2015全国大学生数学建模竞赛B题(共20页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上 “互联网+”时代的出租车资源配置摘 要随着“互联网+”时代的到来，针对当今社会“打车难”的问题，多家公司建立了打车软件服务平台，并推出了多种补贴方案，这无论是对乘客和司机自身需求还是对出租车行业发展都具有一定的现实意义。本文依靠解释结构、-模糊综合评价、价格需求理论、线性规划等模型依次较好的解决了三个问题。对于问题一求解不同时空出租车资源“供求匹配”程度的问题，本文先将模型里的层级隶属关系进行改进，将影响出租车供求匹配的12个子因素分为时间、空间、经济、其它共四类组合，然后使用经过改进的-模糊综合评价方法建立模型，提出了出租车空载率这一指标作为评价因子的方案，来分析

2、冬季某节假日哈尔滨市南岗区出租车资源“供求匹配”程度。通过代入由1-9标度法确定的各因素相互影响的系数，得出各个影响因素的权重大小，利用无量纲化处理各影响因素，得出最终评判因子为0.3062，根据“供求匹配”标准，得出哈尔滨市南岗区出租车资源“供求匹配”程度处于供需合理状态的结论。同理，也得到了哈尔滨市不同区县、不同时间的供求匹配程度，最后作出哈尔滨市出租车“供求匹配”程度图。 对于问题二我们运用价格需求理论建立模型，以补贴前后打车人数比值与空驶率变化分别对滴滴和快的两个公司的不同补贴方案进行求解，依次得到补贴后对应的打车人数及空驶率的变化，再和无补贴时的状态对比，最后得出结论：当各公司补贴金

3、额大于5元时，打车容易，即补贴方案能够缓解“打车难”的状况；当补贴小于5元时，不能缓解“打车难”的状况。 对于问题三，在问题二的模型下，建立了一个寻找最优补贴金额的优化模型，利用lingo软件进行求解算出最佳补贴金额为8元，然后将这个值带入问题二的模型进行验证，经论证合理后将补贴金额按照4种分配方案分配给司机乘客。关键词：解释结构模型；-模糊综合评价；价格需求理论；线性规划一 问题重述交通是社会生活众多产业当中的一项基础产业，不但和社会的经济发展关系紧密，与人们的生活也是息息相关。而出租车作为交通工具中的重要组成部分，可以给人们的生活带来更便捷的服务。所以无论是国内还是国外，对于与出租车相关的

4、问题都有较深入的研究。作为居民日常出行的交通工具，出租车在人们生活中发挥着重要的作用。然而由于时间、空间等因素，导致出租车行业面临着巨大的挑战，与此同时，也会出现“打车难”的现象。但这也正促进了依托互联网建立的打车软件的发展以及多种出租车补贴方案的出现。当今，“互联网+”发展迅速，所以研究互联网与出租车有关的问题是很有意义，本文要求搜集相关数据建立数学模型求解下列问题：问题一：建立合理的指标，分析在不同时间和空间条件下出租车资源的“供求匹配程度”。问题二：分析各公司的出租车补贴方案是否对“缓解打车难”有所帮助？问题三：若要创建一个新的打车软件服务平台，应该设计什么样的补贴方案，并论证方案的合理

5、性。二 模型假设假设1：城市中不出现大量的人口迁入与迁出。假设2：城市中出租车的数量短期内不会发生变化。假设3：城区面积不发生大规模扩展。假设4：城市道路发展程度不会发生大变化。假设5：手机打车软件的使用者年龄主要集中在1835周岁。假设6：其它交通工具发展水平不变。假设7：城市人均收入短期内不变。三 符号说明影响“供求匹配”程度第一层因素的权重影响“供求匹配”程度第二层各因素的权重修正后的影响“供求匹配”程度第二层各因素的权重用于评价“供求匹配”程度的评价因子判断矩阵的最大特征值综合评判集层次分析结构中第一层指标价格补贴之前打车人数价格补贴之后打车人数出租车日均载客里程出租车辆数出租车出勤率

