单位根检验新进展

1、单位根检验新进展张晓耐中国数量经济学会常务理事南开大学经济学院博士生导师xttfyt单位根检验是非经典计量经济学的重要组成部分。当人们认识到序列的非平稳性会给建立计量经济模型带来严重 影响之后，检验经济序列平稳性的单位根检验理论与方法得 到迅速的发展。目前已经形成一个比较完整的理论体系。里程碑式的论文是 Dickey的博士论文“非平稳时间序列的估计与检验”（1976）和Dickey-Fuller共同发表的论文“含有单位根的自回归时间序列估计量的分布”（1979） o对单位根检验理论贡献最大的当属Phillips。Phillips在1986、1987连续发表两篇文章，从理论上彻底解决了单位根过程

2、和虚假回归中回归参数和相应统计量的极限分布问题。按序列性质划分:按序列类型划分:按估计方法划分:非季节序列、季节随机游走、随机趋势、OLS法、拟GLS法、按序列结构划分:无突变、均值突变、 趋势突变、双突变。按研究方法划分:单位根检验蒙特卡罗模拟、数值计算、极限分布推按检验统计量性质按单位根个数划分:按检验方法划分：单根检验，双根检DF, ADF, WS, HEGY单位根检验就是检验时间序列的平稳 性。而检验时间序列的平稳性是构造经典回 归模型、时间序列模型、向量自回归模型、 面板数据模型的基础。下面分5类介绍单位根检验。1 .非季节时间序列单位根检验。2 .季节时间序列的单位根检验。3 .面

3、板数据的单位根检验。4 .退势单位根检验。5 .结构突变序列的单位根检验。五种典型的时间序列。1 .白噪声序列（white noise,属于平稳序列）。ut,uIID（0,仃2）, Cov（ui uj）=0, iwj图1白噪声序列（仃2=1）图2日元兑美元差分序列2 .随机游走序列（random walk,属于非平稳序列,图3）yt = yt-i + ut, utIID（0,仃2）, Cov（ui uj）=0, iwj 随机游走的差分过程是平稳过程（白噪声过程）。Ayt = ut。图3随机游走序列（仃2=1）图4深圳股市成分指数3 .随机趋势非平稳过程(stochastic trend pro

4、ceSs或差分平稳 过程(difference- stationary process、有漂移项的非平稳过程(non-stationary process with drift。图5随机趋势非平稳序列（N = 0.1）图6随机趋势非平稳序列（N =-0.1）yt =+ yt-1 + ut, ut IID(0,2)属于非平稳过程。N = 0.1, -0.1的情形分别见图5和6。迭代变换, yt = " + (" + yt-2 + ut-1) + ut =V0 + t + Ui = t + Ui i -1i -1当yt表示对数变量时，E( yt)表示平均增长率。4 .趋势平稳过

5、程(trend-stationary process或退势平稳过程(属于 非平稳过程，见图7)yt = 0+ 1 t + Ut, Ut = Ut-1 + Vt, ( <1, Vt IID(0, - 2)趋势平稳过程由确定性时间趋势t所主导。减去1t之后，过程变为平稳过程，所以也称退势平稳过程。整理上式，得退势平稳过程的另一种表达形式。yt = + t + yt-1 + vt, ( <1, vt IID(0,2)其中 = P0 -p (P0-P1), a=51(1-P)。以当p= 1时，必然有6=0。所以原 假设是P = 1, = =0,被择假设是< < 1, 6 *0。

6、图7 退势平稳序列(0,支=0.1)图8对数的中国国民收入序列对于单位根过程(差分平稳)，每个随机冲击都具有长记忆性。 对于退势平稳过程，随机冲击只具有有限记忆能力，由其引起的对趋 势的偏离只是暂时的。5 .确定性趋势非平稳过程 (non-stationary process with deterministic trend 如图9)。yt = + ： t + yt-1+ ut,ut IID(0, -2)迭代变换，yt = - + : t + yt-1 + ut=+ - t + ( -+ : (t-1) + yt-2 + ut-1) + utt2=y0 + N t + a t - a (1+2

