固体物理学规范标准答案朱建国版

1、固体物理学-习题指导配合固体物理学（朱建国等编著）使用2020年6月24日第1章晶体结构1第2章晶体的结合15第3章晶格振动和晶体的热学性质 24第4章晶体缺陷38第5章金属电子论43第1章晶体结构1.1有许多金属即可形成体心立方结构， 也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种 结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以 Rf和Rb代表面心立方和体心立方结构中 最近邻原子间的距离，试问 Rf/Rb等于多少？答：由题意已知，面心、体心立方结构同一边相邻原子的距离相等，都设为a：对于面心立方，处于面心的原子与顶角原子的距离为：Rf= a2对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：R

2、b= a2琐/ Rf ' 2a 6那么，=-Rb .3a 31.2 晶面指数为（123 ）的晶面ABC是离原点O最近的晶面，OA、OB和OC分别与基失ai, a2和a3重合，除O点外，OA , OB和OC上是否有格点？若 ABC面的指数为（234 ）,情况 又如何？答：晶面族（123）截a1,a2,a3分别为1,2,3等份，ABC面是离原点O最近的晶面，OA 的长度等于a1的长度，OB的长度等于a2长度的1/2 , OC的长度等于a3长度的1/3 ,所以 只有A点是格点。若 ABC面的指数为（234 ）的晶面族，则 A、B和C都不是格点。1.3 二维布拉维点阵只有 5种，试列举并画图表

3、示之。答：二维布拉维点阵只有五种类型，两晶轴 a、b ,夹角 ，如下表所示。序号晶系基矢长度与夹角关系布拉维晶胞类型所属点群1斜方任意a、b,2简单斜方（图中1所示）1, 22正方a b,2简单止方(图中2所示)4, 4mm3六角a b, 3简单六角(图中3所示)3 , 3m , 6, 6mm4长方a b, 2简单长方(图中4所示)有心长方(图中5所示)1mm , 2mm1简单斜方2简单正方3简单六角 崂也二. a.口.« * 4简单长方5有心长方二维布拉维点阵1.4在六方晶系中，晶面常用4个指数(hkil )来表示，如图所示，前 3个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成120 &

4、#176;的共平面轴ai, a2, a3上的截距ai/h , a2/k , a3/i ,第四个指数表示该晶面的六重轴c上的截距c/l.证明：i=- (h+k )并将下列用(hkl )表示的晶面改用(hkil)表示:(001 ) (133)(110) (323) (100 ) (010 ) (213)答：证明设晶面族(hkil )的晶面间距为d ,晶面法线方向的单位矢量为n°。因为晶面族(hkil )中最靠近原点的晶面ABC在a、a2、a3轴上的截距分别为a1/h,a2/k,a3/i,因此由于 a3= - 0i+ a 2)a3gno(aa3)gno把（1 ）式的关系代入，即得id (h

5、d kd)i (h k)oagioa2 gloa3 5hdkd根据上面的证明，可以转换晶面族为id(001 )-( 0001 ), (133)-(1323), (110)-(1100), (323) 一(3213), (100 ) 一(1010),(010 ) 一 (0110) , (213)(2133)1.5如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球可能占据的最大面积与总体积之比为（1）简立方：一（2 ）体心立方:63.、.、2,、2，、人一（3）面心乂方： （4）八方皆堆积： （5）金刚石:.3。16答：令Z表示一个立方晶胞中的硬球数，Ni是位于晶胞内的球数， Nf是在晶胞面上的球数,Ne是在晶

6、胞棱上的球数，Nc是在晶胞角隅上的球数。于是有:111Z Ni-Nf-Ne-Nc248边长为a的立方晶胞中堆积比率为34 rF Z *33 a3假设硬球的半径都为r,占据的最大面积与总体积之比为。，依据题意（1）对于简立方，晶胞中只含一个原子，简立方边长为2r,那么:4/3 r3(2r)3(2)对于体心立方，晶胞中有两个原子，其体对角线的长度为H 2 (4/ 3 r3) = V3(4/ , 3r)38(3)对于面心立方，晶胞中有四个原子，面对角线的长度为4r ,则其边长为4.J那么:4r,则其边长为2,2 r,那么:4(4/ 3 r3) _22(2、2r)36(4)对于六方密堆积一个晶胞有两个

