=r=q（r），r=0，1，2，.证明随机变量Z=X+Y的分布律为PZ=i=，i=0，1，2，.【证明】因X和Y所有可能值都是非负整数，所以于是18.设X，Y是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n，p的二项分布.证明Z=X+Y服从参数为2n，p的二项分布.【证明】方法一：X+Y可能取值为0，1，2，2n.方法二：设1,2,n;1,2,，n均服从两点分布（参数为p），则X=1+2+n，Y=1+2+n,X+Y=1+2+

7、n+1+2+n,所以，X+Y服从参数为（2n,p)的二项分布.19.设随机变量（X，Y）的分布律为XY0 1 2 3 4 501230 0.01 0.03 0.05 0.07 0.090.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.080.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.060.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05 (1) 求PX=2Y=2，PY=3X=0；（2）求V=max（X，Y）的分布律；（3）求U=min（X，Y）的分布律；（4）求W=X+Y的分布律.【解】（1）（2）所以V的分布律为V=max(X,Y)012345P00.040.160.28

8、0.240.28(3) 于是U=min(X,Y)0123P0.280.300.250.17(4)类似上述过程，有W=X+Y012345678P00.020.060.130.190.240.190.120.0520.雷达的圆形屏幕半径为R，设目标出现点（X，Y）在屏幕上服从均匀分布.（1）求PY0YX；（2）设M=maxX，Y，求PM0.题20图【解】因（X，Y）的联合概率密度为（1）(2) 21.设平面区域D由曲线y=1/x及直线y=0，x=1,x=e2所围成，二维随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，求（X，Y）关于X的边缘概率密度在x=2处的值为多少？题21图【解】区域D的面积为（X,

9、Y）的联合密度函数为（X，Y）关于X的边缘密度函数为所以22.设随机变量X和Y相互独立，下表列出了二维随机变量（X，Y）联合分布律及关于X和Y的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处. XYy1y2y3PX=xi=pix1x21/81/8PY=yj=pj1/61【解】因,故从而而X与Y独立，故,从而即：又即从而同理又,故.同理从而故YX123.设某班车起点站上客人数X服从参数为(>0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p（0<p<1），且中途下车与否相互独立，以Y表示在中途下车的人数，求：（1）在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率；（2）二维随机

10、变量（X，Y）的概率分布.【解】(1) .(2) 24.设随机变量X和Y独立，其中X的概率分布为X，而Y的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y的概率密度g(u). 【解】设F（y）是Y的分布函数，则由全概率公式，知U=X+Y的分布函数为由于X和Y独立，可见由此，得U的概率密度为25. 25. 设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间0,3上的均匀分布，求PmaxX,Y1.解：因为随即变量服从0，3上的均匀分布，于是有因为X，Y相互独立，所以推得.26. 设二维随机变量（X，Y）的概率分布为XY -1 0 1 -101a 0 0.20.1 b 0.20 0.1 c其中a,b,c为常数，且X的数

11、学期望E(X)= -0.2,PY0|X0=0.5，记Z=X+Y.求：（1）a,b,c的值；（2）Z的概率分布；（3）PX=Z. 解 (1) 由概率分布的性质知，a+b+c+0.6=1 即a+b+c = 0.4.由，可得.再由,得.解以上关于a，b，c的三个方程得.(2) Z的可能取值为-2，-1，0，1，2，即Z的概率分布为Z-2 -1 0 1 2P0.2 0.1 0.3 0.3 0.1(3) .习题四1.设随机变量X的分布律为X -1 0 1 2P1/8 1/2 1/8 1/4求E（X），E（X2），E（2X+3）.【解】(1) (2) (3) 2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出

