矩阵位移法例题复习题

1、第十二章 矩阵位移法【例 12-1】 图 a 所示连续梁，EI=常数，只考虑杆件的弯曲变形。分别用位移法和矩阵位移法计算。图 12-1解：（1）位移法解· 基本未知量和基本结构的确定用位移法解的基本结构如图 c 所示。这里样本题仅一种基本单元，即两端固定梁。· 位移法基本方程的建立结点 1 处的转角也作为基本未知数，这K11q1 + K12q2 + K13q3 +R1P = 0 üq + K q + K q +R= 0ïý21 122 223 32 P+ K q +R= 0ïK+32 233 33Pþ1将上式写成矩阵形式K1

2、3 ùìq1 üéK11êì R1P ü12úïq ï + ïRï =KKK23 úí 2 ýí2 P ýê2122K úïqïïRïêë33 ûî 3 þî 3P þ132· 系数项和项计算（须绘出弯矩图和荷载弯矩图）由图 d，结点力矩平衡条件å M = 0 ，得K11 = 4

3、EI l ， K21 = 2EI l ， K31 = 0由图 e，结点力矩平衡条件å M = 0 ，得= 2EI l ， K22 = 4EI l + 4EI l = 8EI l ， K32 = 2EIK12l由图 f，结点力矩平衡条件å M = 0 ，得= 0 ， K23 = 2EI l ， K33 = 4EI l + 4EIl = 8EIK13l由图 g，结点力矩平衡条件å M = 0 ，得= - Pl 8 ， R2 P= - Pl8 ， R3P = 0R1 p将系数项和项代入位移法基本方程，得0ùìq1 üì- 1

4、52;ì0üé4 êê22úïqï + Pl ï- ï = ï ï1ýí0ýúí2 ýíl88úïqïï 0 ïï0ïê2ûî 3 þîþî þëì1 üì11üïïï 4 

5、39;Pl· 解方程，得í2 ýïI íý416ïï- 1ïî3 þîþ· 由叠加法绘弯矩图，如图 h 所示。（2）矩阵位移法解· 对单元和结点编号（图 a）本题只考虑弯曲变形的影响，故连续梁每个结点只有一个角位移未知数。若用后处理法原始结构刚度阵为4 ´ 4 阶；用先处理法结构刚度阵为3 ´ 3 阶（已知角位移q4 = 0 ）。下面采用先处理法来说明矩阵位移法计算过程。单元标准形式为（图 b）2EI ù( e)&#

6、233; 4EIék ( e)k ( e) ùêúll= ê= êii( e)jiij( e)jjúûúk ( e )ê 2EI4EI úkkëë llû· 求局部坐标系下的单元刚度矩阵 k (e)· 求整体坐标下的单元刚度矩阵 k (e) = TT k (e)T ，因连续梁的局部坐标和整体坐标是一致的，所以有 k (e) = k (e) ，得（注：本题用先处理法换码）2ù(1) 12ù(2) 22ù(3)

7、 3EI é4EI é4EI é4k (1) =k ( 2)=， k (3)=，êúêúêúl ë24û2l ë24û3l ë24û0· 按“对号入座”规则集成总刚，得é40ù 1282EIlê2ú 22K =êú8úû 3êë0· 形成荷载列阵 P(1) 计算单元固端列阵ì- 1 8ü 1ì- 1

8、 4ü 2ì- 1 4ü 3FF= Plí(1)， FF= Plí(2)(3)= Pl í， FFýýýî 1 8 þ 2î 1 4 þ 3î 1 4þ 0（本题结点荷载为（2）将单元固端列阵反号，并按“对号入座”规则送入荷载列阵 P零）ì0üì1 8üì1 8ü 1= ï ï0l ï-8 + 1 4ï = Plí1 8ý 2&

9、#239;ïP = P + Pí ýïî0ïþíýDEïî- 1 4 + 1 4ïþïî 0 ïþ 3· 将结构刚度矩阵及荷载列阵代入矩阵位移法方程 KD = P ，得0ùìq1 üé4 20ì1 8ü282ïq ï =ïïElPlí1 8ýúí2 ý8ú&#