7、原子，其坐标为(000 ) ( 1/3 , 2/3 , 1/2 ),在理想的密堆积情况下，密排a=2r ,因此六方结构中点阵常数与原子半径的关系为(5)对于金刚石结构Z=8 a也 8r 那么 F Z*- = 8 43 a331.6有一晶格，每个格点上有一个原子,基失(以 nm 为单位)a=3i , b=3j , c=1.5 (i+j+k ),此处i, j, k为笛卡儿坐标系中x, y,z方向的单位失量.问:(1)这种晶格属于哪种布拉维格子?(2)原胞的体积和晶胞的体积各等于多少？答：(1)因为 a=3i , b=3j ,而 c=1.5 (i+j+k ) =1/2 (3i+3j+3k ) =1/

8、2 (a+b+c ')式中c=3c。显然，a、b、c'构成一个边长为3*10-10 m的立方晶胞，基矢 c正处于此晶胞的体 心上。因此，所述晶体属于体心立方布喇菲格子。(2)晶胞的体积=cg(a b)= 3kg3i 3j) =27*10 -30 (m3).1 _原胞的体积=cga b) = (3i 3j 3k)c(3i 3j) =13.5*10 -30(m3)1.7 六方晶胞的基失为： a al j , b al j , c ck2222求其倒格子基失，并画出此晶格的第一布里渊区答：根据正格矢与倒格矢之间的关系，可得：正格子的体积 =a,(b*c) =a2c2那么，倒格子的基矢

9、为 b12 (b c) 2 . J3ai2 (c a)2.2.1 j ，3a a其第一布里渊区如图所示:1.8若基失a, b , c构成正交晶系，求证：晶面族(hkl )的面间距为dhkl -. J2 (J J)2 a b c答：根据晶面指数的定义，平面族( hkl)中距原点最近平面在三个晶轴a1，a2, a3上的截距分别为 曳，a2,包。该平面(ABC)法线方向的单位矢量是h k ldh dk dln x y z a a2 a3这里d是原点到平面 ABC的垂直距离，即面间距。由|n|=1得到dh 2 dk 2 dl 2L)(一)(-)1向 a2 a3故 d (h)2 (-)2 J)23aa2

10、a31.9用波长为0.15405nm 的X射线投射到粗的粉末上，得到前面几条衍射谱线的布拉格角。如下序号123450/ (° )19.61128.13635.15641.15647.769已知铝为体心立方结构，试求:(1)各谱线对应的衍射晶面族的面指数;(2)上述各晶面族的面间距；(3)利用上两项结果计算晶格常数.答：对于体心立方结构，衍射光束的相对强度由下式决定：2222I Fhkl |f21 cos n(h k l)2 f2sin2 n(h k l)考虑一级衍射，n=1 。显然，当衍射面指数之和(h+k+l )为奇数时，衍射条纹消失。只110 )、有当(h+k+l )为偶数时，才

11、能产生相长干涉。因此，题给的谱线应依次对应于晶面(200 )、(211 )、(220 )和(310)的散射。由布喇格公式2dhkl sin(n 1)得同法得d1102sin 11.54052sin19.611 102.295 10 (m)10d200 1.6334 10 (m)2sin 2d211 1.3377 10 10(m)2sin 3d220 1.1609 10 10(m)2sin 3iod310 1.0403 10 (m)2sin 4应用立方晶系面间距公式dhkl可得晶格常数a dhkl . h2 k2 l2把上面各晶面指数和它们对应的面间距数值代入，依次可得a的数值*10-1om为3

12、.2456 , 3.2668 , 3.2767 , 3.2835 , 3.2897取其平均值则得-10a 3.2725 10 (m)1.10 平面正三角形，相邻原子的间距为a,试给出此晶格的正格矢和倒格矢；画出第一和第布里渊区求出倒易点阵初基矢量b1 , b2。设b1 bxi byj b2 b2xi b2yj由 “g 2”里20 b2中10 b2ga22得到下面四个方程式aigj Dyj) 21.3(1) i - aj)g(bixibiyj) 0(2)(3)aig(b2xib2yj) 0(4)1,3(2ai 三司K% MD 2(4)由（i）式可得：黑由（2）式可得：b1y2.3a由（3）式可得