12、的5个产品中的次品数的数学期望、方差.【解】设任取出的5个产品中的次品数为X，则X的分布律为X012345P故3.设随机变量X的分布律为X -1 0 1Pp1p2p3且已知E（X）=0.1,E(X2)=0.9,求P1，P2，P3.【解】因,又,由联立解得4.袋中有N只球，其中的白球数X为一随机变量，已知E（X）=n，问从袋中任取1球为白球的概率是多少？【解】记A=从袋中任取1球为白球，则5.设随机变量X的概率密度为f（x）=求E（X），D（X）.【解】故6.设随机变量X，Y，Z相互独立，且E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列随机变量的数学期望.（1）U=2X+3Y+1；（2）V=

13、YZ -4X.【解】(1) (2) 7.设随机变量X，Y相互独立，且E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D（Y）=16，求E（3X -2Y），D（2X -3Y）.【解】(1) (2) 8.设随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=试确定常数k，并求E（XY）.【解】因故k=2.9.设X，Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为fX（x）=fY（y）=求E（XY）.【解】方法一：先求X与Y的均值由X与Y的独立性，得方法二：利用随机变量函数的均值公式.因X与Y独立，故联合密度为于是10.设随机变量X，Y的概率密度分别为fX（x）=fY（y）=求（1）E（X+Y）;（2）E（2X -3Y2）

14、.【解】从而(1)(2)11.设随机变量X的概率密度为f（x）=求（1）系数c;（2）E（X）;（3）D（X）.【解】(1) 由得.(2) (3) 故12.袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出（取出后不放回），设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量X，求E（X）和D（X）.【解】设随机变量X表示在取得合格品以前已取出的废品数，则X的可能取值为0，1，2，3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知于是，得到X的概率分布表如下：X0123P0.7500.2040.0410.005由此可得13.一工厂生产某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，概率密

15、度为f（x）=为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备，工厂获利100元，而调换一台则损失200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望.【解】厂方出售一台设备净盈利Y只有两个值：100元和 -200元故 (元).14.设X1，X2，Xn是相互独立的随机变量，且有E（Xi）=，D（Xi）=2，i=1，2，n，记，S2=.（1）验证=， =；（2）验证S2=；（3）验证E（S2）=2.【证】(1) (2) 因故.(3) 因,故同理因,故.从而15.对随机变量X和Y，已知D（X）=2，D（Y）=3，Cov(X,Y)= -1,计算：Cov（3X -2Y+1，X+4Y

16、 -3）.【解】(因常数与任一随机变量独立，故Cov(X,3)=Cov(Y,3)=0,其余类似).16.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=试验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的.【解】设.同理E(Y)=0.而,由此得,故X与Y不相关.下面讨论独立性，当|x|1时，当|y|1时，.显然故X和Y不是相互独立的.17.设随机变量（X，Y）的分布律为XY -1 0 1 -1011/8 1/8 1/81/8 0 1/81/8 1/8 1/8验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的.【解】联合分布表中含有零元素，X与Y显然不独立，由联合分布律易求得X，Y及XY的分布律，其分布律

17、如下表X -101PY -101PXY -101P由期望定义易得E（X）=E（Y）=E（XY）=0.从而E(XY)=E(X)·E(Y),再由相关系数性质知XY=0,即X与Y的相关系数为0，从而X和Y是不相关的.又从而X与Y不是相互独立的.18.设二维随机变量（X，Y）在以（0，0），（0，1），（1，0）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求Cov（X，Y），XY.【解】如图，SD=，故（X，Y）的概率密度为题18图从而同理而所以.从而19.设（X，Y）的概率密度为f（x，y）=求协方差Cov（X，Y）和相关系数XY.【解】从而同理又故20.已知二维随机变量（X，Y）的协方差矩阵为，试

18、求Z1=X -2Y和Z2=2X -Y的相关系数.【解】由已知知：D(X)=1,D(Y)=4,Cov(X,Y)=1.从而故21.对于两个随机变量V，W，若E（V2），E（W2）存在，证明：E（VW）2E（V2）E（W2）.这一不等式称为柯西许瓦兹（Couchy -Schwarz）不等式.【证】令显然可见此关于t的二次式非负，故其判别式0，即故22.假设一设备开机后无故障工作的时间X服从参数=1/5的指数分布.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数F（y）. 【解】设Y表示每次开机后无故障的工作时间，由题设知设备首次发生