6、每辆车平均的日行里程。乘客不满意度四 问题分析问题一的分析对于问题一，要想得到出租车资源的“供求匹配”程度，首要的问题是建立一个合理的评价指标。通过对影响出租车与乘客供求关系的广义因素进行分析，每种大的前提下又细分为其它的影响因子，也就是构造了两个层次，再将最底层的影响因子利用解释结构模型进行归类。利用层次分析-模糊综合评价模型对得到的归类进行分析和求解，得到综合评判集合，然后考虑结合一种出租车供需合理的标准，例如空载率这一指标对供求匹配程度进行分析。最后结合实际着重研究不同时间和空间前提下城市出租车资源的“供求匹配程度”。问题二的分析对于问题二，求各公司的补贴方案对“缓解打车难”是否有帮助，

7、考虑到不同补贴方案归根到底是补贴金额的不同，因此考虑寻找一种补贴金额与打车难的关系，通过逆向思考，补贴金额可以等效看为出租车价格降低的金额，出租车价格变化与打车人数需求之间构成价格需求，于是可利用价格需求理论模型对此进行分析，但是单一的打车人数多少不足以表示打车是否困难，于是考虑增加一个空载率指标与打车人数结合表示打车是否困难，最后评判打车困难时，由于打车难这是一个不可量化指标，因此要想得出打车难是否有缓解只能先建立一个标准，然后将价格需求理论模型的求解结果带入该标准。即可知道各公司的补贴整车对打车难是否有帮助。问题三的分析由于问题三是设计补贴方案，而问题二里我们建立了价格需求理论模型，求解了

8、各个公司不同补贴方案对打车难缓解的影响，于是我们在问题三中通过建立一个补贴金额与乘客满意程度的双优化模型来设计一个补贴方案，然后利用问题二的求解结果对设计方案进行论证。五、模型的建立与求解5.1 问题一模型的建立与求解5.1.1 利用模型对影响因素分组由于出租车资源供求匹配关系受到较多因素影响，其中很多因素又相互包含，必须全面考虑各个因素。所以我们采用ISM模型对相应影响因素进行分组、归类，使问题简化，方便求解。模型是于1973年为了分析复杂的社会经济问题而提出的解释结构模型，是静态的定性模型,其特点是能够将复杂的系统逐级分解成若干个子系统。为了分析出租车资源的供求匹配程度，我们考虑影响出租车

9、与乘客供求关系的一些主要因素如表1。表1 出租车与乘客供求关系主要影响因素市民人均收入人口密度道路拥堵程度是否是高峰期是否节假日出租车数量天气情况私家车数量季节城市交通发展水平乘客出行紧急程度城市旅游吸引能力然后分析这些因素互相之间是否有关系，用0表示相互之间无影响，用1表示相互之间有影响，从而得到相互影响关系的邻接矩阵如下： 000000010000101011010000100011000000011011011111000000000000000000000000000000000000000000000110000000000010000000000000000000000000000

10、010000000 由于此矩阵中影响因素较多，所以运用软件对邻接矩阵进行求解，程序见附录一，得可达矩阵可说明两个因素之间是否存在链接路径，并能清楚说明两因素之间影响程度。定义集合为可达矩阵中要素一行中值为1的元素所在行元素集合，为可达矩阵中这列值为1对应的列元素集合，当时，即为该层元素，然后剔除矩阵中的元素，进行下一层元素计算,可以得到最终的分组：; ; ; 。通过分析每组所包含的因素，我们发现分组里面所包影响因素可理解为经济水平对出租车供求关系的影响，里面所包影响因素可以看作为不同空间对出租车供求关系的影响，里面所包影响因素可以看作不同时间对出租车供求关系的影响，结果如表2。表2 影响因素分