13、：b2x 0由（4）式可得：b2y4.:3a于是得出倒易点阵基矢bi2.,3aJ b243a补充习题：1.11 什么是晶体？什么是非晶体？试各举一例说明。答：晶体是原子、离子或分子按照一定的周期性，在结晶过程中，在空间排列形成具有一定规则的几何外形的固体，如铁；非晶体是其中的原子不按照一定空间顺序排列的固体，如玻璃。1.12 什么是原胞？什么是晶胞？答：原胞是具有2维、3维或者其他维度平移对称性的简单点阵结构的最小重复单元，晶胞是为了反映晶体的周期性和对称性而选取的重复单元。1.13 什么是布拉维原胞？什么是 WS原胞？答：布拉维原胞就是晶胞，WS原胞是以晶格中某一格点为中心，作其与近邻的所有

14、格点连线的垂直平分面，这些平面所围成的以改点为中心的凸多面体即为该点的WS原胞。1.14 试计算面心立方和体心立方的堆垛因子答：设面心立方晶胞的边长为a,则堆垛成面心立方晶胞的原子半径最大为J2a/4。由于面11心立万体晶胞中有8 6 - 4个原子，所以面心立方的堆垛因子824 2 3 434230.7405a36设体心立方晶胞的边长为 a,则堆垛成体心立方晶胞的原子半径最大为J3a/4。由于体心立1 ，万晶胞中有8 1 82个原子，所以体心立方的堆垛因子34-3a- 2343a.380.68021.15绘出面心立方的晶胞和原胞示意图。答：面心立方的晶胞和原胞如下图所示，黑色 -晶胞，蓝色-原

15、胞。1.16 试绘出二维正方晶格的 W S原胞，设边长为a。答：1.17 请列表给出简立方、体心立方、面心立方的最近邻（第一近邻）到第十近邻的原子数、原子间距。答：设简立方、体心立方、面心立方晶胞边长为a。第n近邻间“方体心立方面心立方原子数原子间距原子数原子间距原子数原子间距16a8v13a/2122a/221272a6a6a38.户a12厂a2416a/2462a2451a/212Ca524、运a83 3a24<10a/2624/6a62a8、Ca7122曲24<19a/2247|Ea/28303a24/5a62a924.10a2476a12Xr2a/21024、1ia243v

16、,r3a/224J5a1.18 绘出金刚石结构的两个面心立方子晶格的套构情况。答： 0c金刚石结构是由两个面心立方格子沿体对角线位移1/4的长度套构而成。1.19 绘出立方晶胞里的晶向与晶面：101 ; 122 ; 301 ; 002 ; 130; 312答：1.20 绘出六方晶胞里的晶向与晶面：0110; 1120 ; 1011; 0003 ;彳010 ; 01 彳1答：1.21 按照WS原胞的构造法，如果 BCC中一个原子的所有最近邻原子的连线的中垂面围成一个什么图形，体积为多少?如果BCC中一个原子的所有次近邻原子的连线的中垂面又围成一个什么图形，体积为多 少？答：原点和8个近邻格点连线

17、的垂直平分面围成的正八面体，沿立方轴的6个次近邻格点连线的垂直平分面割去八面体的六个角，形成的14面体一一八个面是正六边形 ，六个面是正四边形。制赠力 I M 咏Hy L'ntflTil ClllK!1.22 为什么晶体没有5次对称轴，而准晶体有5次对称轴?答：设在图中，是晶体中某一晶面上的一个晶列，AB是这晶列上相邻两个格点的距离。晶体中某一晶面的晶列(1)旋转角0 一,通过 2处u轴逆时针方向转过 角后, 点必须是格点，由于A'、A处的u轴顺时针方向转过Ai点转到A'。经过转动后，B '和AB平行，A ' B '后，使Bi点转到B',