19、故障的等待时间XE(),E(X)=5.依题意Y=min(X,2).对于y<0,f(y)=PYy=0.对于y2,F(y)=P(Xy)=1.对于0y<2,当x0时，在(0,x)内无故障的概率分布为PXx=1 -e -x,所以F(y)=PYy=Pmin(X,2)y=PXy=1 -e -y/5.23.已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放乙箱后，求：（1）乙箱中次品件数Z的数学期望；（2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率. 【解】（1）Z的可能取值为0，1，2，3，Z的概率分布为, Z=k0123Pk因此，(2) 设

20、A表示事件“从乙箱中任取出一件产品是次品”，根据全概率公式有24.假设由自动线加工的某种零件的内径X（毫米）服从正态分布N（,1），内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品.销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润T（单位：元）与销售零件的内径X有如下关系T=问：平均直径取何值时，销售一个零件的平均利润最大？【解】故得两边取对数有解得(毫米)由此可得，当u=10.9毫米时，平均利润最大.25.设随机变量X的概率密度为f(x)=对X独立地重复观察4次，用Y表示观察值大于/3的次数，求Y2的数学期望.（2002研考）【解】令则.因为及,所以,从而26.两台同样的自动记录仪，每台

21、无故障工作的时间Ti(i=1,2)服从参数为5的指数分布，首先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自动开启.试求两台记录仪无故障工作的总时间T=T1+T2的概率密度fT(t)，数学期望E（T）及方差D（T）. 【解】由题意知：因T1,T2独立，所以fT(t)=f1(t)*f2(t).当t<0时，fT(t)=0;当t0时，利用卷积公式得故得由于Ti E(5),故知E(Ti)=,D(Ti)=(i=1,2)因此，有E(T)=E(T1+T2)=.又因T1,T2独立，所以D（T）=D（T1+T2）=.27.设两个随机变量X，Y相互独立，且都服从均值为0，方差为1/2的正态分布，求随机变量|X

22、-Y|的方差. 【解】设Z=X -Y，由于且X和Y相互独立，故ZN（0，1）.因而，所以.28.某流水生产线上每个产品不合格的概率为p(0<p<1)，各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格产品时，即停机检修.设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为X，求E（X）和D（X）. 【解】记q=1 -p,X的概率分布为PX=i=qi -1p,i=1,2,，故又所以题29图29.设随机变量X和Y的联合分布在点（0，1），（1，0）及（1，1）为顶点的三角形区域上服从均匀分布.（如图），试求随机变量U=X+Y的方差. 【解】D(U)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)=D(

23、X)+D(Y)+2E(XY) -E(X)·E(Y).由条件知X和Y的联合密度为从而因此同理可得于是30.设随机变量U在区间 -2,2上服从均匀分布，随机变量X=Y=试求（1）X和Y的联合概率分布；（2）D（X+Y）. 【解】（1）为求X和Y的联合概率分布，就要计算（X，Y）的4个可能取值( -1, -1),( -1,1),(1, -1)及(1,1)的概率.Px= -1,Y= -1=PU -1,U1PX= -1,Y=1=PU -1,U>1=P=0,PX=1,Y= -1=PU> -1,U1.故得X与Y的联合概率分布为.(2) 因,而X+Y及（X+Y）2的概率分布相应为, .从

24、而所以31.设随机变量X的概率密度为f(x)=，（ -<x<+）(1) 求E（X）及D（X）；（2）求Cov(X,|X|),并问X与|X|是否不相关？（3）问X与|X|是否相互独立，为什么？【解】(1)(2) 所以X与|X|互不相关.(3) 为判断|X|与X的独立性，需依定义构造适当事件后再作出判断，为此，对定义域 -<x<+中的子区间（0,+）上给出任意点x0，则有所以故由得出X与|X|不相互独立.32.已知随机变量X和Y分别服从正态分布N（1，32）和N（0，42），且X与Y的相关系数XY= -1/2，设Z=.（1）求Z的数学期望E（Z）和方差D（Z）；（2）求X与

