五年级数学数论与整除性

1、数论之整除性课前预习九进制乔治兰伯特是美国加利福尼亚州一所中学的数学教师，他对数学特别敏感而且有极大的研究兴趣。 他常年与数字、公式打交道，深感数学的神秘与魅力。他开始注意一些巧合的事件，力图用数学的方式来 破解巧合。他发现：法国皇帝拿破仑与纳粹元首希特勒相隔一个多世纪，但是他们之间有很多数字巧合。拿破仑1804年执政，希特勒1933年上台，相隔129年。拿破仑1816年战败，希 特勒1945年战败，相隔129年。拿破仑1809年占领维也纳，希特勒在1938 年攻人维也纳，也是相隔129年。拿破仑1812年进攻俄国，希特勒在相隔129年后进攻苏联。美国第16届总统林肯于1861年任总统，美国第

2、 35届总统肯尼迪于1961年任总统，时隔100年。两人同在星期五并在女人的参 与下被刺遇害。接任肯尼迪和林肯的总统的名字都叫约翰逊。更巧的是，杀害林肯的凶手出生于1829年，杀害肯尼迪的凶手出生于1929年，相隔又是100年。兰伯特被这些数字迷住了，他经常将这些数字翻来覆去地分解组合。他惊奇地发现，拿破仑和希特勒的巧合数129与林肯和肯尼迪的巧合数100,把它们颠倒过去分别是921和 001,用 921 减去 129,用 100 减去 001,得数都能被 9 除尽：921-129=792 , 100-001=99; 792+9=88, 99+ 9=11,结果都有一个十位和个位都相同的两位数的

3、商。兰伯特非常吃惊，他对9着了迷。他发现将1、2、3、4、5、6、7、8、9加在一起是45,而4+5=9。他还发现，用9乘以任何一个数，将所得到的积的各位数字相加，所得到的和总是9。取任何一个数，比如说2004,将每位数加起来是 2+0+0+4=6,用2004减去6结果得到1998,而1998+ 9=222,能被9除尽。他还总结出这样一个规律：把一个大数的各位数字相加得到一个和，再把这个和的各位数字相加又得到一个和。这样继续下去，直到最后的数字之和是一个一位数为止。最后这个数称为最初那个数的“数字 根”，这个数字等于原数除； 29的余数，这个计算过程被称作是“弃 9法”。懂得了弃9法，蓝伯特醒

4、悟 了不少，他进而想到，人类不应该10个10个地数数，也不应该12个12个数数，而应该9个9个地数数， 实行9进制。科学家认为，使用九进制，能使加减乘除运算变得更快更准确。但目前对9的研究还很不够，9对人类来说极具神秘性。包括兰伯特在内的数学家们正努力探索9的奥秘，希望在不久的将来对 9的研究有更大的突破。考试要求1、熟悉常见数的整除性质2、对于整除含义的理解，求解一些特定问题知识框架整除性质(1) 2:个位是偶数的自然数(2) 5:个位是0或5的自然数注：若一个数同时是 2和5的倍数，则此数的个位一定为 0(3) 4、25:末两位能被4、25整除(4) 8、125:末三位能被 8、125整除

5、(5) 3、9:各个数位上的数之和能被 3、9整除(6) 7、11、13通用性质：一个数如果是1001的倍数，即能被 7、11、13整除.如201201=201* 1001 ,则其必能被7、11、13整除从末三位开始，三位一段，奇数段之和与偶数段之和的差如果是7、11、13的倍数，则其为7、11、13的倍数末三位一段，前后均为一段，用较大的减去较小的，如果差为7、11、13的倍数，则其为7、11、13的倍数(7) 11:奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除(8) 99:两位一段(从右往左)，各段的和能被 99整除(9) 999:三位一段(从右往左)，各段的和能被999整除注意：当同时

6、能被多个数整除时，一般优先顺序为2和5确定个位，再4、25、8、125来确定十位、百位，接着考虑3和9,最后7、11、13,重难点1、熟记整除性质，若遇未学过的，则尽量分解成互质的几个数相乘，如：72=8X92、已知一个多位数的前半部分求后半部分时，可用估算，把原数看大些，利用除法求出余数，再把余数减去，如例93、看几个数相乘后末尾有多少个0,主要是看所有数中能分解出多少个2和5,如例8例题精讲【例1】 在口内填上适当的数字，使五位数23口6口既能被3整除又能被5整除.【解析】五位数能被 3和5整除，可先考虑5的整除性质，则个位为 0或5,当个位为0时，根据3的整除性质，则百位可填 1、4、7

7、,当个位为5时，百位可填2【巩固】已知五位数 154xy能被72整除，求x+y的值.【解析】能被72整除则一定是8和9的倍数，根据9的整除性质，则 x+y=8或17;根据8的整除性质， 则4xy必是8的倍数；当x+y=8时，可求出x=0,y=8;x=8,y=0 ;当x+y=17时，x=9,y=8,不可能是8的倍数， 则x+y只能等于82、六位数3ABABA屋6的倍数，其中 A、B表示不同的数字，这样的六位数共有多少个？【解析】六位数是 6的倍数，则必为 2和3的倍数，先考虑2的性质，可得 B=0、2、4、6、8,再考虑3 的性质，贝U 3+3A+3B=3 X (1+A+B ),因3X ( 1+

