全国高中物理竞赛简谐运动问题解题导引

1、简谐运动问题解题导引山西太原61中学(030027)王东升摘要：简谐运动问题是全国中学生物理竞赛考查的重点内容，本文对这类问题的常见类型以及解决问题的思路作了比较详尽的阐述，希望对参加竞赛的同学有所裨益。关键词：简谐运动解题导引 简谐运动问题是历届全国中学生物理竞赛考查的重点内容之一。这类问题大体上可以分为三类：(1)判断物体的运动是否是简谐运动，并求其振动周期；(2)确定物体做简谐运动的振动方程；(3)确定物体在简谐运动过程中的时间、位移、速度、能量等。本文旨在就这几类问题求解的基本思路作些指导，希望对准备参赛的同学有所帮助。1 .判断物体的运动是否是简谐运动，并求其振动周期1.1 判断物体

2、的运动是否是简谐运动的基本方法 简谐运动的基本判据：(1) 动力学判据：判断物体所受回复力是否满足F= - kx 其中k 回复力系数(2) 运动学判据：判断物体运动的加速度是否满足a= 3 2x其中w简谐运动的圆频率无论采用那种方法判断， 其基本步骤都是：首先确定振动物体的平衡位置，然后令物体偏离平衡位置一段位移 x,再求物体所受的回复力或物体具有的加速度。进而，可确定回复 力系数k或圆频率co,从而由T=2兀、yk 或3 =2，求出振动周期。例1.如图1所示，一个质量为 m2的光滑滑轮由劲度系数为 k的轻弹簧吊 在天花板上，一根轻绳一端悬挂一个质量为m1的重物，另一端竖直固定在地板上。试证明

3、重物沿竖直方向的振动是简谐运动，并求其振动周期。解析：设：系统平衡时弹簧的伸长量是xoo则有kxo=2m1g+m2g(1)x当重物m1向下偏离平衡位置 x时，滑轮m2向下偏离平衡位置(%+)，2假设此时绳上的拉力是 F, m1的加速度为a1, m2的加速度为a2,则由牛顿第二 定律得对 m1 ：Fm1g=m1a1(2) ， x、对 m2：k (x0+) 2Fm2g=m2a2(3)2由位移关系有：a1=2a2(4)m1由以上各式可得F=m1g+kx(5)4ml m2所以，m1所受的合力L Lm1F 合=F m1 g = kx( 6)4ml m2可见，F合8x,且方向与x相反，因此,m1的运动是简

4、谐运动。回复力系数m14ml m2m14ml m2因此，振动周期 T=2兀 二二2兀1-12( 7)k k从上面的推导可见，重物和滑轮的重力mig、m2g在运算中被抵消，对回复力的表达式没有影响。因此，我们可得到如下结论：物体在振动方向上所受的恒力只影响物体振动的平衡位置，一般不会改变物体的振动周期。基于这一想法，如果我们忽略重物和滑轮的重力，则上面的运算可得到很大简化，读者不妨一试。；“刚体力学”是近年来新增加的考查内容。当刚体做微小振动时，常用转动定律求出刚 体的角加速度3 ,再求出刚体上某点的切向加速度，进而由a= - w2x判断其做简谐运动,求出振动周期。例2.如图2所示，质量均匀的杆

5、 AB长为L,质 量为m,其A端用光滑镀链接在墙壁上，其B端用一劲度系数为k的轻弹簧悬挂，平衡时，杆水平而弹簧竖直， 求此杆做上下微小振动时的振动周期。.解析：当杆水平时，设弹簧的伸长量为X0,由力矩平衡条件，有,mg 2 =k xo , L(1)当杆的B端向下偏离平衡位置一微小位移x时，弹簧伸长量为Xo+x由转动定律有mg - L k (xo+x) - L= I - 3(2)其中 = 1 mL2 卞f对A轴的转动惯量33 一杆的角加速度3kx解得 3 =-mL3k所以，B麻运动的切向加速度为 a = 3 , L= x可见，ax,且与x方向相反。所以，杆的运动是简谐运动。其圆频率为2 3k=m

6、振动周期为T=2 二一二2兀 瑜1.2确定振动周期的两种特殊方法1.2.1 能量法例3.用能量的观点求例1中系统的振动周期。解析：如果我们把滑轮和重物看成一个体系，这个体系在弹簧的拉力作用下振动，那么这个体系的动能可表示为Ek = 1 mivi2+ 1 m2V2222因为V1=2V2所以Ek = (4m1+m2)V222/_1和Ek=2V22比较，可知这个体系的等效质量为=4mi+m2所以，系统的振动周期为mT=2 兀 I :k4m1 m2=2兀/k例4.有一粗细均匀的 U形管中装有一定量的水（如图 动后水在管内振动，如果忽略管壁对水的阻力，求 振动周期。解析：设：U形管的横截面积为 S,水的