11、组关系表经济水平因素市民人均收入出租车数量私家车数量空间因素道路拥堵程度人口密度城市交通发展水平时间因素季节是否是节假日是否是高峰期其它乘客出行的紧急程度旅游吸引能力天气状况5.1.2 问题一模型的建立我们从出租车空载率角度考虑出租车资源的“供求匹配”程度问题，当出租车空载率过低时，说明打车的人少，出租车量小于乘客的需求；当空载率过高时，表明打车的人较多，出租车量大于乘客需求，出租车空载率能很好地反映出租车与人之间“供求匹配” 程度。所以我们选取空载率这一指标作为模型最终评价因子分析，来分析不同时间和空间出租车资源的“供求匹配”程度问题。我们利用模糊综合评价方法建立模型，首先，利用构造出一个层

12、次分析模型，指标评价体系结构图如图1。图1 层次分析结构图1）第一、二层权重集的确定第一层包括4个因素，即，利用层次分析法比较几种指标间的关联度如图3。表 3 第一层因素间关联度11/41/41/4412441/2121/21/41/21然后确定第一层指标权重，利用19标度法求解判断矩阵，构造第一层的评判矩阵具体形式如下：其中：表示与之间的关联度。之后求解第一层的权重集=,。方法如下：先计算判断矩阵每行元素的乘积，再对求五次方根，得到 归一化处理：利用公式 对做归一化处理，得到即为所求特征向量。一致性检验：为了说明以上所求得特征向量是否能够合理的分配权重，需要进行一致性检验，方法如下：通过公式

13、求得判断矩阵的最大特征值，得到最大特征值。然后利用公式和，通过代入数据,， ，得到，这就表明评判矩阵具有很好的一致性，所以中的各项均可以作为U的权重系数。同第一层权重的求解过程，对于第二层指标，由于第一层的每一个因素都包含3个因素，于是得到第二层级的各项权重集：2）确定综合评判结果根据模糊综合评价法可知，综合判别公式，其中，将数据代入计算公式得到所研究问题的综合评判结果：。3）综合评判矩阵的修正影响出租车供求匹配的具体因素有些有具体实际数据，各种数据的单位并不统一，不容易量化，而另外一些因素如：旅游吸引能力、乘客出行的紧急程度等影响因素是模糊的量。为了使各项因素具有可比性，我们将这些有实际数据

14、的影响因素进行标准化处理，消除量纲差异。利用如下公式 （1） （2） 将市民人均输入，人口密度，出租车数量，私家车数量数据分别按照上式标准化，但是得到的数据并不全是处于之间，所以应用平移-极差变换使得所有的原始数据都在之间。得出量化结果：人均收入，人口密度，出租车数量，私家车数量。对于模糊的影响因素，我们用 之间的数来描述，例如：0.2对于天气状况来说意味着“差”，而0.8意味着“好”。其他模糊因素同理，得具体情形如表4。表4 模糊影响因素处理结果道路拥堵程度拥堵（0.2）顺畅(0.8）乘客出行的紧急程度不着急（0.2）着急（0.8）天气状况好（0.2）差（0.8）城市交通发展水平差（0.2）

15、好（0.8）是否是节假日否（0.2）是（0.8）季节春秋（0.2）冬夏（0.8）旅游吸引能力弱（0.2）强（0.8）利用上表对12个因素的定量分析，我们可以对第二层级权重进行修正，使之与这12个因素联系更加紧密，使结果更准确，第二层权重的修正如下：4)最终评判标准的确定对于出租车的资源供求匹配是否合理，我们采用出租车空驶率来进行评判，空驶率与出租车供需关系如下表所示：表5 城市出租空载与交通供求关系空载率小于25%30%左右大于40%匹配程度明显供不应求基本饱和，供需合理明显供过于求为了最终得出评判标准，我们将已划分好的空驶率写成一个阶的矩阵，即于是我们结合已经求出的评判矩阵，可得出最终的评价

16、结果公式:评价因子与空载率是同一量级，我们将与空载率标准（表5）进行比较，从而得出出租车资源“供求匹配”的程度。到此，问题一的模型建立完成。5.1.3 问题一模型的求解本文以哈尔滨市为例，根据相关数据进行求解哈市出租车资源的“供求匹配”程度问题。我们从哈尔滨统计局获取哈市市区包括下辖区各县相关数据见附件1。为了满足从空间角度考虑问题，首先，我们将哈市分为中心区与边缘区，中心区包括市辖区：南岗区、道里区、道外区、香坊区、平房区、松北区、呼兰区、阿城区。边缘区包括下瞎县城：宾县、延寿县、通河县等。时间角度我们主要从大的方向考虑，比如：季节，是否是节假日，是否是高峰期等。我们先以哈市冬季南岗区某节假