10、239;qïï 0 ïûî 3 þîþì1 üì11üïïï 4 ïPl· 解方程，得í2 ýI íý416ïïï- 1ïî· 计算杆端弯矩3 þîþF (e ) = F (e ) + k (e ) d(e )= FFì- 1 8üé42EIl(1)F=+Plí

11、; 1 8ýê24îþë4ü + EI é4F (2) = Plê2lîþëì-1 4üEI é4F=(3)+Plí 1 4ýê2lîþë得各单元杆端弯矩后，再叠加上一相应组合在一起，得整个结构的弯矩图（图 h）。小结：通过本题的计算可看到：弯矩图即得各单元弯矩图。将各单元弯矩图（1）基本未知量和基本结构。位移法与矩阵位移法二者都是以结点位移为基本未知量， 以单根杆件（单元）为计算对象。位移法为方

12、便计算，有三类杆件；而矩阵位移法只有一类杆件，即两端固定等截面梁。（2）刚度矩阵与荷载列阵的形成。位移法是用弯矩图和荷载弯矩图并由结点的平衡条件计算系数项和项的，而后形成刚度矩阵与荷载列阵的；而矩阵位移法是以单元杆端刚度元素、单元杆端荷载元素，按“对号入座”规则形成刚度矩阵与荷载列阵的。矩阵位移法基本方程的建立，归结为两个问题：一是根据结构的几何和弹性性质建立整体刚度矩阵 K ，二是根据受载情况形成整体荷载列阵 P 。（3）有（1）、（2）可知，二者的是：“原理同源，作法有别”。因此矩阵位移法不是计算机）与传统力学原理（位移法）相结合的产物。一个新，它是新的计算工具（K22【例 12-2】试求

13、图 a 所示结构原始刚度矩阵中的子块，已知单元 的整体坐标的单元刚度矩阵如图 c 所示。图 12-2解：本题每个结点有两个基本位知量（竖向线位移和角位移），如图 b 所示。单元刚度矩阵为4 ´ 4 阶（图 c）。由图 d 所示子块形式， K22 的元素应为单元的 j 端元素（图 c 右下角子块）与单元i 端元素（图 c 左上角子块乘以 2）之和，即= K (1) + K ( 2) = K (1) + K ( 2)K22jjii2222- 3600ù + é 1é72ë- 360020000úê72ûë【例

14、 12-3】只计弯曲变形时，用先处理法写出结构刚度矩阵 K 。(设 EI = 1)图 12-3解：由图d 及先处理法结点位移编号图 c 写出各单元刚度矩阵，并按“对号入座”规则集成整体刚度矩阵。-1.5-1.51.5-1.5- 0.75- 1.50.75- 1.5é 1.5ê1.52.0-1.51.01.5 ù 11.0 ú 2-1.5ú 0éê1.5 ù 0ú0.751.51.54- 1.52úk ( 2) = ê 1.52 ú 0 ,k (1) = êê

15、;-1.5ê- 0.75- 1.5ú 1êú 2ê 1.52.0 ú 31.54ëé2.25û0ù 1ëû06101.514.6671.333- 0.889é 0.8891.333 ù 01.3332.667- 1.3331.333êú 200ê 1.333- 1.3331.333 ú 3 , K = êúk (3)= ê- 0.889ú0.889- 1.333ú 0

16、ê 1.51.333ú 32.667û 4êêúê 1.333- 1.3332.667 ú 40ëëû【例 12-4】用先处理法写出图 a 所示结构刚度矩阵 K ,E=常数。不计轴向变形影响。图 12-4解：本题虽然是刚架，但不计轴向变形影响，即每一个结点只有一个角位移未知量。根据图 b 所示结点位移编号，则整体刚度矩阵为3 ´ 3 阶。由于每个单元杆端只有角位移未知量，故单元刚度矩阵为2 ´ 2 阶的连续梁单刚形式。é420ù 1EI 

17、3;42ù 1EI é8ê4ù 08û 2EI é84ù 2， K = ê2204ú 2k (1) =， k ( 2) =， k (3) =êúúêúê0ú48úû 3l ë24û 2l ë4l ë48û 3êë【例 12-5】图示连续梁 ，不计轴向变形 ，EI =常数 ，已知结点位移ùTéql3ql4D= ê- 12