7、密度为3）,水柱的总长度为 L,受扰管内水的总质量为当右边的水面开m。同Jx时，系统增加的势能为与简谐运动系统所具有的势能 Ep=- kx2对比可2知，系统所受的回复力一定是弹性回复力，回复力系数为,2mgk =L图一3所以，振动周期为T=2兀=2兀，2g1.2.2 等效法确定“异形单摆”的周期单摆实质上是一个动点到某一定点的距离恒定，且受一个在平衡位置时沿定点和动点连线方向的恒力作用的物理模型。根据单摆的这一特点， 对一些“异形单摆”，我们可以通过类比、等效求出振动系统的等效摆长、等效重力加速度，然后，利用单摆周期公L 式T=2兀J一，求出异形单摆的振动周期。.g例5.如图4所示是一种地震记

8、录装置的水平摆，摆球 m固定在边长为L,质量可忽略不计的等边三角形的顶点 A上，它的对边 BC跟竖直线成不大的夹角 a ,摆线可绕 固定轴BC摆动，求摆球做微小摆动的周期。解析：在这个中，g和L同时都发生了异化。如图5所示，当m做小角度摆动时，实际上是围绕AB的中点O （定点）运动，所以，其等效摆长为,03L = Lcos30 =L等效重力为Gi = mgsin a因此，等效重力加速度为g' = G1= gsinam故，此异形单摆的振动周期为T=2 兀 J-2.确定物体做简谐运动的振动方程例6.如图6所示，在劲度系数为 质量为M的盘，盘不动时，一个质量为 落入盘中，与盘发生完全非弹性碰

9、撞， 点，求盘的振动方程。k的弹簧下面悬挂一m的质点自高h处 以碰后瞬时为计时起解析：当盘静止时，弹簧的伸长量为Mgk当质点m刚与盘相碰时，质点的速度v0= . 2gh然后它与盘发生完全非弹性碰撞, 者的共同速度为由动量守恒定律可得,碰后两图一6 2ghmv =V0m M以这时盘底的位置为坐标原点、竖直轴为y轴(向下为正)，建立坐标系。由于碰后系统在新的平衡位置时，弹簧伸长量为Mg +mg ,所以，新平衡位置的纵坐标为 kmgy0=k此系统做简谐运动的周期为T=2tt，一.2 二角频率为 03 = - T m M以碰后瞬时为计时起点，设振动方程为y = y 0+Acos ( t+()0)v =

10、 a Asin ( 3 t+ 4 0)其中，振幅A与初相位(j)0为待定系数，当t=0时0 = y 0 + Acos()0v = -3 Asin()0由此可解得振幅A0'"2ghk初相位sintg<P0=-=,注意到cos。、sin 4。均应为负，所以, cos 0 y, v0 - arctg70arctg2hk(m M )g故，所求的振动方程为222m g m 2ghk m M kcosmkMt+ 兀 +arctg2hk(m M )g从例6可以看出，确定物体振动方程的一般步骤是:(1)确定平衡位置。(2)确定回复力系数k,由T=2兀Jm求出振动周期T,再由求出圆频率3

11、。(3)(4)所以,A=V02一)32+ X0建立坐标系，设定振动方程x = Acos ( 3 t+ $ 0)a Asin ( 3 t+ 4 0)2'w Acos ( co t+ (j) 0)注意：坐标原点和计时起点选取不同，方程的形式也会不同。待定系数法确定振幅 A和初相位jo：将物体运动的初始条件(t=0时，x=X0,V=V0 )代入振动方程得sin2(f)0+cos2(f)0= ( V0) 2 +(-Xr ) 2 = 1co AAV0co X0sin 0tan 6 0=cos 0(5)写出所求的振动方程。3.确定物体做简谐运动过程中的位移、速度、时间等应该说，根据物体做简谐运动的

12、方程，就可以确定物体在任一时刻的位移、速度，也可 求出物体运动的时间。但是，这样做往往运算繁琐。借助参考圆可以使我们直观、方便、简 洁地快速求出简谐运动的位移、速度、时间等物理量，是我们应该熟练掌握的方法。例7.在两条柔软的弹性轻绳中间连接着一个小球，而这两条绳的另一端分别固定于同一竖直线上的 O、O'点，如图7所示。已知上、下绳的劲度系数分别为ki=8,0N/m和k2=12.0N/m。小球静止不动时位于图上C点处，这时上、下绳相对于各自的自然长度分别伸长了 Li=0.080m和L2= 0.030m。现在将小球沿竖直方向下拉到与平衡位置C的距离为图一7L3=0.080m处，然后轻轻释放

13、。求小球从释放开始到第一次回到该释放点所 需要的时间。(计算时可取g=10.0m/s2)解析：(1)由小球在平衡位置 C处的受力，求出小球的质量。设小球的质量为 m,则由力的平衡条件得：mg +k2L2= kiLi(1)解得：m = (kiLi k?L2)= 0.028 kgg(2)由于弹性绳只能被拉伸，不能被压缩，故小球从与C相距L3处白B Bi点释放至到达与C相距L2处的B0点(即：下绳自然长度处)的过程中，下绳松弛，小球不受下绳的 弹力，只在上绳的弹力和重力作用下做简谐运动。平衡位置位于上绳自然长度处A。点下方y0处的A点。则，mgy0=0.035mki由于小球在竖直方向上振动，故小球的