17、日为例，求解出租车资源“供求匹配”程度问题。南岗区相关数据见附件1。我们将评价所需的12个南岗区的相关数据代入所建建立的模型中，得到量化后的指标为：评判矩阵为：利用Matlb求解(程序见附录四)，得到,最后计算出的评价因子。带入表5中进行比较，比较结果：，得出匹配程度：供需合理。从而得出结论：哈市冬季南岗区某节假日出租车资源“供求匹配”程度处于供需合理状态。类似的，利用上述方法可以求解出其他区和所辖县的“供求匹配”程度状况。画出哈市出租车资源“供求匹配”程度图如图2。对于问题二中“打车难”这个问题，经过分析，发现乘客打车的难易程度最终都可以反映在补贴之后打车人数和出租车空载率这两个指标上。因为

18、城市出租车数量短时间内是不会发生大的变化的，而打车的人数却是一个变化的数值，打车的人多了，打车就变得相对困难。出租车的空载率变小，人们打车就变得相对困难，反之亦然。所以我们用补贴方案实施前后，打车的人数和出租车空驶率的变化两个指标来反映乘客打车的难易程度，由此间接评判出各公司的出租车补贴方案对缓解打车难的现象是否有帮助。虽然补贴的方案不尽相同，但其本质都是补贴一定数额的钱给相应的出租车司机和乘客，我们将不同补贴方式的差异转化为补贴金额的差异，由于补贴金额是直接影响打车难的关键因素，所以我们假设在这个期间不会有其他因素造成打车人数和空驶率的改变，打车人数和空驶率的改变只受补贴金额的影响。5.2.

19、2问题二模型的建立我们借鉴价格理论模型进行建模，价格需求理论是用于研究价格与需求人数的关系的方法，所以在这里我们将其应用于出租车价格变化与打车人数的关系研究上，但是本题中并没有价格变动这一指标，不过，因为补贴方案的不同最终影响的是补贴金额的不同，所以我们这里用补贴金额代替价格变动这一指标。价格需求理论指出价格与需求成负指数关系，所以我们建立如下方程 （3）其中：为价格补贴之前打车人数，为价格补贴之后打车人数，为受出租车价格影响打车的人数占总人数的比例。在这里受出租车价格影响，打车的人数考虑为使用手机软件打车的人数，而这部分人年龄分布大概在18-35之间，我们通过查找哈尔滨统计局的各年龄人口数据

20、（见附件1），估计出哈尔滨地区。为了更好地体现补贴前后打车人数变化情况，我们采用补贴前后打车人数比值作为评价打车人数变化的指标，根据公式（3）得方程： （4）利用Matlab画出函数图象如图4。（程序见附录二）图4 打车人数变化率与补贴金额的关系空载率与出租车价格变化的关系式为： （5）为出租车日均载客里程；为出租车辆数；为出租车出勤率；为平均每辆车的日行里程。将式（4）带入（5）得到：空驶率与出租车价格的关系式为： （6）我国汽车协会统计结果得出，当空载率大于40%时，供过于求；当空载率小于25%时，供大于求；当处于25%40%之间时，处于供求平衡状态。供过于求，车多，可以认为打车容易。供小

21、于求，车少，可以认为打车难。当处于30%40%之间时，处于供需平衡状态，我们不考虑空载率对打车难的影响，只考虑打车人数变化关系。最后我们综合考虑补贴前后打车人数比值和空载率变化情况，建立综合评价标准如表。表6 综合评价标准打车难打车容易打车人数前后比率空载率5.2.3 问题二模型的求解根据参考资料(见附件1)，我们得到各公司补贴方案，考虑到我们采用的是补贴金额数来进行求解的，所以我们对各种补贴方案数据进行处理得到如下的表格。表7 各公司补贴方案（单位：元）公司补贴阶段滴滴打车快的打车一阶段补贴金额1010二阶段补贴金额 10-1511三阶段补贴金额 12-2013四阶段补贴金额 6-1510五