18、若通过B要使晶格能自身重合， 则A'、B'必须等于AB的整数倍，即(2)旋转角一2A B AB1 2 cos综上，旋转角改写为1 ,-A B AB 1 2 cos ,于是 cos 0,_ ,11, ,0。22 3，同理A A,B B ,有1 ,2AB 1 2 cos ,于是有 cos - , 1,2322222,。即晶体中只存在 1、2、3、4、6次转轴。12346另外一方面因为晶体的旋转对称性要受到内部结构中点阵无限周期性的限制，有限外形的旋转不能破坏点阵无限的周期排列，所以晶体没有5次对称轴，而准晶体是介于周期晶体和非晶玻璃之间的一种新的固态物质形态，即准晶体可以有5次对称

19、轴。1.23 试写出沿X2轴有90 °旋转轴的变换矩阵。答：(1)逆时针旋转 'Xi X3 'X2 X 2'X3Xi0010101 0 0(2)顺时针旋转0010101 001.24 举例宏观对称元素与微观对称元素宏观：转动 对称中心 反演 对称面 反映微观：平移和平移轴螺旋旋转与螺旋轴滑移反映和滑移面1.25 对于立方晶系，晶体的介电常数矩阵简化为什么情况？答：在晶体中，电位移矢量D与电场强度E间的关系可以写为:D E对于立方晶系，当把电场 E同晶体一起转动时，电位移矢量也将作相同的转动。用转动后的电位移矢量。设电场E沿着立方轴V,这时Dx Dz xyE,

20、Dy DyvvE, DxDxxy但是，转动是以 E为轴的，实际上电场并未改变。而上述转动又是立方体的一个对称操作, '所以转动前后晶体没有任何差别，电位移矢量D应不变，即D D代入，可得:xy zy zy xy即 xy zy 0如果取E沿z方向，并绕z轴转动一,2同理，可得：xz yz 0的非对角元都等于零，于是D E , ( x, y, z)再取电场沿立方体 111方向，则DxxxD EyyyDzzz绕111轴转动,使z轴转到原x轴，x轴转到原y轴，y轴转到原z轴，则转动后的 D' 3写为DxDz(Dy Dx'DzDyzz.3yy .3与前论述的一样，电场实际是没变的

21、，晶体所经历的又是一个对称操作，晶体也完全未变, 所以，D'和D应相同。xx yy zz 0第2章晶体的结合2.1解：（1）离子键：无方向性，键能相当强；（2）共价键：饱和性和方向性，其键能也非常强；（3）金属键：有一定的方向性和饱和性，其价电子不定域于2个原子实之间，而是在整个晶体中巡游，处于非定域状态，为所有原子所“共有”；（4）范德瓦尔斯键：依靠瞬时偶极距或固有偶极距而形成，其结合力一般与r7成反比函数关系，该键结合能较弱；（5）氢键：依靠氢原子与2个电负性较大而原子半径较小的原子（如 O, F, N等）相结合形成的。该键也既有方向性，也有饱和性，并且是一种较弱的键，其结合能约为

22、50kJ/mol 2.2解:2.3解:根据弹性模量的定义可知K V也 dVV0VdU dV21)V0上式中利用了 PdU的关系式。dV设系统包含N个原子，则系统的内能可以写成又因为可把N个原子组成的晶体的体积表示成最近邻原子间距r的函数，即3V Nv N r3)上式中 为与晶体结构有关的因子（如面心立方结构,2/2)。又因为(4)dU 1 dU N m n 1(dV) 3 Nr2 ( dT)R) "2 尸 T 3N r2/ d 2U、dr d 1 N / m n(dV2)Vo dV dr 3N r2 万(尸尸221 N m n 3m 3n考虑平衡条件（）r。 0 ,得 mr ），那么

23、（5）式可化为 dV '0r0mr0n222d U 1 N m n19V71NnmmnN9V022m n r0n m r09V022( Z/ 2 )v0QX/ 2 1rm7dV9V20 r 002将（6）式代入（1）式得:mn .mnc,2( U°)r。r09V0m rOnn rO2.4mn29V2U0所以9V0_mnU。解：在平衡位置时有u(r)A210 r0Ek(1)du(r)dr2A10B3 rO11 rO(2)将离解能Ek4eV和r00.3nm,代入（1）和（2）式可得:19A 4.5 10 eV m2, B5.9 10 96 eV m10。2.5解：由题意有以下方程

