立体几何中的向量方法解析

1、第七节立体几何中的向量方法1.理解直线的方向向量与平面的法向量；2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系；3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理；4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.1.直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量直线l上的向量e或与e共线的向量叫做直线l的方向向量，显然一条直线的方向向量有无数个.(2)平面的法向量如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作n，此时向量n叫做平面的法向量.显然一个平面的法向量也有无数个，且它们

2、是共线向量.(3)设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面，的法向量分别为u，v，则lmabakb，kR；lmaba·b0；laua·u0；lauaku，kR；uvukv，kR；uvu·v0.2.空间向量与空间角的关系(1)两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a，b的方向向量分别为a，b，其夹角为，则cos|cos|(其中为异面直线a，b所成的角).的取值范围是.(2)直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，两向量e与n的夹角为，则有sin|cos|.的取值范围是.(3)求二面角的大小如图甲，AB、CD是

3、二面角l的两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小，.如图乙、丙，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足coscosn1，n2或cosn1，n2.的取值范围是0，.3.空间向量与距离的关系(1)点到平面的距离如图，设AB为平面的一条斜线段，n为平面的法向量，则点B到平面的距离d.(2)线面距、面面距均可转化为点面距进行求解.1.判断下列结论的正误.(正确的打“”，错误的打“×”)(1)直线的方向向量是唯一确定的.()(2)平面的单位法向量是唯一确定的.()(3)若空间向量a平行于平面，则a所在直线与平面平行.()(4)直线的方向向量和平面的法向量所成的

4、角就是直线与平面所成的角.()(5)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×2.已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则下列向量是平面ABC法向量的是()A.(1,1,1)B.(1，1,1)C.D.解析设n(x，y，z)为平面ABC的法向量，则化简得xyz.故选C.答案C3.若平面的一个法向量为(1,2,0)，平面的一个法向量为(2，1,0)，则平面和平面的位置关系是()A.平行B.相交但不垂直C.垂直D.重合解析由(1,2,0)·(2，1,0)0，可知平面平面

5、，选C.答案C4.如图所示，若M，N分别是棱长为1的正方体ABCDABCD的棱AB，BB的中点，则直线AM与CN所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析以A为原点，所在方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，M，C(1,1,0)，N，所以，所以cos，.答案D5.设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是()A.B. C.D.解析如图建立坐标系.则D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，B(2,2,0)，(2,0,2)，(2,2,0)，设平面A1BD的法向量n(x，y，z)，则即令z1，得n(1,1,1).D1到平面

6、A1BD的距离d.故选D.答案D6.正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，则直线BC与平面PAC所成的角是_.解析如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设ODSOOAOBOCa，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a,0,0)，P.则(2a,0,0)，(a，a,0).设平面PAC的法向量为n，可求得n(0,1,1)，则cos，n.，n60°，直线BC与平面PAC所成的角为90°60°30°.答案30°考点一 向量法证明垂直与平行关系互动型如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等腰

7、直角三角形，BAC90°，且ABAA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点.求证：(1)DE平面ABC；(2)B1F平面AEF.证明如图建立空间直角坐标系Axyz，令ABAA14，则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4).(1)取AB中点为N，则N(2,0,0)，C(0,4,0)，D(2,0,2)，(2,4,0)，(2,4,0)，.DENC，又NC在平面ABC内，故DE平面ABC.(2)(2,2，4)，(2，2，2)，(2,2,0)，·(2)×22×(2)(4)×(2)0，则，B1FE

8、F，·(2)×22×2(4)×00.，即B1FAF，又AFFEF，B1F平面AEF.(1)用向量证明平行的方法线线平行：证明两直线的方向向量共线.线面平行：a.证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；b.证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行.面面平行：a.证明两平面的法向量为共线向量；b.转化为线面平行、线线平行问题.(2)用向量证明垂直的方法线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零.线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示.面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判

9、定定理用向量表示.(2016·青岛模拟)如图，在直三棱柱ADEBCF中，面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直，M为AB的中点，O为DF的中点.求证：(1)OM平面BCF；(2)平面MDF平面EFCD.证明由题意，AB，AD，AE两两垂直，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系.设正方形边长为1，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，F(1,0,1)，M，O.(1)，(1,0,0)，·0，.棱柱ADEBCF是直三棱柱，AB平面BCF，是平面BCF的一个法向量，且OM平面BCF，OM平面BCF.(2)设平面MDF与平面EFCD的一个法向