22、阶段补贴金额 3-5 3-5六阶段补贴金额00将各个阶段的补贴金额数分别带进公式（4）（6）中，利用Matlab软件求解（程序见附录三）得：表8滴滴打车补贴方案评价指标表评价标标补贴阶段打车人数变化率空载率一阶段补贴0.75850.8604二阶段补贴金额0.74070.8717三阶段补贴金额0.73440.8756四阶段补贴金额0.75310.8638五阶段补贴金额1.18980.5883不补贴3.8529-1.0953表9 快的打车补贴方案评价指标表评价标标补贴阶段打车人数变化率空载率一阶段补贴金额0.75850.8604二阶段补贴金额0.74880.8665三阶段补贴金额0.73900.8

23、727四阶段补贴金额0.75850.8604五阶段补贴金额1.18980.5883不补贴3.8579-1.09535.2.4结论根据上述求解结果，对不同补贴方案，打车人数比值与空载率都不相同，且当补贴金额大于5元时，均小于1且均大于40%，而当补贴金额小于5元时大于1，且空驶率大幅下降。据此根据表6，我们得出结论：各公司的出租车补贴方案在一定程度上对“缓解打车难”是有帮助的，当补贴方案对应的补贴金额大于5元时，乘客打车变得容易，缓解了“打车难”的状况。当各个公司补贴方案对应的补贴金额小于5元时甚至不补贴时，打车较为困难，对缓解“打车难”没有帮助。5.3问题三的模型建立及求解5.3.1线性规划模

24、型的建立对于补贴方案的合理性，考虑问题二的求解方法，首先我们应用同样的方式，将补贴方案的差异，最终转化为补贴金额的差异。当我们创建一个打车平台并且自己设计补贴方案时，设计的方案要达到的目的是给司机和乘客补贴最少的钱，并使顾客达到最大满意度。于是我们可以将问题三中求解补贴方案合理性的目标转化为求解补贴金额最小以及不满意度最低的优化模型。对于满意度，我们认为空驶率越高,打车越容易,相应的满意度越高.。在此我们假定乘客满意度就是由空驶率唯一确定, 并且与空驶率成正相关。但是由于我们要求解的优化模型是求解最小值，故而我们把求最大满意度问题转变为求解最低不满意度问题。我们用01之间的数来描述乘客不满意度

25、，最高为1，最低为0。当出租车空载率为30%左右时，打车容易，供需基本处于平衡状态；超过40%时，供过于求，低于25%时，供不应求，打车困难。不满意度与空驶率对应关系如下表：表10 空驶率与不满意度对应表空驶率>40%30%<25%不满意度00.20.4通过对上述表中数据进行拟合，得到空驶率与乘客不满意度有如下函数关系： （7）综合分析以上数据，并结合式（4）、（6）我们建立优化模型如下：利用软件对以上模型进行求解（程序见附录五），得到最佳解元。5.3.2设计方案 根据上面的求解结果，我们可知当补贴金额为8元时，乘客满意度最高，出租车供需较为合理，且打车较为容易。所以我们提供的补贴

26、方案为每单返现8元。考虑到司机接单积极性因素的影响，可以将8元进行分配，由于乘客才是打车这个事件的主要影响因素，所以分配返现金额时，乘客所得金额应该大于出租车司机，具体分配方案如下表11 出租车补贴方案（单位：元）乘客司机方案一80方案二71方案三62方案四535.3.3论证其合理性 将我们得出的补贴方案代入问题二的模型求解，首先将补贴金额8元代入公式（4）、（6）得出的人数变化率为0.7562，出租车空驶率0.8643，此时打车较为容易，且打车人数受价格变化影响较小。当然，我们代入更高的补贴金额也能达到这个目标，但却无法更进一步影响打车容易度，反而会增加打车软件公司的资产消耗。最终我们得出结