7、 + t) + £ u,i 1t2=yo +t + ： t 2 -( 1+ t ) t + ' Ui2、， i42 J=(- - )t + t +Ui(设定yo=0)图人们常用对数序列检验单位根， 所以对宏观经济序列的检验 常常是在随机趋势序列和退势平稳序列之间做出选择 。单位根检 验过程中常常会把退势平稳序列误判为随机趋势非平稳序列。图11图12一,非季节时间序列单位根检验检验单位根时常会碰到如下几种问题：(1)当被检验序列(d.g.p.)的形式未知时，应该考虑到其中是 否含有随机的或确定性的 时间趋势成分。(2)被检验序列(d.g.p.)的形式通常要比 AR(1)形式复杂

8、， 可能是高阶自回归序列或含有移动平均成分。(3)当被检验随机序列含有近似单位根，但实为平稳过程(特 征根小于1,但接近1)时，在有限样本、特别是小样本条件下的单 位根检验结果容易接受原假设，误判为单位根过程，即检验功效降低。(4)应该注意的是当被检验序列中含有 结构突变点时，常导致 单位根检验易于接受零假设(非平稳过程)。(5)对于季节随机序列除了检验零频率单位根外，还要检验季节单位根。1. DF、ADF (Augmented-Dickey-Fuller)检验。最常用的一种检验方法。检验式有 3种(没有附加项时退化 为DF检验)。k yt = pyt+£ i/Ayj + u(1)k

9、 yt=c+Py_+Z y"yj + ut(2)k yt =c + at+Py+Z y/yt4 + Ut(3)原假设是yt含有单位根。DF、ADF检验属左单端检验。统计量DF、 ADF= t(例月艮从DF分布。当Tt必时，(2)式和(3)式的DF分别有如下极限分布:DF?s( 7)DFs(?)(1/2)(W(1)2 -1)1 121 /2(W(i) di)02 1(1/2)(W(1)2 -1) -W(1) . W(i)di11(0W(i)2di - 0W(i)di2)1/2临界值表见Fuller (1976)第373页或计量经济分析附表 6图13 （1）式为数据生成过程，（1） （3

10、）式的DF统计量分布的蒙特卡罗模拟建议首先按（3）式检验单位根yt = + t + yt-i + ut, ut IID（0, 2）H0： a= 0, = =1 ;（随机趋势过程）H1a: « = 0, P <1 ；（平稳过程）H1b: 丰0, 口 <1 ；（退势平稳过程）Augmented Dickey-Fuller Unit Root Test on LNEXAugmented Dickey-Fuller Test EquationDependent Variable: D(LNEX)Method: Least SquaresDate: 04/2 W5 Time: 18

11、:53Sample; 1962 199BIncluded observations: 37VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.LNEX(-1I)Q2566卯0.085362-3.0D71430.0050D(LNEX(-1)0 406554u 1334373 0467950.0045C0.666998口.1906503.357519，0.0020TREND(1962)0.D36649 0122352.9953530.0052R-squared0.360604Mean dependent var0 130131Adjusted R-square

12、d0.302477S.D dependent 7ar0123072S.E of regression0.102787Akaike info criteriond 610514Sum squared resid0.348649Schwarz criterion-1.436361Log likelihood33,79451F-statistic6.203740Durbin-Watson stat1.695385ProbfF-statistic)0.0018416时,(2)式中？的12121?W(1)0W2(r)dr-；2(W2(1)-1)0W(r)dr2212 122(r)dr)2-( 0W(r)

13、dr)2 0W2(r)drTt笛，(3)式中？和国的二? 一 t(?)= r= S(?)3A|L11 1212.3 0W (r)dr -( 0rW(r)dr)3A -2L21-0W2(r)dr-(.0W(r)dr)2图15 (2)式中t(?)的分布图16 t(和DF的比较图17 (3)式中t的分布图18 (3)式中t(的分布其中A和L1, L2都是 Wiener过程的泛函表1（2）式中t和（3）式中tand t（&的临界值（a=0.05）计算用表Test statisticsTest size ;48.?1R2 of response surface function0.012.506