25、Z的相关系数XZ；（3）问X与Z是否相互独立，为什么？【解】(1) 而所以(2) 因所以(3) 由，得X与Z不相关.又因，所以X与Z也相互独立.33.将一枚硬币重复掷n次，以X和Y表示正面向上和反面向上的次数.试求X和Y的相关系数. 【解】由条件知X+Y=n，则有D（X+Y）=D（n）=0.再由XB(n,p),YB(n,q)，且p=q=,从而有所以故= -1.34.设随机变量X和Y的联合概率分布为YX -1 0 1010.07 0.18 0.150.08 0.32 0.20试求X和Y的相关系数. 【解】由已知知E(X)=0.6,E(Y)=0.2，而XY的概率分布为YX -101P0.080.7

26、20.2所以E（XY）= -0.08+0.2=0.12Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)·E(Y)=0.12 -0.6×0.2=0从而=035.对于任意两事件A和B，0<P(A)<1，0<P(B)<1,则称=为事件A和B的相关系数.试证：（1）事件A和B独立的充分必要条件是=0；（2） |1. 【证】（1）由的定义知，=0当且仅当P(AB) -P(A)·P(B)=0.而这恰好是两事件A、B独立的定义，即=0是A和B独立的充分必要条件.(2) 引入随机变量X与Y为由条件知，X和Y都服从0 -1分布，即从而有E(X)=P(A),E(Y)=

27、P(B),D(X)=P(A)·P(),D(Y)=P(B)·P(),Cov(X,Y)=P(AB) -P(A)·P(B)所以，事件A和B的相关系数就是随机变量X和Y的相关系数.于是由二元随机变量相关系数的基本性质可得|1.36. 设随机变量X的概率密度为fX(x)=令Y=X2，F（x,y）为二维随机变量（X，Y）的分布函数，求：(1) Y的概率密度fY(y)；(2) Cov(X,Y);(3). 解： (1) Y的分布函数为.当y0时，；当0y1时，；当1y<4时，；当y4时，.故Y的概率密度为(2) ,故 Cov(X,Y) =.(3) .习题五1.一颗骰子连续掷

28、4次，点数总和记为X.估计P10<X<18.【解】设表每次掷的点数，则从而又X1,X2,X3,X4独立同分布.从而所以2. 假设一条生产线生产的产品合格率是0.8.要使一批产品的合格率达到在76%与84%之间的概率不小于90%，问这批产品至少要生产多少件？【解】令而至少要生产n件，则i=1,2,n,且X1，X2，Xn独立同分布，p=PXi=1=0.8.现要求n,使得即由中心极限定理得整理得查表n268.96, 故取n=269.3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为0.7，假定各机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能才可以95%

29、的概率保证不致因供电不足而影响生产.【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m，而m要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m的概率为95%,于是我们只要供应15m单位电能就可满足要求.令X表同时开动机床数目，则XB（200，0.7）,查表知,m=151.所以供电能151×15=2265（单位）.4. 一加法器同时收到20个噪声电压Vk（k=1，2，20），设它们是相互独立的随机变量，且都在区间（0，10）上服从均匀分布.记V=，求PV105的近似值.【解】易知:E(Vk)=5,D(Vk)=,k=1,2,20由中心极限定理知，随机变量于是即有PV&g

30、t;1050.3485. 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m.现从这批木柱中随机地取出100根，问其中至少有30根短于3m的概率是多少？【解】设100根中有X根短于3m，则XB（100，0.2）从而6. 某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8.医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言.（1）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8，问接受这一断言的概率是多少？（2）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.7，问接受这一断言的概率是多少？【解】令(1) XB(100,0.8)，(2) XB

