线性代数李建平习题答案详解复旦大学出版社

1、线性代数习题一1.2.3（答案略）4. (1) (奇数) 为偶数 故所求为(2) （奇数） 所求为3972815645.(1) (偶数)项前的符号位 （正号）（2） 项前的符号位 （负号）6. (1) （2）（3）原式= 7.8（答案略）9. 10. （1）从第2列开始，以后各列加到第一列的对应元素之上，得（2）按第一列展开：（3）习题二1.2.3.4.5（答案略）6. 设 为与可交换的矩阵，则有即 解之得 7. （1） ， 记为 ，记为（2） 即 8（答案略）9.10.（1）(2) =11. 反之 若 ,则 ,即 12. (1) 设 又 又 当 时，有 （2）设 ， 则 当 时，有 故 即

2、13.(1) 为对称矩阵同理 也为对称矩阵 （2） 为对称矩阵 又 为反对称矩阵 （3） 由（2）知，为对称矩阵，为反对称矩阵故 可表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和。14. （1）必要性： 充分性： (2) 必要性： 充分性： (3) 必要性 ： 即 充分性： 15（答案略）16. 可逆。且 17. 可逆，且 18.（答案略）19. ,若 可逆，则 故 可逆，且20.设 ，是对称矩阵 记 ，则 ，即为对称矩阵，又 , 为对称矩阵。21.（1）设 ，则 （2） 又 于是 即 (3) 于是 (4) (注意加条件：可逆) 可逆 22. 23. 24.（答案略）25. 可逆，且 26. 又 ,

3、, 27（答案略）28. 又 故 29. 30.（答案略）31.（1） (2) 32. 33. (1) (2) 习题三1.2.3.4（答案略）5. 不能由线性表示 线性方程组 无解 不妨假设 能由线性表示，则存在一组数，使从而 此式与方程组无解矛盾。故 不能由的任何部分组线性表示6. 依题意 所以 即 7. 令 可逆，于是 即 8（答案略）9.当 即当 或时，线性相关 否则 线性无关。10 .（1）设 则 即 故 线性无关。（2）设 则 线性无关 解之得 11. 一方面，向量组能由基本单位向量组 线性表示；另一方面，基本单位向量组由向量组线性表示为 向量组 与向量组等价。12. 一方面 可由向

4、量组线性表示；另一方面由于与有相同的秩，所以 就是向量组的一个极大无关组， 从而可以由线性表示. 故 13.设是向量组中任意一个向量可由线性表示 又 ， 线性无关是的一个极大无关组。14. 可由 线性表示，而也可由线性表示 从而 故 线性无关。15.必要性：是一组维向量，若线性无关，显然任意维向量都可由线性表示。 充分性： 任意维向量都可以由线性表示，基本单位向量组可由线性表示，故 从而线性无关。习题四1.2.3.4.5.6(答案略)7. 设 ，由 得 即 可见，是方程组的两个解 又 是方程组的两个线性无关的解。 于是，问题就转化为求解方程组 取 即为所求。8、设所求方程组为 不妨设 依题设，

5、即 故所求方程组为9、由题设可知为的解，又因为，所以的基础解为所含向量个数为故为的基础解系 于是的通解为 、的互解为即方程组有非零解显然满足方程 所以是所求非零的公共解11（答案略）由题设知，方程组的基础解系含一个解向量可见是方程组的基础解系 由知，知即又线性无关 可见为它的一个解，从而为的一个特解。故的通解为 （）假设线性相关线性无关纯由向量组线性表示从而是方程组的解 与已知矛盾线性无关（）设又线性无关从而 故线性无关设是的一个解，是的基础解系由知又的任一解都可由向量组线性表示的解向量组所含向量个数设是的一个特解是的一个基础解系则的任意解即 令 显然是的个线性无关的解. 则 其中习题五1（答案略）2、设是的属于特征值的特征向量，则 即 解此方程组得或3、设是的特征值，是的属于特征值的特征向量，则 即 故即或4、 故 的特征值为.5.由题设知为的特征值。 于是 又6. 7. 存在可逆矩阵，使 于是 故B是幂等矩阵.8.令 依题设 9.由，得（二重）， 可见方程的基础解系含2个解向量， 从而 又10（答案略）11.（1）设