14、72.56470.97t(? in model (2)0.052.80004.56890.990.103.327910.48270.990.012.78933.00260.98t(?) in model (3)0.053.09725.69680.990.103.657814.03090.990.012.7642.44570.97t(?)in model (3)0.053.06865.09020.980.103.617412.06850.98注：临界值计算公式 CV（d = 土（MG丁1）,其中T为样本容量。多重单位根的检验方法：首先对yt取足够次数的差分，从而保证被检验序列为平 稳序列。然后每

15、次用减少一次差分次数的序列依次进行单位 根检验。直至接受原假设为止。从而判断由yt的单整阶数2. T（凡1）检验（Fuller, 1976）原假设是yt含有单位根。T（廿-1）检验属左单端检验。统 计量T（凡1）服从特有分布。当检验式误差项存在自相关时， T（队1）统计量的检验功效较低。实际上，ADF检验的功效也不高。例如P=0.95时，ADF(4)的检 验功效只有14.9%。因此又提出很多单位根检验方法。3. WS (weighted symmetric 检9P ( Pantula et al., 1994)。WS检验是用后向回归和前向回归两个回归式，通过追求两个残 差平方和的加权和TT 1

16、WRSS=" wt(yt -yt)2 ' (1 - wj( ytyt 1)2 t =2t/最小，估计回归系数、计算t巾统计量、检验是否存在单位根。4. RMA (recursively mean-adjusted 递归均值调整)检验(Taylor, 2002RMA统计量是对DF统计量的一种修正计算。在估计回归系数P 和计算t那统计量的公式中，用的不是样本平均数，而是递归平均数。ty t=1,2,.Ti 15. PP (Phillips-Perron)检31 ( 1988)当DF检验式的误差项存在自相关时， ADF检验式通过附加被 检验序列的差分滞后变量完善检验。 PP检验是通

17、过附加一个修正因 子完善单位根检验。属于非参数方法。；T(f0- °)(sq?)PP 7?" f02se(i?) , f0其中t(宵表水ADF统计量，；'0表小ADF检验式中误差项方差的一，致 估计。f。表示ADF检验式中残差在零频率处的谱密度估计量。T表本样本容量，sqg表水ADF检验式中。的抽样标准差。sq表示ADF 检验式中残差&的标准差。原假设是含有单位根。PP检验属左单端检验。临界值与 DF分布相同。6. KPSS (Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin)检31 ( 1992)KPSS检验的原理是用从待检验序列中 剔出

18、截距项和趋势项的序列铝构造LM统计量LM 八 S(t)2 (T £)t其中S(t) = £ u?是残差累积函数，fo是频率为零时的残差谱密度。 i 1原假设是(趋势)平稳序列。备择假设是单位根序列。KPSS检验属右单端检验。属于非参数方法。临界值见 KPSS (1992) 166页表1。7. ERS 点最优(Elliot-Rothenberg-Stock Point Optimal 检验( 1996)用待检验序列对截距项和趋势项进行拟差分变量回归。假定拟差分系数用a 和1表示，则用相应两个残差平方和 SSR(a)与SSR(1)(称为点最优)构造ERS 统计量，SSR(a)

19、-a SSR1)ERS =-f0其中fo是频率为零时的残差谱密度。原假设是(趋势)平稳过程。ERS点最优检验属右单端检验。检验临界值见 ERS (1996)表18. NP (Ng-Perron)检验( 2001)Ng-Perron( 2001)基于GLS退势数据构造了 4个检验统计量(MZa, MZt, MSB, MPt)。属于非参数检验方法。(EViews 5.0有NP检验)二.季节时间序列的单位根检验1. DHF (Dickey-Hasza-Fuller)检31 ( 1984)把非季节序列的DF检验直接推广到季节序列，用季节自回归检验式 sYt = Yt-s Ut估计Ps,构造季节DF统计