18、EI-ú8EI。试求单元的杆端力列阵 。ëû图 12-5解：根据图 a 的约束条件和图 b 的结点位移编号，已知给出的结点位移是：ìD üqìü =D1=2íD ýív ýî 2 þî 3 þ有v = q = v = q = 0 ，q = - ql312 EI ，v = - ql4 8EI 。单元的杆端力列阵112323为é12EIùú ìú ï6EI - 12EI6EIê&#

19、234;ê0ql3üïìqlül 3l 2l 36EIl 2ï 5ï4EI2EIú ï-ï l ïql2 ï-= êú ï12EI ï = ï12ïl 2lF (2)6EI ú íýí - qlýêê 对êê12EIql48EI0ú ï-ïïï-lú ï

20、39;ï 7 ql2 ï32l4EI ú ïïïî12ïþú îþê称ëlû【例 12-6】用矩阵位移法求图 a 所示桁架各杆内力。单元、的截面面积为 A，单元的截面面积为 2A，各杆 E 相同。图 12-6解：桁架每个结点两个线位移未知量（图 b）。· 局部坐标系下的单元刚度矩阵为4 ´ 4 阶，即-000- 1010é cosasin a cosa 00é 10ù00cosa- sin a00

21、ùúEA ê 00úê- sin aêê- 1ú ， T = êúk ( e ) =0ú0úêsin aúl00ê 0êcosaúëûëû· 整体坐标系下的单元刚度矩阵为k ( e ) = TT k ( e )Ta = 300 ， sina =3 2 ， cos a = 1 2 。单元a = 450 ，由图 b 可知，单元sina =2 2 ， cosa =a = 900 ，

22、sin a = 1， cosa = 0 。2 2 。单元éêêê3ù 0- 3- 333-é333313- 1- 2- 2222 222 21úê- 131ú 0 ， k (2) = EA êk (1) = E8lú 1ê- 2- 2- 28l2222ê-ú 2ê- 2êëé0úûêëù 00160- 1600000EA ê0- 16ú 0

23、4;8l ê0ú0 ú 1k (3) =。ê016 ú 2ëû· 整体刚度矩阵及荷载列阵EA é0.72855 0.57006ùìP üK =Pí ý，=l ê0.57006 2.47855ú0ëûî þ· 矩阵位移法方程EA é0.72855 0.57006ù ìu1 üìP ül ê0.57006 2.47855&

24、#250; ívý = í 0 ýëû î 1 þ î þìu üPl ì 1.67381 ü1=·ív ýí-ý解方程，得EA î 0.38497þî 1 þ· 计算各杆轴力éêêêùúìï00ü3 21 23 200003 2- 1 2001 2ì- 0.

25、6285üï =ïï （拉）= TkD=(1)(1) (1)- 1 200(1)Fk Pl0úíýPíýúEA ï 1.67381 ïï 0.6285 ïêú2ï- 0.38497ïïïêëúû3îþî0þì- 0.6442üïéêêêù&

26、#250;ú2 22 2002 22 200002 2- 2 20022ì00üï（拉）( 2)ïï =TkD0(2)( 2) ( 2)F=-k= PlPíýíý2úï 0.6442 ïEA ï 1.67381 ïêú2ïïï- 0.38497ï0êëúûîþîþì 0.7699 ü

27、39;é 0ê1000000- 10ùìü00ï（压）0ú k (3) Pl ïï =- 1(3)( 3) ( 3)TkD0F=êú1úPí-ýíýê 00.7699ïEA ï 1.67381 ïïî- 0.38497ïþïïîê 00úïþ0ëû【例 12-7】已知图

28、示桁架的结点位移列阵 D设 E = 3000kN/cm 2 ，杆 12 的横截面积 A = 18cm 2 。12 在局部坐标系中的杆端 力 。= ì 613.803 üD´10 m-6í-ý341.834þî图 12-7cm2 ´18cm2解： a = 53.160 ， sin a = 0.8， cosa = 0.6 。 EA = 3000kN= 90kN / cml600cm- 9009000 ùì 613.803 üì 85.32 üé 9000000

29、ùé 0.60.80.600000.6- 0.8= k ( e )TD( e ) = ê0úê- 0.80 úï- 341.834ïïïF ( e )00êúê0úêúíý ´10-4 = íýkNê- 900.8úïï- 85.32ï0000ïïþê0úê0.6ú&#