10、量分别为n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2).(1，1,1)，(1,0,0)，由n1·n1·0，得解得令x11，则n1.同理可得n2(0,1,1).n1·n20，平面MDF平面EFCD.考点二向量法求空间角共研型角度1：向量法求异面直线所成的角(2016·西安模拟)直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，则BM与AN所成角的余弦值为()A.B. C.D.解析建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，设BC2，则B(0,2,0)，A(2,0,0)，M(1,1,2)，N(1,0,2

11、)，所以(1，1,2)，(1,0,2)，故BM与AN所成角的余弦值cos.答案C角度2：向量法求斜线与平面所成的角(2016·全国卷)如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点.(1)证明：MN平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.解(1)证明：由已知得AMAD2.取BP的中点T，连接AT，TN.由N为PC的中点知TNBC，TNBC2.又ADBC，故TNAM，TNAM，所以四边形AMNT为平行四边形，所以MNAT.因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.(2)取B

12、C的中点E，连接AE.由ABAC得AEBC，从而AEAD，且AE.以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由题意知，P(0,0,4)，M(0,2,0)，C(，2,0)，N，(0,2，4)，.设n(x，y，z)为平面PMN的法向量，则即可取n(0,2,1).于是直线AN与平面PMN所成角的正弦值为|cosn，|.角度3：向量法求二面角(2016·全国卷)如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF2FD，AFD90°，且二面角DAFE与二面角CBEF都是60°.(1)证明：平面ABEF平面EFDC；(2

13、)求二面角EBCA的余弦值.解(1)证明：由已知可得AFDF，AFFE，所以AF平面EFDC.又AF平面ABEF，故平面ABEF平面EFDC.(2)过D作DGEF，垂足为G，由(1)知DG平面ABEF.以G为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz.由(1)知DFE为二面角DAFE的平面角，故DFE60°，则DF2，DG，可得A(1,4,0)，B(3,4,0)，E(3,0,0)，D(0,0，).由已知，ABEF，所以AB平面EFDC.又平面ABCD平面EFDCCD，故ABCD，CDEF.由BEAF，可得BE平面EFDC，所以CEF为二面角CBEF

14、的平面角，故CEF60°.从而可得C(2，0，).所以(1,0，)，(0,4,0)，(3，4，)，(4,0,0).设n(x，y，z)是平面BCE的法向量，则即所以可取n(3,0，).设m是平面ABCD的法向量，则同理可取m(0，4).所以cosn，m.故二面角EBCA的余弦值为.求空间角的向量方法(1)求异面直线所成的角利用直线的方向向量将异面直线所成的角转化成向量所成的角，即若异面直线a，b的方向向量为a，b，所成的角为，则cos.(2)求斜线与平面所成的角分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(锐角或直角时)或其补角(钝角时).通过平面的法向量来

15、求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线与平面所成的角.(3)求二面角分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小.分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.1.角度1如图所示，已知正方体ABCDA1B1C1D1，E，F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角是_.解析以D为原点，分别以射线DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴的非负半轴建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为1，则

16、D(0,0,0)，C(0,1,0)，E，F，(0,1,0)，cos，135°，异面直线EF和CD所成的角是45°.答案45°2.角度2(2016·江西九校联考)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC是边长为2的等边三角形，过A1C作平面A1CD平行于BC1，交AB于点D.(1)求证：CDAB；(2)若四边形BCC1B1是正方形，且A1D，求直线A1D与平面CBB1C1所成角的正弦值.解(1)证明：连接AC1，设AC1与A1C相交于点E，连接DE，则E为AC1的中点.BC1平面A1CD，平面A1CD平面ABC1DE，DEBC1，D为AB的中点.又A

