切比雪夫高通滤波器课程设计要点

1、燕山大学课程设计（论文）任务书课程名称：数字信号处理课程设计基层教学单位：仪器科学与工程系 指导教师：刘永红学号学生姓名专业（班级）设计题目27切比雪夫高通滤波器设计设计技术参数采样频率为100Hz，低频、中频、高频彳言号频率分别为5Hz、15Hz、30Hz设 计 要 求产L个连续信号，包含低频率，中频，高频分量，对其进行采样，进行频谱 分析。设计高通滤波器对信号进行滤波处理，观察滤波后信号的频谱。分析该类型滤波器与其他类型低通滤波器（如butterworth） 优势及特点参 考 资 料数字信号处理方面资料MATLA的面资料周次前半周后半周工 作 计 划收集消化资料、学习 MATLA瞅件，进

2、行相关参数计算。编写仿真程序、调试。指导教师签字基层教学单位主任签字说明：1、此表一式四份，系、指导教师、学生、各一份，报送院教务一份。2、学生那份任务书要求装订到课程设计报告前面。刖百随着科学技术的发展，信号处理理论和分析方法已应用于许多 领域和学科中。信号处理方面的课程，是工科专业非常实用的课程。在对信号进行分析处理时，信号中经常伴有噪声。根据有用信 号和噪声的不同特征，消除或削弱干扰噪声、提取有用信号的过程称 为滤波，实现滤波功能的系统称为滤波器。在对信号进行传输、检测 及估计的过程中，都要广泛的使用滤波器。当信号和噪声的频带不同 时，可使用具有选频特性的经典滤波器。本质上说，滤波就是改

3、变信 号中各频率分量的相对幅度和相位。 根据滤波器的信号性质，可将其 划分为模拟滤波器和数字滤波器。 模拟滤波器处理掉是连续信号，数 字滤波器处理的是离散时间信号。本文通过对采样信号进行频谱分析和利用设计的切比雪夫高通 滤波器对采样信号进行滤波处理，并对仿真结果进行分析和处理。应 用了 MATLAB设计切比雪夫高通滤波器过程中常用到的工具和命 令。利用MATLAB设计函数直接实现切比雪夫滤波器的设计，介绍 了切比雪夫滤波器的基本理论和设计思想，给出了基于MATLAB设计切比雪夫高通滤波器的具体步骤和利用 MATLAB产生一个包含低 频、中频、高频分量的连续信号，并实现对信号进行采样和分析以及

4、与其他类型的滤波器的比较。第一章数字滤波器的概述21.1 数字滤波器的设计方法21.2 数字滤波器的性能要求21.3 数字滤波器的技术要求 2第二章 基于切比雪夫I型无限脉冲响应IIR数字高通滤波器的设计依据和原理32.1 课设任务32.2 IIR数字滤波器42.3 由模拟滤波器设计IIR数字滤波器52.4 数字高通滤波器的设计（本设计采用双线性变换法） 7第三章基于切比雪夫I型无限脉冲响应IIR数字高通滤波器的具体设计过程93.1 计算过程93.2 用MATLAB 设计程序123.3 切比雪夫滤波器与巴特沃兹滤波器的比较 17第四章总结174.1 心得体会 174.2 参考文献 -18第一章

5、数字滤波器的概述1.1 数字滤波器的设计方法数字滤波器的设计方法有多种，如双线性变换法、窗函数设计法、插值逼近法和 Chebyshev逼近法等等。1.2 数字滤波器的性能要求我们在进行滤波器设计时，需要确定其性能指标。一般来说，滤波器的性能要求往往以 频率响应的幅度特性的允许误差来表征。以低通滤波器特性为例，频率响应有通带、过渡带及阻带三个范围。如图 1-1所示：在通带内：1 - Ap w H (ej°)| w 10 W 8 W n在阻带中：H (ej，m Ast05 st w ®工式其中®c为通带截止频率，®st为阻带截止频率， Ap为通带最大衰减，A

6、st为阻带最大 衰减。3图1-1低通滤波器的幅频特性指标示意图1.3数字滤波器的技术要求滤波器技术要求主要包括 4个方面。即：滤波器的截止频率低通滤波器的截止频率主要包括通带截止频率(又称通带上线频率)® p和阻带下限截止频率“1 ；高通滤波器的截止频率主要包括通带截止频率(下限频率)° p和阻带上限截止频率环；带通滤波器的截止频率主要包括通带下限截止频率& 1 ,通带上限截止频率 : h ,下限通带截止频率”以及上阻带截止频率 “sh；带阻滤波器的截止频率与带通滤波器一致，也主要包括通带下限截止频率0 1 ,通带上限截止频率0 h ,下阻带截止频率 0 sl ,以

