勾股定理的十六种证明方法大学论文

1、勾股定理的十六种证明方法【证法11GIF西此主题相关图片如下:做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.a、b,斜边长为c,再做三个边长分别为a、b、从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ,所以面积相等.即aA2+bA2+4*(ab/2)=cA2+4*(ab/2)整理得到：aA2+bA2=cA2。【证法2】以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab/2 .把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使 A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G D三点 在一条直线上. Rt H

2、AE 里 Rt EBF, /AHE = /BEF./AEH + /AHE = 90o,/AEH + / BEF = 90o ./HEF = 180o 90o= 90o正方形.它的面积等于cA2. Rt GD2 Rt HAE, /HGD = /EHA./HGD + /GHD = 90o,/EHA + / GHD = 90o .又丁 /GHE = 90o, /DHA = 90o+ 90o= 180o .ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于(a+b)A2(a+b)A2=cA2+4*(ab/2),: aA2+bA2=cA2。GIF西此主题相关图片如下:【证法3】以a、b为直角边（ba）

3、,以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab/2 .把这四个直角三角形拼成如图所示形状. Rt ADAH Rt A ABE, /HDA = /EAB. /HAD + /HAD = 90o, /EAB + /HAD = 90o,EF = FG =GH =HE = b a ,ZHEF = 90o .EFGH是一个边长为b a的正方形，它的面积等于(b-a)A2.(b-a)A2+4*(ab/2)=cA2,: aA2+bA2=cA2四此主题相关图片如下:GIF【证法4以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab/2.把这两个直角三角形拼成如图

4、所示形状，使A、E、B三点在一条直线上. RtAEAD / RtACBE, /ADE = /BEC. /AED + /ADE = 90o, /AED + /BEC = 90o. /DEC = 1801 90o= 90q DEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于cA2/2.又 / DAE = 90o, / EBC = 90o,AD / BC.(a+b)A2/2=2*ab/2+cA2/2,aA2+bA2=cA2 。四此主题相关图片如下:CIF【证法5】把它们拼成如图那样的一个做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ,斜边长为c.多边形，使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线

5、交DF于点P. D、E、F 在一条直线上,且 Rt A GEF / Rt EBD, /EGF = / BED /EGF + /GEF = 90 , /BED + /GEF = 90 , /BEG =180)90o= 90o .又. AB = BE = EG = GA = c , ABEG是一个边长为 c的正方形. /ABC + /CBE = 90o. Rt A ABC / Rt EBD, /ABC = /EBD /EBD + /CBE = 90o.即 /CBD= 90o.又丁 /BDE = 90o, /BCP = 90o,BC = BD = a . BDPC是一个边长为 a的正方形.同理，HP

6、FG1一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE勺面积为S,则aA2+bA2=S+2*ab/2 cA2=S+2*ab/2aA2+bA2=cA2 。此主题相关图片如下:【证法6】做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b (ba),斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使E、A C三点在一条直线上.过点Q作QP/ BC交 AC于点P.过点B作BMLPQ垂足为 M 再过点F作FNLPQ垂足为N. /BCA = 90o, QP/ BC /MPC = 90o, BML PQ/BMP = 90o,BCPM是一个矩形，即/ MBC = 90o .ZQBM + /MB

7、A = ZQBA = 90o,/ABC + / MBA = / MBC = 900,ZQBM = /ABC又/BMP = 900, /BCA = 900, BQ = BA = c ,Rt BMg Rt BCA同理可证 Rt A QNF Rt AAEF3从而将问题转化为【证法 4】（梅文鼎证明）四此主题相关图片如下:CIF【证法7】做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 H C B三点在一条直线上，连结 BF、 CD过C作CUDE交 AB于点M,交DE于点L.AF = AC , AB = AD,/ FAB = / GAD:A FAB AGAD FAB的面积等于aA2/2

8、, GAD的面积等于矩形ADLM勺面积的一半，矩形ADLM勺面积=aA2 .同理可证，矩形 MLEB的面积=bA2 .正方形ADEB勺面积=矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积aA2+bA2=cA2 。GIF四此主题相关图片如下:【证法8】如图，在RtABC中，设直角边ACBC的长度分别为a、b,斜边AB的长为c,过点C作CDLAB垂足是D.在 AADCW CB中， /ADC = /ACB = 90o,/ CAD = / BAC:DCs A ACBAD： AC = AC : AB即 ACA2=AD*AB同理可证，ACDBs AACEB从而有BCA2=BD*ABACA2+BCA2=(AD+BD

9、)*AB=ABA2 即 aA2+bA2=cA2西此主题相关图片如下:GIF【证法9】做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b (ba),斜边长为c,再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形 ,过A作AF，AC AF交GT于F, AF交DT于R 过B作BPLAF,垂 足为P.过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为 E, DE交AF于H. /BAD = 90o, /PAC = 90o, /DAH = /BAC.又丁 /DHA = 90o, /BCA = 90o,AD = AB = c , Rt ADHA Rt ABCADH = BC = a , AH = AC = b .