30、239;îïîïþ00ëûëû【例 12-8】 用位移法和矩阵位移法计算图 a所示结构。各杆材料及截面均相同，E = 2.0 ´108 kN / m2 ， I = 32 ´10-5 m4 ， A = 1 ´10-2 m2 。要求：（1）不考虑轴向变形影响的位移法解。（2） 考虑轴向变形影响的位移法解。（3） 用矩阵位移法(采用先处理法)解。图 12-8解：（1）不考虑轴向变形影响的位移法求解不考虑轴向变形影响下，仅有结点 1 处的角位移未知量 Z1 。位移法的基本方程为K11

31、Z1 + R1P= 0系数和b、c 得= 8EI l = 128000kN .m ， R= - ql2 12 = - 40 3kN.mK111P-4Z1 = 1.042´10 弧度。将系数和代入位移法的基本方程，并由叠加法作弯矩图，即 M =M P+M1Z1 。整个结构的弯矩图如图 d 所示。（2）考虑轴向变形影响的位移法求解基本结构如图 e 所示。位移法的基本方程为K11Z1 + K12 Z2 + K13 Z3 + R1P= 0 üZ + K Z + K Z + R= 0ïý21 122 223 32 PZ + K Z + R= 0ïK+32

32、33 33Pþ1系数和项计算由图 f： K11 = 12EI l + EA l =3= 0 ， K31 = - 6EI= 2.4 ´10 kN4K21l 2由图 g： K22 = K11 = 12EI l + EA l =3，= - 6EI= 2.4 ´104 kNl 2K32由图 h： K33 = 8EI l = 128000kN.m由图 c： R= 0 ， R= ql 2 = 20kN ， R= - ql212 = - 40 3kN.m1P2 P3P将系数和代入位移法的基本方程，并-6-5-5Z1 = 4.621´10 m ， Z2 = -3.444

33、´10 m ， Z3 = 9.858´10 弧度考虑轴向变形影响的结构弯矩图如图 i 所示（剪力图和轴力图未画出）。（3）用矩阵位移法(采用先处理法)解用矩阵位移法求，单元和结点编号如图 j 所示。采用先处理法时其整体刚度矩阵为3 ´ 3 阶。两单元对应的整体编码如下图所示。按“对号入座”规则集成结构刚度矩阵é12EI + EAùúú- 6EI0êêK = êêêêël 26EIll12EIEA+-ú0l 2ll4EI4EI ú6EI6

34、EIúúû-+l 2l 2ll= k (1) 。注：（1）单元局部坐标与整体坐标一致，所以有 k (1)（2）单元局部坐标与整体坐标的夹角a = 900 ，坐标变换，即k ( e ) = TT k ( e )T 。TT k ( e )T运算的结果是将 k (1) 中相关元素作行列交换。另外部坐标与整体坐标的夹角a = 900 时，我们也可直接在整体坐标系下进行对换，如图 k 所示。按先 x 后 y 再转角的次序，则可直接在局部坐标的单元上标注相应的整体编码，本题就是采用这一。注意到坐标进行了 x, y 轴交换， sin a 变号，故副系数。见本题中单元中送入结构刚

35、度矩阵的元宵 K13 和 K31 。nå荷载列阵的集成。一是按 P = -Fi 及 F (e )= TT F (e) 进行。另一作法是，由EFFFi=1P = -R,于是有ìü 10P = ï- 20ý 2ïíïî40 3ïþ 3将结构刚度矩阵 K 和荷载列阵 P 基本方程，得与前位移法ì 4.621´10-6 ü u的相同结果，即ïïD = - 3.444 ´10v-5íýïï q9.