24、成立:A B 一U009AB()010drr。r0把ro , U的具体数值代入上述方程组,即得:A(2.8 10 10)99A2.8 10 10B191010 1010 2(2.8 10 )(2.8 10 )2,B 2.52 10 28J m1059由此可得： A 1.0578 10 J m该晶体的有效弹性模量为:V0(上式中N表示晶体中所含的原子个数表示与晶体结构有关的因子)r0八 (119 ° °90A 2B1 3.27979一11一10 =4.734X10102.6解：(1)在简单立方点阵中，每个原子平均所占据的体积(2)在面心立方点阵中，每个原子平均所占据的体积1.

25、一(2r)4IF(3)在体心立方点阵，每个原子平均所占据的体积 v(4)在金刚石点阵中，每个原子平均所占据的体积8(43r)2.7解:2.8解:2.9解:NaC8.3"9-'(5)在NaCl点阵中，每个原子平均所占据的体积8(2r)33.r ；故1。NaCl晶体中Na+和Cl-的最近距离为r0 ,晶胞基矢长为2r0l晶体中Na +和Cl-的最近距离为ro 。晶胞基矢长为2 r0, 一个晶胞中含有四对正负离子对。一个原胞(一个 NaCl分子)的体积为:2 r03(23 35.45)N 2.16 6.02 1023NaCl晶体中的正负离子的平衡间距为:02.82810 cm 0.

26、282nm0.2818nm由晶体体积弹性模量的公式:72Me2Bm36 3.14 8.85 1012 2 (0.282 10 9)41.7476 (1.6 10 19)22.41 1010=7.82由平衡时离子晶体的内聚能公式:UcNMe24°r0将 n=7.82代入得NaCl晶体的每对离子的内聚能为:2.10UcNMe2(10r01.74764 3.14 8.851.24 10 18 J解：(1)在平衡时，有下式成立du(x)dx由上式可得X0(1.6 10 19)210 12 0.282 10 19121213x0(17.822 6 670x。(1)(2)设该N个惰性气体原子组成

27、的一维单原子链的总的相互作用势能为U (x),那么有U(x)0 L产2(一)6xjxj设X为2个原子间的最短距离,则有x1iajX ,那么(2)式可化为U(X)126A()B(一)X X3)其中(3)式中A112 aj(112122.00048,16 aj4.07809。那么每个原子的平均晶格能为U(x。)Nn=9 。晶体拉伸而达1)又设NaCl晶体处于平衡状态时，相邻两离子间的距离为则有rO0 2.00048(-)12 4.07809()622.110解：.若NaCl晶体的马德隆常数 M=1.75 ,晶格常数a=5.64 A,哥指数到稳定极限时，求:(1) 离子间距增加多少?(2) 负压强的

28、理论值是多大?解：(1)设该NaCl晶体的含有N个离子，则其相互作用势能为U“)N 号上式中的r指NaCl晶体中相邻两离子间的距离。由平衡条件可知dU (r)dr2N Mqr r02 4 0r2nBn 1r(2)r 02由(2)式可得：B r0n 1o4 0n即有当晶体拉伸而达到稳定极限时，此时相邻离子间的引力达到最大值,d2U (r)dr2rri2Mq230rn(n 1)Bri(3)2Mq n将Br04 0n代入(3)式可得因而离子间距增加了r11n 1rO5.64203.45 Arr1 r03.45 2.8200.63 A2.12试利用中性计算三维 NaCl晶体的马德隆常数。图a.7氧化辆