14、重力对回复力系数没有影响，所以，这一过程的回复力系数为ki。A0ACB0BiOy之L2&0L3圆频率为3 i=20 rad/s.m , 7振幅为Ai=L3+ (Liy0) = 0.i25m借助参考圆，可求出小球从 Bi点运动到B0点经历的时间ti和到达B0时的速度vi。由图8可知，AB 0= L2+ (Li y0) =0.075m,由参考圆(图 9)知，AB03cos 0 i=A 5图一853 二图一9i所以， 9 i = w iti = 53 =i80从而可解得：ti = 0.055s速度为 vi= - w iA isin 0 i = w iA i5(3)小球通过 B0点后，在上、下

15、绳共同作用下做新的简谐运动，平衡位置位于C点。易知回复力系数为 ki+k2,园频率为3 2=+ " =i00 J rad/sm ，i4若认为t2=0时，小球位于C点下方的振幅A2处，取C点 为坐标原点，则振动方程可写为y2=A2 cosc0 2t2v= W 2A 2Sin W 2t2当 y2= +L 2 时，v2= V 1 = CO lA 15所以J 2 V2 2L2 +(-) =0.07m< L1 =0.08m可见，小球通过Bo点以后，以C点为平衡位置做简谐运动, 运动到最高点时上绳仍然没有松弛。因此，由参考圆（图 求出小球从越过 Bo点至上升到最高点，然后再返回到 历的时间

16、为t2 =-15s.2其中 0 = arccos A23129=arccos2冗7360（4）小球从B0点返回释放点 Bi时的运动情况与（经历的时间也相同，即:t3= ti = 0.055s故，小球从释放到第一次返回释放点所经历的时间为t=2t1+t2=0.26s4.熟悉几个重要模型的处理方法4.1 在星球内部，物体沿某一条弦的运动是简谐运动例8.有人提出了一种不用火箭发射人造地球卫星的设想。其设想如下：沿地球的一条弦挖一通道，在通道的两个出口处 A和B,分别将质量为 M的物体和质量为 m的待发射卫星同 时自由释放，只要 M比m足够大，碰撞后，待发射白卫星就会从通道口 B冲出通道。然后， 将卫

17、星的速度方向变为沿地球切线方向即可。试证明：卫星在通道内的运动是简谐运动。证明：设：地球质量为 M,半径为R,建立如图11所示的坐标系，当卫星在距地心r处时，卫星所受地球对它的引力，相当于半径为r的球对它的万有引力。（这可以与均匀带电球体对点电荷的作用力类比得至L不要求证明。）则 Fr = Gm rM-R333 GMm=-rR3方向指向地心该力在轨道方向上的分力_ x GMmFx = Fr = 丁 Xr R3、，一一， 一 '方向指向O点,可见，Fxx,表明卫星的运动是简谐运动，回复力系数为k= GM3m ,振动周期为R3T=2兀嘏=2兀4.2无固定悬点的弹簧振子通常，弹簧振子的一端是

18、固定的，但有时振子的悬点可能 是运动的。例9.质量分别为 mA和mB的两个木块 A和B,用一根劲图12度系数为k(1)(2)解析:的轻弹簧连接起来，放在光滑水平面上(如图12)。现让两木块将弹簧压缩后同时由静止释放，求系统的振动周期。如果将弹簧压缩后，先释放 B,这两个木块将怎样运动？(1)设某时刻A和B各偏离了原来白平衡位置 Xa和Xb,因为系统所受合力为零，由动量守恒定律得mAXA = mBXB(1)和B两个物体受力的大小为Fa= Fb = k (xa+ xb)解得Fa= kQ_ExAmBFb= k m"厘 xb mA可见,A、B两个物体都做简谐运动，周期都是T=2兀mAmB.k

19、(mA mB)另解：因为两木块初动量为零，故系统质心是静止不动的。所以，可以将弹簧分成两段，如果弹簧总长为 L°,则左边一段的原长为 mAXL。，劲度系数为mmmBmBk；右边.段的原长为上L0,劲度系数为止也mA mBmAk。从而，也可求得前面的结果。(2)设开始时弹簧被压缩 Xo,则当弹簧恢复原长时，B的速度为Vo,由机械能守恒得所以，V0=mBV02=2X0:mB12kx02以后，A也将在弹簧力作用下开始运动,在质心参考系中观察，A、B都做简谐运动,且振动周期相同，均为 T=2兀mAmBk(mA mB)但步调相反。质心系作匀速直线运动，其速度Vc可由动量守恒定律求出。mBV0=(mA+mB)vc即VCmBVomBkX0mBmAmBmA mB4.3同频双弹簧振子例10.两个劲度