36、858´10-5îþ同样得结构弯矩图如图 i 所示（剪力图和轴力图未画出）。【例12-9】试求用矩阵位移法求解图a 所示结构时，结点2 的综合结点荷载列阵 P2解：刚架每个结点有三个基本未知量（ u, v, q ），同时也有三个方向结点荷载项。图 12-9ìïü 10ï（1）结点 2 的直接结点荷载： P2D = í0 ý 2ï ql 2 ï 3ïîïþ8（2）结点 2 的等效结点荷载涉及到单元、及的 2 端的固端力（见图 c、d、e）。nE&#

37、229; FF按式 P = -Fi （ F (e )= TT F (e) ）应首先应计算局部坐标系下的固端反力 F (e) ，而后FFi=1进行坐标变换得整体坐标系下单元固端反力 F (e) ，再“按对号如座”规则反其符号集成。F这里我们直接根据图 c、d、e 求出整体坐标系下的单元固端反力 F (e) 。F由图 b 及d、e、c 得- ql 20- ql 20ìïü 0ìï0ql 2ü 1ìïü 1ï 0ï 2ï 2ïïïïï

38、;ïï ql2 12 ï 0ï ql2 8 ï 3ï ql2 12 ï 3(1)(2)(3)F=， F=， F=íïýíïïýíïïýF- ql 2 ï 1FF- ql 2 ï 40ï 7ïï 2ï 8ï 50ql 20ï-ïïïïï2î- ql8þ 92î-

39、 ql12þ 62ql12þ 3îü(1)ü(2)ü(3)ììììü 1ql 20ql 2ql= ïï+ ï - ql2 ï+ ïï= ï - ql 2 ý 2ïP00íýíýíýí2 Eïîql2 12ïþïî- ql28ïþïî

40、;- ql2 12ïþïî- ql2 8ïþ 3结点2 的综合结点荷载列阵为ìüìüìü 10qlql= ï0ï + ï - ql 2 ï = ï- ql 2ý 2ïP = P+ Píýíýí。22 D2 Eïîql28ïþïî- ql28ïþïîï

41、þ 30【例 12-10】 试用先处理法写出图a所示结构刚度矩阵 K 。各杆杆长均为 l ，EI=常数，结点位移分量的编号如图示。图 12-10解：单元与整体坐标一致。而单元、按图 b 所示整体坐标系下来进行换码（注意到坐标进行了 x, y 轴交换， sin a 变号，故副系数则集成总刚。），而后按下图“对号入座”规é EA (1)12EI (2)12EI (3)ùúúú+00êl 3l 3lêK =12EI (1)l 3EA( 2)l6EI (1)l 2EA(3)l6EI (1)ê+-0ê&#

42、234;êêëúl 24EI (1)4EI ( 2)4EI (3) ú-+úúû0lll【例 12-11】 用先处理法求图a所示刚架的结构刚度矩阵 K ，略去轴向变形影响。图 12-11解：由图 b 的位移编号可知，横梁各结点仅有一个 x 向的水平位移，其变形如图 c 的所示（这就是“手算”），按“对号入座”规则集成总刚（这就是“机算”）= 12EI + 12EI + 12EI = 36EIK =k (1) + k ( 2) + k (3)l 3l 3l 3l 3= 36EI 。用经典位移法，其系数 K11l 3【

43、例 12-12】按先处理法计算图 a 所示结构的刚度矩阵 K 。各杆长度为 l ，EA、EI 均为相同 。图 12-12解：单元、结点及位移编号入图 b 所示。作为理解画出了结点位移的变形图，如图c、d 及e 所示（这就是“手算”）。按下图“对号入座”规则集成总刚（这就是“机算”）。é EA(1)ùúúúEA( 2)l12EI (3)12EI (4)+00êl 3l 3lK = êEA(3)lEA( 4)l12EI (1)12EI (2)êêêêêë+00ú

44、;l 3l 34 ´ 4EI ú00úlúû【例 12-13】图示刚架只考虑弯曲变形 ，按先处理法求在荷载和支座位移共同作 用= 2 ´ 102 kN × m2 。下的结点荷载列阵 P 。已知各杆 EI图 12-13解：图 b 为结点、单元编号，单元固端反力如图 c 所示 ，是由支座位移产生的。ì5kN üì1.5kN üì 6.5kN üïïïïïï000PD = í0 ý ， PE = í2kN.mý ， P = PD + PE = í2kN.mýïïïïîïïþïïîïïþïîïþ000【例 12-14】 图示刚架各杆 EI = 64kN × m2 ，结点6 有支座的水平位移 D = 0.01m ，5竖向位移 D6 = -0.01m ，忽略轴向变