31、(100,0.7)，7. 用Laplace中心极限定理近似计算从一批废品率为0.05的产品中，任取1000件，其中有20件废品的概率.【解】令1000件中废品数X，则p=0.05,n=1000,XB(1000,0.05)，E(X)=50，D(X)=47.5.故8. 设有30个电子器件.它们的使用寿命T1，T30服从参数=0.1单位：（小时）-1的指数分布，其使用情况是第一个损坏第二个立即使用，以此类推.令T为30个器件使用的总计时间，求T超过350小时的概率.【解】故9. 上题中的电子器件若每件为a元，那么在年计划中一年至少需多少元才能以95%的概率保证够用（假定一年有306个工作日，每个工作

32、日为8小时）.【解】设至少需n件才够用.则E(Ti)=10，D(Ti)=100，E(T)=10n，D(T)=100n.从而即故所以需272a元.10. 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、1 名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05,0.8,0.15.若学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长数相与独立，且服从同一分布.（1）求参加会议的家长数X超过450的概率？（2）求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率.【解】（1）以Xi(i=1,2,400)记第i个学生来参加会议的家长数.则Xi的分布律为Xi012P0.050.80.15易知E（

33、Xi=1.1）,D(Xi)=0.19,i=1,2,400.而,由中心极限定理得于是(2) 以Y记有一名家长来参加会议的学生数.则YB(400,0.8)由拉普拉斯中心极限定理得11. 设男孩出生率为0.515，求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率？【解】用X表10000个婴儿中男孩的个数，则XB（10000，0.515）要求女孩个数不少于男孩个数的概率，即求PX5000. 由中心极限定理有12. 设有1000个人独立行动，每个人能够按时进入掩蔽体的概率为0.9.以95%概率估计，在一次行动中：（1）至少有多少个人能够进入？（2）至多有多少人能够进入？【解】用Xi表第i个人能够按时进入掩

34、蔽体（i=1,2,1000）.令Sn=X1+X2+X1000.(1) 设至少有m人能够进入掩蔽体，要求PmSn10000.95，事件由中心极限定理知：从而故所以m=900-15.65=884.35884人(2) 设至多有M人能进入掩蔽体，要求P0SnM0.95.查表知=1.65,M=900+15.65=915.65916人.13. 在一定保险公司里有10000人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0.006,死亡者其家属可向保险公司领得1000元赔偿费.求：（1）保险公司没有利润的概率为多大；（2）保险公司一年的利润不少于60000元的概率为多大？【解】设X为在一年中参

35、加保险者的死亡人数，则XB（10000，0.006）.(1) 公司没有利润当且仅当“1000X=10000×12”即“X=120”.于是所求概率为(2) 因为“公司利润60000”当且仅当“0X60”于是所求概率为14. 设随机变量X和Y的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5试根据契比雪夫不等式给出P|X-Y|6的估计. （2001研考）【解】令Z=X-Y，有所以15. 某保险公司多年统计资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X表示在随机抽查的100个索赔户中，因被盗向保险公司索赔的户数.（1）写出X的概率分布；（2）利用中心极限定理，求被盗索赔户不少于14户且

36、不多于30户的概率近似值.（1988研考）【解】（1）X可看作100次重复独立试验中，被盗户数出现的次数，而在每次试验中被盗户出现的概率是0.2，因此，XB(100,0.2)，故X的概率分布是(2) 被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率即为事件14X30的概率.由中心极限定理，得16. 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的.假设每箱平均重50千克，标准差为5千克，若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977.【解】设Xi（i=1,2,n）是装运i箱的重量（单位：千克），n为所求的箱数，由条件知，可把X1，X2，