20、量。左单端检验。2. HEGY (Hylleberg-Engle-Granger-Yo。检91 ( 1990)通过对季节差分算子进行因式分解，1-L4 =(1-L)(1 + L)(1-iL)(1 + iL),从而把季节单位根问题转化为序列在 0、1/2、1/4频率上的单位根检验问题。属于左单端检验。HEGY (1990)给出临界值。见计量经济分析。3. Kunst 检验( 1997)Kunst检验在DHF检验式基础上又多加了季节周期 s以前各滞后期的滞后 变量。sYt = "1Yt-1 - . - "s-1Yt-(s-1) - :Yt-s - Ut原假设是41=.=% =

21、Ps=0 (有单位根)。检验统计量为 F。Kunst (1997)给 出临界值。4. A.M.R. Taylor (2005)在计量经济学杂志第124期上提出用 方差比(variance ratio)统计量检验季节单位根。三.面板数据的单位根检验 (相同根(common unit root情形)1. Quah 检验( 1990)Quah (1990)首次把DF检验直接用于面板数据的单位根检验。检验式是Yit = %-5, i=1_,N;t = 1,2,.T;UitlID(0,02)也就是把N个同期时间序列混合在一起检验单位根。H0：P=1, H1: P <1 0Quah指出当NT同时趋近

22、于无穷大，且速度相同(N / T为常数)时，DF渐近服从标 准正态分布。2. LL (Levin-Lin)检验(1992)Levin-Lin (1992)又t Quah检验式进行推广。允许漂移项和趋势项进入检 验式，并仿照ADF检验允许加入附加项。并假定 NT同时趋近于无穷大，N / T 趋近于零。Yit 二c : t :yj 一二：Jj Ft, 5, i =1,.,N;t =1,2,.T;Uitl_ IID(0,二2)t(0 渐近服从 N(0,1)分布。H°：P=1, Hi：P<13. LLC (Levin-Lin-Chu)检验( 2002)LLC仍采用ADF检验式形式。但使

23、用的却是Ay8和y,的代理变量。具体做 法是(1)先从Ay*和丫中剔出Ay*和确定项的影响,并使其标准化，成为代理 变量。(2)用代理变量做ADF回归 “*= y Yx * + %。t(宵渐近服从N(0,1) 分布。H0=1, H1 :二1。4. Breitung 检验Breitung检验法与LLC检验法类似。先从 与让和yit中剔出动态项 必让,然 后标准化，再退势，最后用ADF回归 yit* = y yit-1 * + Vit检验单位根。5. Hadri 检验Hadri检验与KPSS检验相类似。原假设是面板中的所有序列都不含有单位 根。计算步骤是首先用原面板数据的退势序列(残差)建立 LM

24、统计量ti 11 一LM =一 “ N 一t其中Si(t) =Z Ut是残差累积函数，f°是频率为零时的残差谱密度。 s4.面板数据的单位根检验（不同根（individual unit root）情形）6. IPS （Im-Pesaran-Shin ）检验（1997,2002）IPS检验克服了 LL检验的缺陷，允许面板中不同时间序列的也不同。IPS检验式是Yit =c ： t %八：Jj yitUit, i =1,，N;t =1,2,T;Uit L IID （0,二 2）量 Zr=-t=E然后用N个R相应的t（的计算平均值§?）=1£ t（?）。再用玛？）构造面板

25、ips检验用统计 .Var（t）/ NZt渐近服从N（0,1）分布。临界值与 N、T以及检验式中是否含有确定项有关系。IPS检验为左单端检验。7. MW （Maddala-Wu）检验（ 1997）IPS检验和LL检验的缺陷是只适用于平衡面板数据，为解决此问题， Maddala-Wu （1997）提出了组合p值检验。其中p表示ADF检验的显著性水8. 崔仁（In Choi）检验（2001）崔仁（ 2001）提出了两种组合p值检验统计量。其中p表示ADF检验的显 著性水平。Maddala-Wu检验和Choi检验又被称作Fisher-ADF检验。9. Vanessa（Vanessa et aQ 检验