7、及上阻带截止频率 0 sh。带通带阻的容限a a , aa.滤波器中带通带阻的容限p与s的具体技术指标，往往由允许的最大衰减°及阻带应达到的最小衰减as给出。通带及阻带的衰减 ap, as分别定义为：H(ej0)|ap=20lge=-20lgH(e")as =20lg lH(e，| -20lg H(e胤) s y H(e力 y ')式中均假定 H(ej°)已被归一化为1.例如当 H (e )在8 P处下降为0.707时，ap=3db,在外处降到 0.01 时，as=40db.第二章基于切比雪夫I型无限脉冲响应IIR数字高通滤波器的设计依据和原理2.1 课设

8、任务产生一个连续信号，包含低频，中频，高频分量，对其进行采样，进行频谱分析。设计高通滤波器对信号进行处理，观察滤波后信号的频谱。要求通带截止频率fp=30Hz ,通带衰减rp=0.1dB;阻带截止频率fr=20Hz ,阻带衰减rs=40dB。采样频率fs=100Hz,采用切比雪夫I型IIR滤波器。2.2 IIR数字滤波器IIR数字滤波器设计原理(a)按一定规则将给出的数字滤波器的技术指标转换为模拟滤波器的技术指标;(b)根据转换后的技术指标设计模拟低通滤波器H (s);(c)在按一定规则将H (s)转换为H。若所设计的数字滤波器是低通的，那么上述设计工作可以结束，若所设计的是高通、带通或者带阻

9、滤波器，那么还有步骤：(d)将高通、带通或者带阻数字滤波器的技术指标先转化为低通滤波器的技术指标，然后按上述步骤(b)设计出模拟低通滤波器 H (s),再由冲击响应不变法或双线性变换将H (s)转换为所需的H (z)。s-z映射的方法有：冲激响应不变法、阶跃响应不变法、双线性变换法等。下面讨论双线性变换法。双线性变换法是指首先把s平面压缩变换到某一中介平面si的一条横带(宽度为2nT ,即从一nT到兀T),然后再利用z = es1t的关系把si平面上的这条横带变换到整个 z平面。这样s平面与z平面是一一对应关系，消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠 现象。Qs平面到z平面的变换可采用tan(2

10、-5)J=J.1T e 21Te -(2-6)二S有:从si平面到z代入上式，得到:史 里* 2-2e - e史SiTeTe N平面的变换，即-siTe1 e"iTs"z = e1 - z，s =71 z(2-7)(2-8)(2-9)般来说，为使模拟滤波器的某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系,可引入代(2-10)定常数c,1 - z1s = c 1则1 , z(2-11)这种s平面与z平面间的单值映射关系就是双线性变换。有了双线性变换，模拟滤波 器的数字化只须用进行置换。2.3由模拟滤波器设计IIR数字滤波器理想的滤波器是非因果的，即物理上不可实现的系统。工程上常用的

11、模拟滤波器都不是理想的滤波器。但按一定规则构成的实际滤波器的幅频特性可逼近理想滤波器的幅频特性， 例如巴特奥兹(Butterworth)、切比雪夫(Chebyshev)滤波等。切比雪夫滤波器的原理：特点：误差值在规定的频段上等幅变化。巴特沃兹滤波器在通带内幅度特性是单调下降的，如果阶次一定，则在靠近截止频率0 c处，幅度下降很多，或者说，为了使通常内的衰减足够小，需要的阶次N很高，为了克服这一缺点，采用切比雪夫多项式逼近所希望H(j。)2。2切比雪夫滤波器的H(jC)在通带范围内是等幅起伏的，所以同样的通带衰减，其阶数较巴特沃兹滤波器要小。可根据需要对通带内允许的衰减量(波动范围)提出要求，如

12、要求波动范围小于 1db。振幅平方函数为21A(i)=Ha(jj)=-1 ML)c(3-7)式中 Q 一有效通带截止频率一与通带波纹有关的参量，名大，波纹大，0 MM 1。VN (X) -N阶切比雪夫多项式，定义为VN (x) = cos(N cos x), x < 1Vn (x) = cosh(N cosh x), x > 1(3-8)三1时，VN(X)< 1,Vn(x)(3-9)如图3-1,通带内Ha(jC)20N为偶数,N为奇数,Ha (囚)，变化范围1,H a( jC ) T 0 (迅速趋于零)Ha(jC)A2Ha(j)有关参数的确定:a.通带截止频率，预先给定;b.

