基本不等式中的应用问题

1、不等式中的应用问题1、在面积为S (为定值)的扇形中，当扇形中心角为 9 ,半径为r时，扇形周 长最小，这时日的大小应为,半径r的值应为 答案：2 - 2 , r = . S2.某工厂年产值第二年比第一年增长的百分率为 Pi,第三年比第二年增长的百分率为P2 ,若Pi +P2为定值，则年平均增长的百分率 P的最大值为包也23、甲、乙两地相距Skm ,汽车从甲地匀速行是驶到乙地，速度不得超过C km/h , 已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成)可变 部分与速度v (km/h)的平方成正比，比例系数为b,固定部分为a元，(1)把全程运输成本y (元)表示为速度v (km

2、/h)的函数，并指出这个函数 的定义域(2)为使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？解：(1)依题意汽车走完全程所用时间为 S,故全程所用成本为：vy=a +bv2 = S(a+bv)定义域为 vJ0,c v v v(2)考察函数P(v) =a+bv的图象得知：v(1)当c口时，函数P(v) =a+bv在vw (0 , c下为单调递减的函数，所以当;bvav=c时P(v)取取小值P(c),即当v=c时y取取小值ymin =S(+bc),c(2)当c之Ja时，则P(v)在v=Ja处取最小值即当v = ja时y取最小值.bb. bymin =25而，4、设计一幅宣传画，要求画面面积为480 c

3、m2,画面的宽与高的比为人(儿1), 画面的上、下各留8cm空白，左、右各留5cm空白，怎样确定画面的高与宽的尺 寸，能使宣传画所用纸张面积最小？提示：设画面的高为acm ,则宽为bcm,则ab = 480设宣传画所用纸张面积为S,则求 S =(a 16)(b 10)二 ab 10a 16b 160=640 10a 您-640 8035、某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为 200平方米的三级污水处理池（平面 图如下图），由于地形限制，长、宽都不能超过 19米。如果池四周围壁建造单 价为每米长400元，中间两道隔墙建造单价为每米长 248元，池底建造单价为 每平方米80元，池壁的厚度忽略不计。试

4、设计污水池的长和宽，使总造价最低, 并求出最低造价。设污水池的长为3x米、宽为空0米，总造价为y元3x=（6x 400） 400 丝0 248 200 80 3x3x400 648=6 400x 160003xc 400 648 6 400_ 2 ： 16000 =2 400 4 9 16000=28800 16000 =44800取等号的充要条件是x=6，任0 = g0-11, ymin =44800 （元）3x 96、如图，为处理含有某中杂质的污水，要制造一底宽为 2米的无盖长方体沉淀 箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米, 已知流出的水中该杂质的质量分数

5、与 a、b的乘积ab成反比，现有制箱材料60 平方米，问当a、b各为多少时，经沉淀后流出的水中该杂质的分数最小？（A、B孔的面积忽略不记）（1998年全国）解：设流出的水中该杂质的质量分数为30 - a 则由 60=4b+2ab+2afMtb=30_a（0 :二 a :二 30）于是 y =34 - （a 264）18k .y , y =（kA abCBM当且仅当（a+2）2 =64,即 a =6, b =3时，ymin =18ABC的面积为相等7、在 SBC 中,/C=90,，AC=3,BC=4, 一条直线分 的两部分，且夹在AB与BC之间的线段为最短，求此线段的长。34由条件=sin B

6、=-，cosB = 55设夹在AB与BC之间的线段为MN ,并设| BN |= x ,| MN |二 y11 一由条件 S&BC =2父3父4=6, S&MN =S&BC1 , . 一10即一 x | BM | sin B =3= | BM |= 一2 x由余弦定理得22210 210 42100| MN |2 = y2=x2( )2-2 x -=x2_16 _20 -16 = 4xx 5 x取等号u x = J10,止匕时ymin =48、甲、乙两人同时从A地走到B地，甲先用二分之一的时间以速度 p行走，再 用二分之一的时间以速度q行走，乙在前二分之一的路程用速度 p行走，后二分 之一的路程

7、用速度q行走，（p、q互不相等），问甲、乙两人谁先到达B地？为设|AB|=S,甲从A地走到B地用时为t1 ,乙从A地走到B地用时为t2则 St1（p q） ut2p q pq又匕喙/1小-S- -t1 .pq因p、q互不相等，故甲比乙先到达 B地。9、某集团投资兴办甲、乙两个企业，1998年甲企业获得利润320万元，乙企业 获得720万元，以后每年企业的利润甲以上年利润的1.5倍的速度递增,而乙企业是上年利润的三分之二，预期目标为两企业年利润之和是 1600万元，从1998 年初起（1）哪一年两企业利润之和最小（2）需要经过几年可达到预期目标（精确到1年）3解：（1）由条件知甲企业的利润构成公

8、比为 q=士的等比数列aj2乙企业的利润构成公比为q =2的等比数列bn3所以 an =320父（3尸，bn=720M（Z）n，2 3设第n年两企业利润之和为y ,则3 -2y = an bn = 320 （-）720 （-） 一 2.320 720 = 960取等号的充要条件是320 （旦尸= 720 （2尸23即（3）2n=1 即 n=2 2(2)令 y =an bn =320 (1)n 720 (|)n, -1600化为 4(3严+9(2”口20 =0 ,令 t = (g)n 则 4t2+9t20 = 0 232一 1.9解得：t =-（舍去）或t =22所以（3）n,=9 ,解得n =

9、 2lg31g 2 +1定4.7 ,所以n = 5为所求221g 3 - 1g 210、一批货物随17列货车从A市以vkm/h的速度匀速直达B市，已知两地间铁路线长为400km,为了安全，两列货车间的间距不得小于(上：km,那么这20批货物全部运到B市最快需要多少时间？并求此时货车的运行速度。v400提示：由条件，从第一列车出发到第 17列车待发，每两列车之间的间隔时间均为工,所以，从第一列车出发到第17列车出发，总用时为16M 400而第17列车到达B市用的时间是 0v所以，从第一列车出发到第17列车到达B市用的总时间为16400t =v 8400vx、y (单位：m)的8m2 ,问:16、

10、某单位用木料制如图框架，框架的下部是边长分别为 矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为 x、y分别为多少时用料最省？由条件得xy x2 =84所以 y = _x( 0 x 4V2 )x 4设框架用料总长度为L ,则L = 2x 2y 、2 x=(3.2 )x 16 _4 6 4 2 =8 4.22x当且仅当x= 8-4血球2.34 , y2.83时，用料最省17、某食品厂定期买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉的价格是1800 元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天 3元，购买面粉每次需支付运费900 元，求该厂多少大购买一次面粉，才能使每天支出的平均费用最少？答案：设该厂每隔x天购买一次面粉，则每次的购买量为 6x吨由题意知，面粉的保管等其他费用为：36x 6(x -1) 6(x -2) 6 2 6 1 =9x(x 1)设每天支出的平均费用为y,则1 900y = 9x(x 1) 900 6 1800 = 9x 10809 xx当x =10时，每天支出的平均费用最少某商场计划提价，现