27、论，4种补贴方案较为合理。六 模型评价及推广6.1 模型的评价6.1.1 模型优点：1）问题一中的模型合理地将解释结构模型、层次分析法、模糊综合评价模型相结合，较好的解决了相应的问题，与单一模型相比较更具灵活性。2）问题二中将补贴方案的差异具体化成补贴金额的差异，将打车难易的模糊说法具体为补贴前后打车人口数不同，这样做既可以说明问题的主要因素，又巧妙的简化了问题的分析与求解过程。6.1.2模型的缺点：1 ）问题一中各类元素相互之间的相关系数在确定过程中具有一定的主观性。2）在确定影响出租车“供求匹配”程度因素的过程中，由于时间的原因不能将因素集考虑的更加全面。6.2 模型的推广问题一中建立的数

28、学模型用于评判不同时空出租车资源的供求匹配程度，联系实际情况，有很多与之类似的情形。比如不同地点的饭店在不同时间段内提供的席位与客人的供求匹配程度的相关问题，还有不同地点的城市图书馆内提供的图书与阅览者的供求匹配程度等。这样类似的实际问题有很多，只要确定好衡量指标，再结合具体问题，都可以用问题一中的模型来解决，这也就说明了模型的普适性和推广的价值。七、参考文献1刘凤秋，李善强，曹作宝，数学实验，哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2010.2张守建基于模型的标准信息化影响因素分析J.哈尔滨工业大学学报， 2010,42(8):1 306-1 310.3丁树良，杨淑群，汪文义.可达矩阵在认知诊断测验编

29、制中的重要作用J江西师范大学学报: 自然科学版，2010，34( 5) : 490-4954李道勇，戴建军.基于 FCD 的深圳市出租车汽车空驶率特点研究A.第三届中国智能交通年会学术委员会. 第三届中国智能交通年会论文集C.南京:东南大学出版社,2007.5梁小民. 西方经济学导论. 北京: 北京大学出版社, 1993.八、附录附录一：%根据邻接矩阵求解可达矩阵计算代码A=xlsread('C:Documents and SettingsAdministrator桌面 kedajuzhen.xls');I=eye(12);R=A+I;K=0;while 1Rnew=R * (

30、A+I)>0;if isequal(R,Rnew)RnewN=N+1breakendR=Rnew;N=N+1;endsuccess=xlswrite('E:R.xls',Rnew)附录二：%画'打车人数变化率与补贴金额函数图象'程序代码>>x=linspace(0,20,1000);N=0.267*exp(-0.48073*(x-5.117)+1-0.267;plot(x,N,'r')>> title('打车人数变化率与补贴金额函数图象');>> xlabel('补贴金额/元

31、9;);>> ylabel('打车人数变化率');>> hold on附录三：%滴滴打车补贴求空载率程序代码>> x=10,12.5,16,10.5,4,0;i=1-307.9*10000*0.267*(exp(-0.48073*(x-5.117)+1-0.267)/(336*0.9*16136)i = 0.8604 0.8717 0.8756 0.8638 0.5883 -1.0953%滴滴打车补贴求人数变化率程序代码x=10,12.5,16,10.5,4,0;>> G=0.267*exp(-0.48073*(x-5.117)+

32、1-0.267G = 0.7585 0.7407 0.7344 0.7531 1.1898 3.8579%快滴打车补贴下求空载率程序代码>> x=10,11,13,10,4,0;>> i=1-307.9*10000*0.267*(exp(-0.48073*(x-5.117)+1-0.267)/(336*0.9*16136)i = 0.8604 0.8665 0.8727 0.8604 0.5883 -1.0953%快滴打车补贴下求人数变化程序代码>> x=10,11,13,10,4,0;>> G=0.267*exp(-0.48073*(x-5.117)+1-0.267G = 0.7585 0.7488 0.7390 0.7585 1.1898 3.8579附录四：%求解哈市冬季南岗区某节假日出租车资源“