13、由通带波纹表为 Cc8sNarcos(0)1 + "(N；)cos2(N万)=1( min)(3-11)(3-10)2 二、/ cos (N 一)12=0( max)(3-12)"二 201gHa(j1 3max20Ha(j' Jmin=10lg (1给定通带波纹值分贝数 6(dB)后，可求名。A2c.阶数N-由阻带的边界条件确定。(Qr ,A事先给定)。=c,时,Ha(jG)12 MA2(3-13)(3-14)(3-15)(3-16)A2(3-17)x >1 时,得VN (x) = cosh(Nar coshx)arcosh( A2-1/ )Narcosh(

14、j.c)(3-19)(3-20)2.4数字高通滤波器的设计（本设计采用双线性变换法）双线性变换法的原理：双线性变换法是采用非线性频率压缩的方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到 sT一冗丁 几丁之间，再用z = e 转换到z平面上。也就是说，第一步先将整个s平面压缩sT映射到S1平面的nT nT 一条横带里；第二步再通过标准变换关系z = e将此横带变换到整个Z平面上去。这样就使 S平面与Z平面建立了一一对应的单值关系，消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象，映射关系如图所示。图1-2映射关系为了将S平面的整个虚轴jC压缩到S1平面j0轴上的一"/T "/T段上，可以通过以

15、下的正切变换实现二tanTiT2 -二'T 一 . 、一 .二T 一当 1由 T经过0变化到 1 1时，C由-8经过0变化到+8,也即映射了整个jC轴。将式（3-5 ）写成j - 1T2卜仃22 e eT ej1T 2 . e,1T2将此关系解析延拓到整个S平面和S1平面，令jC = s, j0 1 = s1则得2 e s =T eT2 $T2-e"2 .2 T 1 .4T再将S1平面通过以下标准变换关系映射到z平面z = e从而得到S平面和Z平面的单值映射关系为:21 - z1s 斤1T2fs(3-6), T 21 s s7 -2- Tz 一 一1-Ts 2.s2 T(3-

16、7)式（3-6）与式（3-7）是S平面与Z平面之间的单值映射关系，这种变换都是两个线性函数之比，因此称为双线性变换式（3-5 ）与式（3-6 ）的双线性变换符合映射变换应满足的两点要求。把 z = ej°j = j2fstan(3-8)即S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆。其次,+ j0代入式（3-8）,得因此仃> 0时，z > 1。也就是说，s平面的左半平面映射到Z平面的单位圆内，S平面的右半平面映射到 Z平面的单位圆外，S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆上。因此，稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得的数字滤波器也一定本设计总体设计步骤为:(1)确定数字高通滤波器的技术指标0

17、p、0s；(2)将数字高通滤波器的技术指标转换成高通模拟滤波器的技术指标为建=(2/T )tan3/2)；G(p)(3)利用频率变换 '"1/"将模拟高通滤波器技术指标转换成归一化模拟低通滤波器 的技术指标；(4)设计模拟低通滤波器G(p),并去归一化得：(5)采用双线性变换将模拟低通滤波器H(s)转换成数字低通滤波器H(z):21 -zs =T 1 z(6)采用频带变换，将数字低通滤波器转换成所需类型的数字高通滤波器。第三章基于切比雪夫I型无限脉冲响应IIR数字高通滤波器的具体设计过程3.1 计算过程(1)数字高通滤波器的技术指标：fp=30,rp=0.1fr=2

18、0,rs=40,fs=100wp=0.6 兀，ws=0.4 兀(2)将数字高通滤波器的技术指标转换成模拟高通滤波器的技术指标(令 T=2s):2 A " p " Q p = tan T 12 J=0.72652,cs = tans T12=0.3249(3)相应低通滤波器的技术指标:, p =1, p =0.1-=2,236,：. s =40s(4)设置归一化低通模拟滤波器 G(p)各项指标:1k1_ Iio"-1 _ Iio4-1ho,I。0。1-1=621.456J archk1 arch sarCh621.456 = 5(N取大于或等于N的最小整数) arc