29、结构的埃夫那单胞.图审。为负底子，为正离 12/4子.所注数字表明与之等价的堵窗子对口的贡献.例如雷森明P ,/蒙的寓于有12个，每个出子属于所考虑的串性离子组的分数是1aC班图L8室化舶站构8个埃夫琴单胞的1/即 舒考离子战于生下艮0点. ffl中所注数字表明与之等价明诗离子对。的贡献，与图3.7局解取图3. 7所示的埃夫琴单胞，对单制内备离子直接求和.计算马德降常数 为6/2 12/4 8/8 s二-+ 金=】456取X个埃夫琴单.胞，其1/X如图3, 8所示,蓼考离子位于。点，计克得马 德隆常数为=(2. 13411. 5+5. 3674. X991. 咐+20. 289 二】.752类

30、似地取27个埃夫号单胞，经计算得% = I. 7472.13 试求出GaAs的离子键比例，Ga、As的电负性分别为1.5、2.0。1 expKr2.14 Kr晶体是面心立方结构，满足勒纳-琼斯势，如果只计算到第三近邻，试求热平衡时晶体的结合能。解:3. 2面心立方结构的点阵和(4和41考虑勒纳琼斯势，惰性气体晶体的 总能量可以写为r 丫 ( V2点阵和4 = y_l认产Z工,%是以最近邻距离度量的参考原子/与仟何一个/原子之间的距离，内二乜，点阵和4和小2决定于晶体结构类型，对 r于面心立方站构,有12个最近邻，量近邻距离% = 1,有6个次近邻.次近邻距离孔二上，白24个第三近邻，第三近邻距

31、离孔=出，于是(a)只计及最近邻= 12x(1)'* =12,= 12x(l)'12 = 12(b)计及最近邻和次近黎4? = I2x< I'+ 6大(上厂=12.750d： = 2x(iy +6x(应广= 12.094(C)计及最近邻，次近邻和第三近邻3) = 12x(1)+ 6x(a/2) + 24x1| 行=13.639理=12x(1 尸 +6x(&r+24x(石广 二 12.127可以看到小打攵致得很快，而&收敛得较慢，当以上求和取到三顷后，内？已经 得到相当一致的结果,通常所来用的fbc点阵和数值是4%】4书.小=¥ 12J 3

32、m = 8.35 X10 27kg，恢第3章 晶格振动和晶体的热学性质3.1 试求由5个原子组成的一堆单原子晶格的格波频率，设原子质量 复力常数3 = 15N m解：一维单原子链的解为 Xn Aei( t qna)据周期边界条件Xi Xn i,此处N=5,代入上式即得e i(5a)q 1所以5aq =2(为整数)5由于格波波矢取值氾围：一q 。则 一a a2故可取2, 1 , 0, 1 , 2这五个值相应波矢： ,0,5a 5a 5a 5a由于 J sin %，代入 ，m及q值 m m 2则得到五个频率依次为(以rad/sec为单位) 8.06 X1013, 4.99 X1013, 0, 4.

33、99 X1013, 8.06 X10133.2 求证由N个相同原子组成的一维单原子晶格格波的频率分布函数可以表示为型(I2)1式中m j4/是格波的最高频率，并求证它的振动模总数恰为N解：对一维单原子链，dN ( )dq d(? 2 q dq所以2 %(1)dq由色散关系.qasin 2求得由于qa a cos ?ddq2 2Nam2 1/2 2N(Wmsin4 a2 qa j/2(1 sin )»1/2则由（1 ）式可得21/2),则总的振动模数为Wm2N 2(m 1/242) d,则积分限为1, 2Ncos cos d-23.3设晶体由N个原子组成，试用德拜模型证明格波的频率分布

34、函数为9N-3m解：由书上（369)式可得由(3 71)可得21 /3D m 6 n v由此可得m/3n ，代入（1 ）式得9N3 m3.4对一堆双原子链,已知原子的质量 m = 8.35X10 27kg ,另一种原子的质量常数3=15N m t ,试求光学波的最高频率和最低频率max和min；(2)声学波的最高频率(3)相应的声子能量（以 eV为单位）(4)在300K可以激发频率为. Amin和max的声子的数目;(5)如果用电磁波来激发长光学波振动,电磁波的波长大小。解:(1)Mm 4 mM m 56.701013 rad / sec1.071013 Hzmax5.993.00(2 ) m