17、BC为正三角形，CDAB.(2)AD2A1A25A1D2，A1AAD.又B1BBC，B1BA1A，A1ABC.又ADBCB，A1A平面ABC.设BC的中点为O，B1C1的中点为O1，连接AO，OO1，以O为原点，OB所在的直线为x轴，OO1所在的直线为y轴，OA所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则A1(0,2，)，D.易得平面CBB1C1的一个法向量为n(0,0,1)，|cos，n|.故直线A1D与平面CBB1C1所成角的正弦值为.3.角度3如图，几何体EFABCD中，CDEF为边长为2的正方形，ABCD为直角梯形，ABCD，ADDC，AD2，AB4，ADF90°.(1)

18、求证：ACFB；(2)求二面角EFBC的大小.解(1)证明：由题意得，ADDC，ADDF，且DCDFD，AD平面CDEF，ADFC，四边形CDEF为正方形，DCFC.DCADD，FC平面ABCD，FCAC.又四边形ABCD为直角梯形，ABCD，ADDC，AD2，AB4，AC2，BC2，则有AC2BC2AB2，ACBC，又BCFCC，AC平面FCB，ACFB.(2)由(1)知AD，DC，DE所在直线相互垂直，故以D为原点，DA，DC，DE所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，可得D(0,0,0)，F(0,2,2)，B(2,4,0)，E(0,0,2)，C(0,2,0)，A(2,0

19、,0)，(0,2,0)，(2,2，2)，设平面EFB的法向量为n(x，y，z)，则有令z1，则n(1,0,1)，由(1)知平面FCB的一个法向量为(2,2,0)，设二面角EFBC的大小为，由图知，cos|cosn，|，.考点三向量法求距离自练型(1)在四面体PABC中，PA，PB，PC两两垂直，设PAPBPCa，则点P到平面ABC的距离为()A.B.a C.D.a(2)在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中，侧棱PA底面ABCD，BCAD，ABC90°，PAABBC2，AD1，则点D到平面PBC的距离是_.解析(1)根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系.Pxyz，则P(0,0,0)

20、，A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(0,0，a).过点P作PH平面ABC，交平面ABC于点H，则PH的长即为点P到平面ABC的距离.PAPBPC，H为ABC的外心.又ABC为正三角形，H为ABC的重心，可得H点的坐标为.PHa.点P到平面ABC的距离为a.(2)分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,1,0)，(2,2，2)，(0,2,0).设n(x，y，z)为平面PBC的法向量，则即取x1，则n(1,0,1).又(2,1,0)，点D到平面PBC的距离为.答案(1)B(2)空

21、间距离的求法(1)两点间的距离就是以这两点为端点的向量的模.(2)求点P到平面的距离，先在平面内取一点A，确定向量的坐标，再确定平面的法向量n，最后代入公式d求解.方法技巧易错点睛1.用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想.2.用向量来求空间角，都需将各类角转化成对应向量的夹角来计算，问题的关键在于确定对应的向量.3.建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系，在没有现成的垂直关系时要通过其他已知条件得到垂直关系，在此基础上选择一个合理的位置

22、建立空间直角坐标系.利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面，的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补.课题43：建立适当的空间直角坐标系名师导学：利用向量方法解决立体几何问题的前提是恰当地建立空间直角坐标系，关键是确定明确的线线垂直关系，即“墙角”模型，另外，坐标系建立的是否合适，直接影响计算的速度与结果.(2016·云南毕业生复习统一测试)如图，在三棱锥ABCD中，CDBD，ABAD，E为BC的中点.(1)求证：AEBD；(2)设平面ABD平面BCD，ADCD2，BC4，求二面角BACD的平面角的正

23、弦值.切入点取BD的中点O，通过证明OE、OD、OA两两垂直，建立空间直角坐标系.关键点先进行几何关系的证明，具备建系条件时才能建系.解(1)证明：设BD的中点为O，连接AO，EO.ABAD，AOBD.又E为BC的中点，EOCD.CDBD，EOBD.OAOEO，BD平面AOE.又AE平面AOE，AEBD.(2)由(1)知，AOBD，EOBD，平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，AO平面ABD，AO平面BCD.EO平面BCD，AOEO，OE，OD，OA两两互相垂直.CDBD，BC4，CD2，BD2.由O为BD的中点，AOBD，AD2，得BOOD，OA1.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则O(0,0,