19、h2.236=.100.1 p _1 = 0.5(5)将极点P,N和'代入Ga( P); N；2【(P- Pi)上 1I ,求低通模拟滤波器G(p):Ga(p)=50.52【(P- Pi)i 1h (2-1)二 * pk =-ch sinjch cos2N11=arsh 0.2887(2k -1)二；k =1,2,3,4,5 2NPi = -ch(0.2887)sinTt10jch(0.2887)cosji10=-0.322 j0.99P2= -ch(0.2887)sin3 二10jch(0.2887) cos3 二10一-0.843 j 0.6124P35 二-ch(0.2887)s

20、in 10jch(0.2887) cos5 二10-1.042P4-ch(0.2887)sin7 二10jch(0.2887) cos10=-0.843- j0.61249 二9 二P5 = -ch(0.2887)sinjch(0.2887)cos=-0.322- j0.991010可得：Ga(P)=18( p 1.042)(p2 0.644P 1.084)(p2 1.686P 1.084)归一化:Ha(s) = Ha(p)p/Q,1 1、j c Dch( arch ) c P N :(6)利用双线性变换将模拟低通传输函数H a (s)转换为数字低通滤波器系统函数H'(Z)：H|(z)

21、 = Ha(s)|s =T1 z 用频带变换法将数字低通Hi(z)转换成数字高通H(z)：一，、0.0566 -0.2830zA 0.5660z，-0.5660z与 0.2830z4 - 0.5660z/H =ioo4S1 0.0227z1.0572z0.3921z0.3410z0.1722z3.2 用MATLAB设计程序输入信号t=i：i00；s1=sin(2* pi*t*5);s2=sin(2*pi*t*15);s3=sin(2*pi*t*30);s=s1+s2+s3;plot(t,s) xlabel('时间(s),)ylabel('幅值')对输入信号采样Fs=10

22、0;t=(1:100)/Fs;s1=sin(2* pi*t*5);s2=sin(2*pi*t*15);s3=sin(2*pi*t*30);s=s1+s2+s3;plot(t,s)xlabel('时间(s),)ylabel('幅值')切比雪夫高通滤波器的设计Rp=0.1;Rs=40;Wp=30*2/Fs;fr=20;n,Wn= cheb1ord(Wp,2*fr/Fs,Rp,Rs,'s');b,a= cheby1(n,Rp,Wn,'high');H,w=freqz(b,a,512);plot(w*Fs/(2*pi),abs(H);xlabel

23、('频率(Hz)');ylabel(' 频率响应图');grid;File Edit View Insert Tools Desktop Window Help19 8 7 O.Q £34o.o.o.画臼兽谕s1 1 1 1 II <1 4 4 i i 4 4 111d 4 4 4 13 4 4 4 9 114 4 1H 14 4 1， 1 4 1 1 4 4 1 1 1 1 * j匚LI1141111114! 1q1iaiIIiIlinli111ririIHIlIII1Iilii1 K_ _ _ _ L _: :1 ri !l i i i i

24、4 i i<1 i 4 i i 4 1 1i d i Illi14419i ： ： ： Hi!:；!M M Udii11*J/ 一一一 _ _L I i i101520253035404550频率(Hz)对滤波后的信号进行分析和变换sf=filter(b,a,s);plot(t,sf);xlabel('时间(s)');ylabel('幅值')；axis(0 1 -1 1);S=fft(s,512);SF=fft(sf,512);w=(0:255)/256*(Fs/2);plot(w,abs( SF(1:256)');xlabel('频率(H

25、z)');ylabel('傅立叶变换图');grid;对滤波前后的信号进行变换对比sf=filter(b,a,s);plot(t,sf);xlabel('时间(s)');ylabel('幅值')；axis(0 1 -1 1);S=fft(s,512);SF=fft(sf,512);w=(0:255)/256*(Fs/2);plot(w,abs(S(1:256)' SF(1:256)');xlabel('频率(Hz)');ylabel('傅立叶变换图');grid;legend('be

26、fore','after');File Edit View Insert Tools Desktop Window Help1111111 _11before' ' : after11t411VV1i 1.IIIH1iin11iiii -1-JiI4ciiiidiiri I 巾1ariIIIh1I14: :1414141411i)1i)qiir l|U1I1Iid ：11j1ciiL !:M ： 4!Hi ；: rl 1 fl 11 a 11r IV： / ： jJ1 A：Jv : WaJ :用K MLI生K附丸VW0 I I1 ： 'LIL-U-，”0510152025303540 4S 50(Hz)3.3 切比雪夫滤波器与巴特沃兹滤波器的比较切比雪夫滤波器在过渡带比巴特沃斯滤波器的衰减快