35、ax6.6263410min3.95A max1.972 .10 eV10 2 eV1013rad /sec1013rad /sec1.0713100.950.481013Hz1013Hz一 一 191.6 104.41210 eV1w/ kT 1max0.221 ,min0.276 , max0.873光速cc 252.8 10 5mmax28 m3.5 设有一维晶体，其原子的质量均为m,而最近邻原子间的力常数交替地等于且最近邻的距离为 a/2,试画出色散关系曲线，并给出q 0和q /a处的解：设标为奇数的原子和附近为偶数的原子所处的环境不同，参看图,10B10Bx2n-1x2nx2n+1K

36、2n+2mx2n 10原子的运动方程应是2nmx2n 1x2n 1x2nx2nx2n 1即mx2nmx2n 1x2n 2x2n 1x2n 1x2n10x2n 1x2n 1 11 x2nx2n2x2nx2n 1求格波解,i 2nBei 2n qa tX2nAe 2, X2n 1代入运动方程，可导出线性方程组为:112 A - 10eiqa/2emiqa/2 biqa /2e m10e iqa/2 A 11 mA, B有非零解的系数行列式等于零的条件可得iqa /2 iqa/2 x z iqa / 2iqa/2、(10e e )(e10e)0可解出20 11v120cos qa 101 色散关系见

37、下图cosqa220，q 0时,3.6 .在一维双原子链中，如 M/m 1,求证sinqa2 (1 mm 2、cos qa) 2M证由书中（3.22 ）式知，双一维原子链声学支mMmM 114mM21/2,2 sin qa (m M )4mMmM1由近似式1 xn 1 nx ,(当x1)mmM11 4mM . 2 1/2, 2sin qa 2 (m M )2.sinM2. 2qa,sin qam M耕nqa由于M(m M)mM14mM2(M m)1/2、 sin qa m1(”)2M m4Mm4Mm21/2cos qa m1m1Oy (Mm，1 4m 2cos qa2 M4mM21/2cos

38、qa。2一 1 m2mm 2cos qa Mmcos2qa J2(1M. mm2M2、cos qa)q 处，声学支格波中所有2a3.7在一维双原子晶格振动情况中，证明在布里渊区边界轻原子m静止，而光学支格波中所有重原子M静止。画出这时原子振动的图象。2 cosqa时 cosqa 0且对声学支 2a. A证由（318）第一式得一B1/2，代入上式即得:故A = 0 ,轻原子静止再由（3 18）第二式得Fosqa2 '当q 不时cosqa 0且对光学支,1/2，代入上式即得A 2 2M故B=0,重原子静止3.8 设固体的熔点Tm对应原子的振幅等于原子间距a的10 %的振动，推证，对于简单晶

39、格,接近熔点时原子的振动频率1/2-50kBTm,其中M是原子质量。a M解当质量为M的原子以频率及等于原子间距a的10 %的振幅振动时，其振动能为:_12 2E 1M 2 A222M22 a_10在熔点Tm时,原子的能量可按照能量均分定理处理，即一个一维原子的平均能量为kB%,于是有2a10kB%,由此得一1/2250kBTma M3.9按德拜近似，试证明高温时晶格热容Cv3NkB1证明：由书可知Cv 9NkB(T/T d)304dx在高温时,D,则在整个积分范围内x为小量,因此可将上式中被积函数化简为x 4e xx 2 2e 1x/2ex/2e4x3 x x 一242x2x122x12将上

40、式代入Cv的表达式，得Cv9NkB(T/Td)3609NkB(T/TD)31203NkB 121 D20 T3.10设晶格中每个振子的零点振动能为,试用德拜模型求三维晶格的零点振动能解：由（369）式知，状态密度3V_2厂7则EoE03V2 23d3161/32V N2316 v3.11在德拜近似的基础上，讨论由一个N个原子组成的二维晶格的比热，证明在低温下其比热正比于T2 证明：（解法一） 此题可推广到任意维dN g q dqCdqm C1qm 1dqdqC1q而德拜模型中vqCvkB,kBTgkBTekBTTm1 1dx 1令x,则上式变为 kTx m 1m 1 e xCv T T2dxv

