固体物理基础答案解析吴代鸣

1、1,试证理想六方密堆结构中 c/a=1.633.证明：如图所示，六方密堆结构的两个晶格常数为a和c。右边为底面的俯视图。而三个正三角形构成的立体结构，其高度为2.若晶胞基矢a,b,c互相垂直，试求晶面族(hkl)的面间距 解：丫 ab,c*互相垂直，可令 a =ai ,b =bj ,C = ck晶胞体积v = a-(b c) = abc倒格子基矢：2 二2 二2 二bi =(b c) =(bj ck)=ivabca2-i 2-12 二b2 =(c a) =(ck ai)=jvabcb2 二2 二2 二b3 =(a b) =(ai bj)=kvabcc-I- h k lG = hb1kb2 Tb

2、3 = 2二(i j k)而与 (hkl)晶面族垂直的倒格矢,a b c11 h 2 k 2 l 2二 G =2nJ(-) +(-) +(-) a b c故(hkl )晶面族的面间距2兀h 2 k 2 l 22 二()()()f a b ck 2 l 2(b) (c)3.若在体心立方晶胞的每个面中心处加一个同类原子，试说明这种晶体的原胞应如何 选择？每个原胞含有几个原子？答：通过分析我们知道，原胞可选为简单立方，每个原胞中含有5个原子。体心，八个顶点中取一个，对面面心各取一个原子（即三个）作为基元。布拉菲晶格是简单立方格子。4.试求面心立方结构的（111）和（110）面的原子面密度 解：（11

3、1）面一 _.11平均每个（111）面有3父+3M一=2个原子。62(111)面面积 1 5a( vb/2a)2 - (a)2 )=上2a la =三3a222222所以原子面密度二1）（110）面11 平均每个(110)面有4 M +2M =2个原子。42(110)面面积 a 42a = <2a2所以（110）面原子面密度、-（110）_ 2 2a25.设二维矩形格子的基矢为 £ =ai,a； =2aj ,试画出第一、二、三、布里渊区。 解：倒格子基矢：2 ： - -2 二.2二二-b（ 二（a2 23） =2ai x i （a3 = xk）va 2a x a2 二，、2二.

4、2 二.1 2 二b2 =(a3 a1)-axi = j =va 2a x 2a 2a所以倒格子也是二维矩形格子。b2方向短一半。最近邻b2，-b2 ；次近邻 b1，-b1,2b2, -2b2;再次近邻 b1 -b2,b1 b2,b2 -b1 ,-b2 -b1;再再次近邻3b2,-3b2；做所有这些点与原点间连线的垂直平分线，围成布里渊区。再按各布里渊区的判断原则进行判 断，得：第一布里渊区是一个扁长方形；第二布里渊区是 2块梯形和2块三角形组成；第三布里渊区是 2对对角三角和4个小三角以及2个等腰梯形组成。6.六方密堆结构的原胞基矢为:1 ., 3 .a1二一ai aj 22_ 1.3.a2

5、 ai . aj 22a3 = ck试求倒格子基矢并画出第一布里渊区解：原胞为简单六方结构。原胞体积：v = a1 (a2 a3)1 -1-=a(i ,3j) -a(-i 、3j) ck2 21 -1-a(i 3j) -ac(j3i)2 21 a2c(i. 3j) ( .3i j)4,.3 2 =a c2倒格子基矢：2 ： -2二 1_2 二 _b = a3)-a(-i3j) ck = (i ,3j)v3 2 23a一a c22-2 二 1-2二一 一b, (a3 a)=2ck 1a(i、3j)=J(-i.3j)v322aa c2,2 二,、2二,b3 = (a a2) - kvc由此看到，倒

6、格子同原胞一样，只是长度不同，因此倒格子仍是简单六方结构。(注意：倒格子是简单六方，而不是六方密堆)选六边形面心处格点为原点，则最近邻为六个角顶点，各自倒格矢的垂直平分面构成一个六面柱体。次近邻为上下底面中心，其垂直平分面为上下平行平面。再次近邻是上下面六个顶角，其垂直平分面不截上面由最近邻和次近邻垂直平分面构成的六 角柱体。所以第一布里渊区是一个六角柱体。比倒格子六方要小。7.略8、证明一维NaCl晶体的马德隆常数为 a=2ln2证明：任选一参考离子i ,则左右两侧对称分布令rj那么,=aj a；这里a为晶格常数（正负离子 有：最近距离）其中,1 c 1=2aj异号为十；.1同号利用展开式：