26、（2004）Vanessa等（2004）利用单变量中的 WS （加权对称）检验构造了面板数据 的单位根检验方法。三.面板数据的单位根检验（个体协整条件下的面板单位根检验）个体协整条件下的面板单位根检验是一个尚不完善的领域。Crowder（1997）发现面板数据中随着协整个数的增加，LL检验统计量t偌的分布开始向左偏移。当协整个数增加到13个时，t（0的分布变为双峰分布。10. Taylor-Sarno检验（ 1998）为了克服上述问题，Taylor-Sarno检验基于Johanson的协整检验方法提出了面板VAR的JLR检验。LL (Larsson-Lyhager1检验(1999)也提出了类似

27、 的检验方法。在单位根检验理论逐步完善的过程中，人们发现1 .当自回归系数接近1时，在小样本条件下 DF、ADF检验的功效(test power)很低。即DF、ADF检验能正确检出序列平稳(拒绝单位根假设)的概 率很低。2 .经济时间序列在变化的同时常常伴有结构上的变化，其中包括均值突变、趋势突变以及均值和趋势的双突变。结构上的突变常常会使单位根检验的功效 降低，即容易把带有结构突变的趋势平稳过程误判为单位根过程。图1927.026.526.025.525.024.524.0图21 香港月度GDP图22中国年人口总数从而使单位根检验理论又开辟出两个新领域。(1)为解决DF、ADF检验功效低的问

28、题，提出退势单位根检验；(2)为解决序列结构突变给单位根检验带来的影响，提出结构突变的单位 根检验。四.退势(detrending)单位根检验时间序列中的趋势因素是导致 DF、ADF检验检验功效降低的主要原因。 为 了克服DF、ADF检验功效(test power)低的缺陷，人们采取对待检时间序列 退势的方法提高单位根检验功效。主要有四种退势方法。1. OLS退势Sargan-Bhargava (1983剂 Bhargava (1986)采取 OLS 退势方法，即用原序 列对确定性时间趋势项进行OLS回归，然后利用冯纽曼比(Von Neumammratio)统计量对相应残差序列(OLS退势后的

29、原序列)进行单位根检验。Stock (1995)专门研究了时间序列中含有 线性趋势项的情形。Schmidt-Phillips (1992)专门研究了时间序列中含有 多项式时间趋势项的 情形，并提出广义冯纽曼比单位根检验 (Generalized Von Neumamm ratio unit root test法。OLS退势序列的单位根检验称作 DF-OLS检验。2. GLS退势Eilliot (1996)提出GLS退势。具体做法是首先对原序列、检验式中截距项 对应的常数1序列与时间趋势序列用一个确定的参数g = 1-7/T与口 = 1-13.5/T)进行拟差分(quasi- differenc

30、e变换，利用拟差分序列进行广义最小二乘回归 (GLS)继而得到回归系数的广义最小二乘估计量。然后利用这个回归参数给 原序列退势，进而用退势的序列进行单位根检验。GLS退势序列的单位根检验称作 DF-GLS检验。3. KGLS退势Eilliot在1996年提出GLS退势的基础上，又于1999年提出KGLS退势方 法。KGLS退势与GLS退势方法的不同点在于前者对序列做的是拟差分，而后 者是对序列进行广义差分，即对第一个观测值进行Kadiyala (卡迪亚拉)增补。KGLS退势序列的单位根检验称作 DF-KGLS检验。4. ROLS (递归OLS)退势Shin-So (2001)和Taylor (

31、2002)提出采用动态模型y 一=(乂-1 一)u的方式为待检验时间序列退势(Ut是一个退势序列)。上式运算过程中，不是用、，、，-，I-一 一，-，1ti,序列的样本平均数y退均值，而是米用递归平均数 yt=1£九（1=12.,丁）退均t p值。然后用P的递归OLS估计量因对原序列进行ROLS （递归OLS）退势。对序列先退势，然后作DF、ADF检验会在某种程度上提高检验功效。四种退势方法与五种单位根检验方法相结合的检验功效比较。我们用四种退势方法（OLS退势、GLS退势、KGLS退势、ROLS退势） 与五种单位根检验方法（DF检验、ADF检验、RMA检验、WS检验、MAX检 验）