37、Xn视为独立同分布的随机变量，而n箱的总重量Tn=X1+X2+Xn是独立同分布随机变量之和，由条件知：依中心极限定理，当n较大时，,故箱数n取决于条件因此可从解出n<98.0199,即最多可装98箱.习题六1.设总体XN（60，152），从总体X中抽取一个容量为100的样本，求样本均值与总体均值之差的绝对值大于3的概率.【解】=60,2=152,n=100即2.从正态总体N（4.2，52）中抽取容量为n的样本，若要求其样本均值位于区间（2.2,6.2）内的概率不小于0.95，则样本容量n至少取多大？【解】则(0.4)=0.975，故0.4>1.96,即n>24.01，所以n至

38、少应取253.设某厂生产的灯泡的使用寿命XN（1000，2）（单位：小时），随机抽取一容量为9的样本，并测得样本均值及样本方差.但是由于工作上的失误，事后失去了此试验的结果，只记得样本方差为S2=1002，试求P（1062）.【解】=1000,n=9，S2=10024.从一正态总体中抽取容量为10的样本，假定有2%的样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上，求总体的标准差.【解】，由P(|-|>4)=0.02得P|Z|>4(/n)=0.02,故,即查表得所以5.设总体XN（，16），X1，X2，X10是来自总体X的一个容量为10的简单随机样本，S2为其样本方差，且P（S2a）=0.1

39、，求a之值.【解】查表得所以6.设总体X服从标准正态分布，X1，X2，Xn是来自总体X的一个简单随机样本，试问统计量Y=，n5服从何种分布？【解】且与相互独立.所以7.求总体XN（20，3）的容量分别为10，15的两个独立随机样本平均值差的绝对值大于0.3的概率.【解】令的容量为10的样本均值，为容量为15的样本均值,则N(20,310),N(20,)，且与相互独立.则那么所以8.设总体XN（0，2）,X1,X10,X15为总体的一个样本.则Y=服从分布,参数为. 【解】i=1,2,15.那么且与相互独立,所以所以YF分布，参数为（10,5）.9.设总体XN（1,2）,总体YN(2,2),X1

40、,X2,和Y1，Y2，分别来自总体X和Y的简单随机样本，则=. 【解】令则又那么10.设总体XN（,2），X1，X2，X2n（n2）是总体X的一个样本，令Y=，求EY. 【解】令Zi=Xi+Xn+i, i=1,2,n.则ZiN(2,22)(1in),且Z1,Z2,Zn相互独立.令则故那么所以11.设总体X的概率密度为f(x)= (-<x<+),X1，X2，Xn为总体X的简单随机样本，其样本方差为S2，求E(S2).解：由题意，得于是所以.习题七1.设总体X服从二项分布b（n，p），n已知，X1，X2，Xn为来自X的样本，求参数p的矩法估计.【解】因此np=所以p的矩估计量2.设总体

41、X的密度函数f（x,）=X1，X2，Xn为其样本，试求参数的矩法估计.【解】令E(X)=A1=,因此=所以的矩估计量为3.设总体X的密度函数为f（x，），X1，X2，Xn为其样本，求的极大似然估计.（1）f（x，）=（2）f（x，）=【解】（1）似然函数由知所以的极大似然估计量为.(2) 似然函数,i=1,2,n.由知所以的极大似然估计量为4.从一批炒股票的股民一年收益率的数据中随机抽取10人的收益率数据，结果如下：序号12345678910收益率0.01-0.11-0.12-0.09-0.13-0.30.1-0.09-0.1-0.11求这批股民的收益率的平均收益率及标准差的矩估计值.【解】由知,即有于是所以这批股民的平均收益率的矩估计值及标准差的矩估计值分别为-0.94和0.966.5.随机变量X服从0，上的均匀分布，今得X的样本观测值：0.9,0.8,0.2,0.8,0.4,0.4,0.7,0.6，求的矩法估计和极大似然估计，它们是否为的无偏估计.【解】(1) ,令，则且,所以的矩估计值为且是一个无偏估计.(2) 似然函数,i=1,2,8.显然L=L()(>0)，那么时，L=L()最大,所以的极大似然估计值=0.9.因为E()=E(),所以=不是的无偏计.6.设X1，X2，Xn是取自总体X的样本，E（X）=，D（X