线型规划题型

1、线型规划题型（1）求截距最值问题（，看做直线在轴上的截距，问题就化归为求纵截距范围或极值的问题）线性目标函数取最大值时的最优解与的正负有关,当时，最优解将在可行域内向上方平移到端点(一般是两直线的交点)的位置得到的.当时,则向下方平移,与时的情况相反.即：“，上移时的值增大，下移时的值减小；上移时的值减小, 下移时的值增大”. 若线性目标函数的最优解不止一个，则目标函数为的直线与“可行域”的一个边界平行或重合例1、(2008年广东卷)若变量x、y满足约束条件,则的最大值是_.解析：步骤如下：作出可行域(如图1)-作直线-找最优解-求最值;目标函数前的系数则上移时的值增大，由得，所以，例2（高考

2、浙江卷）设式中变量和满足条件则的最小值为（）13解析：法一（待定系数法）：令，则解得于是，当且仅当时，取最小值1故选法二：作出可行域(如图2)-作直线-找最优解-求最值;目标函数前的系数则下移时的值增大，由得，所以：法二：（线性目标函数取最值一般在是两直线交点的位置得到的）.由得，所以：例3、(2010年宝鸡市一模)已知x、y满足，则使目标函数取得最小值的最优解有( ).A、1个 B、2个 C、3个 D、无数个解析：可行域(如图3)，由于与平行且中，于是上移时的值增大，所以最优解有无数个，选D.变式1：已知x、y满足约束条件：，且取得最小值的最优解有无穷多个, 求a的值。解析：可行域(如图4)

3、要使目标函数取得最小值的最优解有无穷多个，令并平移使之与过点（可行域中最左侧的点）的边界重合即可，注意到a>0，只能和AC重合，a=1变式2：已知x、y满足约束条件：，且取得最小值的最优解有无穷多个, 求a的值。变式3：已知x、y满足约束条件：,且取得最大值的最优解恰为，则a的取值范围是 。答案：例4（2001年高考新课程卷）给出平面区域如图所示，若使目标函数取得最大值的最优解有无穷多个，则的值为（）解析：根据线性规划问题的解题步骤，最优解应在可行域的端点处取得，但由题设知取得最大值的最优解有无穷多个，所以直线应与直线平行故选（）点评：本题主要考查最优解找法，两直线位置关系线性规划问题可

4、能没有最优解；当线性目标函数所表示的直线与可行域的某一条边界平行时，线性规划问题可以有无数最优解（2）求斜率最值问题（）在线性规划中，对于形如的目标函数，可先变形的形式，将问题化归为求点与可行域内的点连线斜率的倍的范围最值例1、(与有斜率关的问题)已知实数满足，则的取值范围为_.解析：可行域(如图5)，由的几何意义求的最值，写出的取值范围，表示可行域中的点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率，由图可知：， ，所以变式：实系数方程的一个根大于0且小于1，另一个根大于1且小于2，则的取值范围是 解析：令，数形结合容易得到使实系数方程的两根分别在(0，1)和(1，2)内当且仅当： 点的可行域如右，记

5、，线段的斜率为，。巩固 若,满足: ，设,则的取值范围是_答案： ，2例2：设实数满足，则的最大值为 解析：不等式组确定的平面区域如图中阴影部分设，则，求的最大值，即求的斜率的最大值显然过点时，最大由解得代入，得的最大值为点评：本题体现了数形结合和化归思想的运用这种题型在今后高考中可能会成为主要命题方向。（3）求距离最值问题（）对于形如的目标函数均可求可行域内的点与的距离的最值问题例1 已知不等式的解集是空集，则的取值范围是 。解析：不等式的解集是空集等价于：且，得且，即：与异号且，不难画出点的可行域，记，,的最小值即点到直线的距离为。故：（4）对于形如的目标函数，可化为形式，求可行域内的点到

6、直线距离的倍的最值。（5）求面积问题例4、设不等式组所表示的平面区域是一个三角形区域，则a的取值范围为_.解析：可行域(如图)，阴影部分为共同表示的平面区域，要使平面区域为一个三角形区域，则应在与之间，于由A(2,7) ，B(0,5)，所以.例5、在平面直角坐标系中，若不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积为2，则a的值为( ).A、-5 B、1 C、2 D、3解析：可行域(如图)，根据约束条件先作出与所表示的平面区域，然后再去处理含参数的二元一次不等式即，则直线恒过A(0,1)，假设所表示的直线为与交于C，过A作BC垂线交BC于D，由ABC的面积为2，则BC=4，所以C(1,4)，因为C

7、在上，于是由4=a+1,得a=3，则选D.例6、在平面直角坐标系中，若不等式组表示一个三角形区域，则k的取值范围为 ( ).A、 B、 C、 D、解析：法一：当时，不能表示三角形区域当时，必须才能表示三角形区域法二：本题中可以运用排除法，观察四个选项，B，C，D三项中k可以取1，而A中k不可取1，则可以尝试令k=1，不等式组为，此时表示的可行域不是三角形区域，可见k=1时不能表示为三角形区域，于是选A.思考：含参数的线性规划可在作可行域时先将约束条件中的不含参数的不等式所表示的平面区域作出，然后再考虑含参数的不等式，利用尝试的方法去研究，如例4、例5；有时在作选择题时利用排除法去完成，如例6.

8、设为实数，若，则的取值范围是_例7、（与向量有关的线性规划问题）点在由不等式组确定的平面区域内，为坐标原点，点，则的最大值为_.解析：可行域(如图)，要求的最大值，因为，所以由，要求最大，需要的值最大，令，于是转化为求目标函数最值问题，由得B(1,2),所以，思考：与向量有关的线性规划问题，一般情况要与向量的数量积综合出题，这属于一种新题型，有一定的综合性，解决这类问题需要对向量的知识十分熟悉.例9、(与基本不等式有关的问题) 设实数x，y满足约束条件，若目标函数(a>0，b>0)的最大值为1，则的最值为( )A、 B、 C、 D、4 解析：可行域(如图)，因为由图可知A(1,1)

9、，在A处取得最大值. 即，当且仅当即时等号成立,选D.例10、(与概率有关的问题)在平面直角坐标系中不等式组确定的平面区域为D，在区域D中任取一点,则M满足a+2b>10的概率为( ).A、 B、 C、 D、 解析：满足条件的区域D为正方形区域(如图)，满足a+2b>10的区域为阴影部分，选B.例11、(与数列有关的问题)设数列an为等差数列，Sn为前n项和，若S113，S410，S515，则a4的最大值为( )A、3 B、4 C、-7 D、-5解析：此题若用数列的前n项和及通项公式去求解相当繁琐，不易求解，所以可将其看成是关于a1和d的线性规划问题，即，可化为，求的最大值，将其转

10、化为，求的最大值问题，通过画出可行域，求目标函数最值问题，选B.思考：列举了线性规划问题分别在不等式、概率、数列等方面的应用，线性规划与数学所有模块几乎都有联系，可见辐射面之广.简单线性规划问题在每年高考中均有出现，今年也不例外，不但是因为它能考查知识点，而且有一定的实用价值，尤其是在近几年课改区的高考试题中年年必考，随着新课标理念的深入，线性规划不仅仅是考查简单的求目标函数最值的问题，它将更加灵活、新颖、实用性更强.无论如何我们主要把握住以下三点：(一)解线性规划问题关键是在图上完成，所以图应该尽可能准确，图上操作应该尽可能规范；(二)要对数学模块知识理解深刻且了解模块与模块之间的深层联系；(三)要在平时学习中不断总结、归纳和积累.已知、满