7、ln（1 x)令x = 1,得：ln2 x 万13 -4 x 一 十4:=2ln 29、若离子间的排斥势用_r7喋表示,只考虑最近邻离子间的排斥作用,试导出离子晶体结合能的表达式，并讨论参数入和p应如何决定。解：设最近邻离子间距离为r,则rj=司r （以i离子为原点）u(hj )rje4 二 dj2e4 二 dj（最近邻，rij = r）（最近邻以外）总相互作用能为:Ne2_* 4二；0r "）aj最近邻(1)一上 Ze"i 4二；。/其中乃最近邻离子数由平衡条件:.U=0;得:Z'e"0/2):二.e2得：UNe22 4二；0r°-P 1.1-

8、 110 一.(3)结合能Ec =幻（r。）对于NaC等离子晶体:4).(5).(6).(7).(8)1- 2：ze2 1Z>. _r0 / _：- I, K =I+ 10 1 18ro - 4nM ro3P2_%2)代入(5)得：12： e2二汜2 218ro IL 4二；0ro4二；0r 0_ 二 e2r 02： e272 二；0r04K由(2)得:;?： e2 ： r- e . 4 二；0"10、如果NaCl结构晶体中离子的电荷增加一倍, 平衡距离将产生多大变化。假定排斥势不变，试估计晶体的结合能及离子间的解:总相互作用能U =- 2_ N«e29人出 2 14

9、底0。220eeB、4夜 0rr nnB=0(3)代入(1)得:U(r0)=.(2)3)N： e28 二；001).(2)4)当电荷由e变为2e时，由(2j和(4)可知：1r 0( 2e)1 .n =4Qe)U(2e) _ 4三U(e)11、在一维单原子晶格中，若考虑每一院子于其余所有原子都有作用，在简谐近似下求格波的色散 关系。解：在简谐近似下:一 11OU = -(Xij - Uij ) = Uo- - ij Uij2 i ;j4 i 口第n个原子的运动方程：d2un：U1mj= 一 =一'出：Un4fUn右边二-1('、:inUi； 4飞i(印)1("in(Un

10、 - Ui )4 i(力)1，- ，=-(in(Un - Ui)- '、2 i(=n)j(-dij Uij)i H2“'nj Unj)j (二n)2、nj(Uj- Un)j (二n)nj(Uj-Un)=" in(Ui - Un)i (二n)-p(Un pUn _p 一 2Un)P设Un = Ae4 91aq代入上式得:- m-2Ae(t-naq)、1P(Aei( tc p)aq)a> ” - 2Un)pp(1-cos paq)整理，得:12、设有一维双原子晶格，两种院子的质量相等，最近邻原子间的力常数交错地等于3和P2,试求格波的色散关系。解:d2Undt2。(

11、n-1 -)X n - /)=-1 n-1：2 n - ( -12)Und2mT1 =2( Un - n)1(Un 1 - n)dt=2Un-1Un 1-(-1 - -2)- n试探解:Ae -i ( naq _ .t);nBe -i ( naq _，t )得：- m 2A = 1Beaq2b-(12)A>Aeaq2A <12)B12)< 1e1aq2)i2eaq经计算，得:P2) 12222 1 2cos aq13、已知一维单原子晶格的格波色散关系为2/ (q)=(1 - cos qa)试求：（1）格波的*II密度g（a ）；(2)低温下晶格热容与温度的比例关系。解：一维时，模密度g()dq、( , - (q)由色散关系，得:cos aq2：sinaqdqdqM 2com2g()2 . (q)d (q)、（ - （q）M2402(q)-M24-24(q)晶格热容：C略去4项，（因为低温,-E-T1)g( )dexp( / kBT) - 1主要，所以上限可以近 似为无穷大）（因为低温，频率低的占lk；3amt14、将Deby