41、x 2e 1在低温时XdkTx m 1则积分_e_dxx 20 e 1为一个于T无关的常数故Cv Tm对三维m = 3 Cv T3对本题研究白二维m =2CvT2对一维m = 1CvT(解法二)德拜模型考虑的格波是弹性波，波速为vq。在二维波矢空间内,格波的等频线是一个个的圆环，如图所示v的格波的色散关系是在q (q dq)区间内波速为v的格波数目SS ddz 2 2 qdq22 v式中S是二维晶格的总面积，由此可得波速为v的格波的模式密度dz Sd()丁 27考虑到二维介质有两支格波，一支纵波，一支横波，所以格波总的模式密度格波的振动能m S 2d0vp ekBT1晶格的热容量kBTkBTk

42、BT3.12设某离子晶体中相邻两离子的相互作用势为b为待定常数,平衡间距r0 3 10 10m ,求线膨胀系数。解：由书上(3.114)式知，线膨胀系数2r0其中:d2U d7，gr013!d3U dr"r0由平衡条件dUdrr02e-2 rO9b7q9 r03.1390b2rJ4e206e2r。4990bw rO由于 r0 3 10 8m ,kB 1.381 1013r°kB16e2已知三维晶体在qAq2解:2qx4.80616 J / K51.46 10 /K1010CGSE0附近一支光学波的色散关系为Bqy Cq2Aq222Bqy Cqz2qy试求格波的频谱密度2qz

43、这是q空间的一个椭球面，其体积为1/2,b1/2q空间内的状态密度1/23 ,故椭球内的总状态数N为(2 )1/23/ 2ABCdN d1/21/2ABC4V2 AbC1/2补充习题：3.14 具有二维矩形点阵的简单晶格，设原子质量为M,晶格常数分别为a和b,最近邻原子间相互作用的恢复力为3 ,试求此系统沿qx 0; qy 0; qx qy的格波色散关系。3.15 Cu ,金刚石，NaCl晶体应该分别有几支色散关系？解：Cu有3支声学波；金刚石有3支声学波，3支光学波；NaCl有3支声学波，3支光学波。3.16 对于简立方晶胞，设原子质量为 M;晶格常数为a；最近邻原子间相互作用的恢复力为3。

44、试求此系统沿qxqyqz100; 110; 111方向的格波色散关系。3.17 对于一维单原子点阵，已知简正模式的色散关系为(q).1sin -qa2式中2dM，3为回复力系数，M为原子质量。(1)导出模式密度的精确表达式p(3)；(2)在德拜模型下，求出德拜截止频率(最大频率)3D.解答：(1) 一维简单晶格的色散关系曲线如下图所示L/a由色散关系的对称性可以看出，d 3区间对应两个同样大小的波矢空间dq. 2 /a区间对应个振动模式,单位波矢区间对应有 L/2兀个振动模式.d 3范围则包含2dqL dqL 2个振动模式.单位频率区间包含的模式数目定义为模式密度，根据这一定义可得模式密度为L

45、 dq . d由色散关系得：,1,1、 ,d 2 a m cos(2qa)dq所以，模式密度：()L2a m cos( - qa)2(2)德拜模型把晶格看作是各向同性的连续介质，把格波看作弹性波VpqDN 0( )dvp一 一Vp代入可以求出：Dpa3.18 由正负离子组成的一维原子链，离子间距为 a,质量都为m ,电荷交替变化。原子间的互作用势是两种作用势之和：(a)近邻两原子之间的短程作用，力常数C； (b)所有离子的库仑作用。求：(1)库仑力对力常数的贡献(2)色散关系解:(1) 设离广钺沿水平方向.笫n个禽/右端的第中"个离f。第"个离子间的库仑力为 (-1 产(-1-MJ-必# T ： TTF，上式右端加一负号，是我们规定坐标的正川小侑向右端,为虑到/用一Jmh/w.可将上式嘏成7G 发数、取一斑近似得r 2(% -/)/空一1 .(商 网 第n个闺/左端的第n-p个离/与第n个博间的库仑力为(-1)(-1)V/W+(/一-”广(一)产片2(普取