32、相组合，研究20种单位根检验方法的功效，结论是：（1）用退势方法检验单位根比不用退势方法检验单位根的功效都有一定程 度的提高；（2）递归退势RMA （递归均值调整）单位根检验的功效最高；广义最小二乘退势DF （GLS-DF）单位根检验的功效次之；其他检验方法再次之。（3）各种退势方法均不能有效地提高 T（区-1）统计量的检验功效。五.结构突变序列的单位根检验实践证明，对于在趋势或水平值存在结构突变的过程来说，如果不考虑这 种突变，用ADF统计量检验单位根时，将会把一个带趋势突变或水平值突变的 退势平稳过程误判为随机趋势非平稳过程。即进行单位根检验时不考虑结构突 变，会导致检验功效降低（实为退势

33、平稳过程，检验结果却认为是单位根过程）1. Perron （19叫 1990T法如果时间序列的结构突变点已知，那么采用在 ADF检验式中加入描述结构 突变的虚拟变量就可以了。序列中含有多少个突变点，就相应加入多少个虚拟 变量。检验单位根的零假设是时间序列是含有结构突变点的单位根过程；备择假设是：时间序列是 含有结构突变点的趋势平稳过程。检验用临界值从 Perron （1989, 1990）中查找。1086420-2J 1 ! 1 1 11 ! 1 I 81 1 L 1 ! 1 1 11 1 L11 L 111 11 1 I ! 11102030405060708090100例：有T=100的均

34、值突变平稳过程yt如图20。ADF检验式估计结果是yt = -0.0119 yt-0.3656 y. + Ut(-0.5)*(-3.8)R2=0.14, DW=2.07, ADF(0.05)= -1.94,T=100由于ADF检验式没有考虑均值突变，检验结果yt是单位根过程。用虚拟变量(D=0, (1-50); D=1, (51-100)区别突变前后两个时期，得ADF检验式如下:yt = -0.9499 yt-1 + 0.0126 yt-1 + 0.2714 + 7.3115 D + ut(-5.9)*(-0.1)(1.5)(5.7)R2 = 0.37, DW=1.84, ADF(0.05)

35、= -1.94,T=100因为ADF= -5.9 < -1.94 ,所以，yt为带有均值突变的退势平稳过程。2. Zivot-Andrews (1992)方法Z-A, (1992)在Perron信息值离群(IO )检验式的基础上，取消 结构突变点已知的约束，将其内生化。检验式中含有描述内生结构突变的虚拟变量， 并设定突变点在整 个样本范围内移动，将得到一个单位根检验统计量序列。 从中选择最 小的一个与临界值比较。若大于临界值，则接受原假设，若小于临界 值，则接受备择假设。ZA检验零假设与Perron不同。零假设是时间序列为不含有结 构突变的单位根过程。3. BLS (Banerjee-L

36、umsdaine-Stock, 1992)方法Banerjee, Lumsdaine and Stock, (1992采取在原样本范围内连续抽取不同子样本的方式提出3种检验方法。递归检验、滚动检验和循序检验。3种检验方 法得到的都是一个 单位根检验统计量值的序列。从中选择最小的一个值与临界 值比较。若大于临界值，认为原序列是单位根过程（原假设）；若小于临界值， 认为原序列是带有结构突变的趋势平稳过程（备择假设）。临界值在 Banerjee, Lumsdaine and Stock （1992 的表 1、2 中查到。递归（recursive检验的方法是首先从原样本第一个观测值开始，先取一个样本容

37、量为原样本容量1/4的子样本，然后，按顺序子样本每次增加一个观测值， 直至子样本与原样本容量相同。在每一个子样本条件下，估计ADF统计量，将得到一个ADF值序列。用其中的最小值与临界值比较。pyt =+ t +- yt-i +% yt+ ut i 4滚动（rolling）检验的方法是选一个固定的子样本容量（一般取原样本容量 的1/3）,让子样本范围在原样本范围内逐期平移。通过检验，同样会得到一个 ADF值序列。用其中的最小值与临界值比较。pyt =+ t + ： yt-i +vyt+ uti 4循序（sequential检验与ZA （Zivot-Andtews, 1992）检验相似，给出带确 定项和描述结构突变