10、由作法可知，PBCA是一个矩形，所以 Rt APB / Rt BCA 即 PB =CA = b , AP= a ,从而 PH = b a . Rt DGT里 Rt BCA ,Rt DHA里 Rt BCA Rt ADGT Rt A DHA .DH = DG = a , /GDT = /HDA .又丁 /DGT = 90o, /DHF = 90o,ZGDH = ZGDT + ZTDH = ZHDA+/TDH = 90o,DGFH是一个边长为a的正方形.GF = FH = a . TFAF, TF = GT GF = b aTFPB是一个直角梯形，上底 TF=b-a,下底 BP= b,高FP=a +

11、 (b a)用数字表示面积的编号(如图)，则以c为边长的正方形的面积为GIF日此主题相关图片如下:一区+ 18 - b i t + g - & | _ -ab22 1把代人，得1+/-品-与+&+$9设直角三角形两直角边的长分别为a、b (ba),斜边的长为c,做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 A、E、G三点在一条直线上,用数字表示面积的编号(如图), / TBE = ZABH = 90o, /TBH = /ABE.又丁 /BTH = /BEA = 90o,BT = BE = b , Rt AHBT 里 Rt A ABEHT = AE = a .GH = G广HT

12、 = b a .又丁 /GHF + /BHT = 90o,/DBC + /BHT = /TBH + / BHT = 90o, /GHF = /DBC.DB = EB ED = b a,/HGF = /BDC = 90o,Rt HGF/ Rt BDC 即 S7=S2.过 Q作 QIVLAG 垂足是 M 由/BAQ = /BEA = 90o,可知 /ABE=/QAM 而 AB = AQ = c，所以 Rt A ABE / Rt A QAM. X Rt AHBTRt ABE 所以 Rt HBT / Rt QAM,即 S8=S5.由 RtABE / Rt AQAM 又得 QM = AE = a, /A

13、QM= /BAE. /AQM + /FQM = 90o, /BAE + /CAR = 90o, /AQM = /BAE /FQM = /CAR.又丁/QMF = /ARC = 90o, QM = AR = a,Rt QM* Rt A ARC 即 S4=S6西此主题相关图片如下:1 =S1 + S)+区+4 + 应，又73二应，国:凡，巴二品,二舒+黜=M+&+应+勒+0= S-S* +/ +通 +汽二”, 即/十/二4【证法11】在RtABC中，设直角边 BC = a, AC = b,斜边AB = c,如图，以B为圆心a为半径作圆，交 AB及AB的 延长线分别于 D、E,则BD = BE =

14、BC = a ,因为/ BCA = 90o,点 C在。B上，所以 AC是。B的切线,由 切割线定理，得GIF此主题相关图片如下:ACAEAD= + 5i AB-BD即 b2 =c2-a【证法12】在RtAABC中,设直角边BC = a , AC = b ,斜边AB = c （如图）.过点A作AD / CB,过点B作BD / CA , 则ACBD为矩形，矩形 ACBD内接于一个圆.根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘 积之和，有GIF四此主题相关图片如下:AB =DC = c, AD = BC = a, AC = BD = b,AB2 =BC2 即 /二 M+儿bD_A、【证法1

15、3】作RtABC的内切圆。O,切点分别为 D、E、在RtAABC中,设直角边 BC = a, AC = b ,斜边AB = c .（如图），设。O的半径为r.AE = AF , BF = BD , CD = CE , AC+BC-AB= (AE+CE) + (BD+CD) -(AF-BF)=CE+CD= r + r = 2r,IF四此主题相关图片如下:a = 2r -a +B i3 = 1设直角三角形两直角边的长分别为a、b,斜边的长为c,作边长是a+b的正方形ABCD把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为 （a+b） A2=aA2+2ab+bA2 ;把正方形 ABCDJ分成上方右