8、A+B ) 一定是3的倍数，贝U当 B=0时，贝U A可取1-9 (因 A、B不同)，共9个，从中可看出，当 B取其他值时，A都有9种可能性，则六位数有 5X9=45个【巩固】七位数 175062口的末位数字是 的时候，不管千位上是 0到9中得哪一个数字，这个七位 数都不是11的倍数【解析】若175a62b是11的倍数，贝U 1+5+6+b的和与7+a+2的和差为11的倍数，即12+b与9+a的差， 等于3+b-a或是a-b-3,则b可取07,当b=0时，a=3时，七位数是 11的倍数；当b=1时，a=4时，七 位数是11的倍数 经验证，b=7时七位数不是11的倍数3、由1, 3, 4, 5,

9、 7, 8这六个数字所组成的六位数中，能被 11整除的最大的数是多少？【解】：各位数字和为1+3+4+5+7+8=28所以偶数位和奇数位上数字和均为14为了使得该数最大，首位必须是8,第2位是7, 14-8=6那么第3位一定是5,第5位为1该数最大为875413.【巩固】求出一个最大的十位数，它由 0,1,2,3 , ,9这十个不同的数字组成，并且能被11整除？【解析】各位数字和为 0+1+2+3+9=45所以偶数位和奇数位上数字和分别为17和28为了使得该数最大，首位必须是9,第2位是8该数最大为9876524134、从0,3,5,7四个数字中任选三个，排成能同时被2、3、5整除的三位数，这

10、样的三位数共有几个？【解析】三位数能被 2和5整除，则个位一定为 0,能被3整除，则只能取0、5、7,所有的可能有 507、 570、 705、 750,共 4 个【巩固】一个三位数能同时被 2、5、7整除，这样的三位数按从小到大的顺序排成一列，中间的一个是 【解析】三位数能被 2和5整除，则个位一定为0,12、5、71 =70,则满足条件的三位数是140、210、280、350、420、490、560、630、700、770、840、910、980 共 13 个，中间的一个是 5605、求被11整除且数字和等于 43的五位数思路:现在我们有两个入手的选择，可以选择数字和，也可以选择被11整除

11、，但我们发现被 11整除性质的运用要具体的数字，而现在没有，所以我们选择先从数字和入手【解析】：5位数数字和最大的为9X5=45,这样43的可能性只有9,9,9,9,7或9,9,9,8,8.这样我们接着用11的整除特征，发现符合条件的有99979, 97999, 98989符合条件.【巩固】在小于 5000的自然数中，能被 11整除，并且数字和为 13的数，共有多少个？【解析】 两位数字中能被 11整除的数字是11、22、99这些数字中显然没有这样的数.（1） 三位数，设这个 三位数为abc，有 a+ b+ c= 13和a+ c- b= 11 ,显然有 a+ c= 12, b=1 ,所以就有

12、913 , 814, 715,616 , 517 , 418 ,319 这 7 个.（2） 四 位数， 设 这个四位数为abcd ,有a+ b+c+ d= 13和（a+ c ）- （ b+ d）= 11中，若a+ c= 12 , b+ d=1贝U a =3或4有2种组合，b和d有2种.因此有 4种；有a+b+c+d= 13 和（b+ d ）- （ a+ c ）= 11 , a+ c= 1 , b+ d= 12，则只能 a= 1 , c= 0 , b 和 d 有 7 种组合.综 上所述，这小¥的数有7 +4 +7 =18个.6、（ 2008解题能力展示六年级初赛）已知九位数2007口1

13、2口2既是9的倍数，又是11的倍数，那么，这个九位数是【解析】 九位数2007口12口2既是9的倍数，又是11的倍数，则一定是99的倍数，根据99的整除性质， 可得 2+00+7 +12+口 2=99,可得九位数为 200711232【巩固】42口 28口能被99整除，方框里应该填什么数 ？【解析】42口28国归被99整除，贝U 42+D2+8&99X2,贝U为4272847、把三位数 翻接连重复的写下去，共写 1993个，所得的数3ab3ab3ab3ab恰是91的倍数，求ab1993 个 3ab【解析】91=13X7,则根据13、7的整除性质3ab是91的倍数，则ab=64【巩固】如

14、果2005200200501、。祓11整除，那么n的最小值是-n 2005分析：20052005200501中奇数位减偶数位的差为（ 52） n+1=3n+1,当n=7时，（3n+1）是11的倍n 个 2005数，所以n的最小值是7.8、2005X 684X375 X 口最后4位都是0,请问口里最小是几 ？【解】：先分析1X 2X3X4XX 10的积的末尾共有多少个0.由于分解出2的个数比5多，这样我们可以得出就看所有数字中能分解出多少个5这个质因数.而能分解出5的一定是5的倍数.注意：5的倍数能分解一个5, 25的倍数分解出2个5, 125的倍数能分解出3个5最终转化成计数问题，如5的倍数有

15、10/5=2个.2005=5X401684=2 X 2X 171375=3 X 5X 5X 5前三个数里有 2个质因子 2, 4个质因子 5,要使得乘积的最后 4位都是0,应该有4个质因子2和4个质因子5,还差2个质因子.因此口里最小是4.注意：看几个数相乘后末尾有多少个0,主要是看所有数中能分解出多少个2和5【巩固】从1到101这101个自然数连乘的末尾共有多少个连续的数码0?【解析】从1到101,看所有数中能分解出多少个5和2,2的个数够用，则5的倍数有100+5=20个，25的倍数有100 + 25=4个，则共有 20+4=24个9、某个七位数1993口口能够同时被 2、3、4、5、6、

16、7、8、9整除，那么它的最后三位数是 【解析】七位数能被2、3、4、5、6、7、8、9整除，则一定能被12、3、4、5、6、7、8、9=2520整除，把七位数看成 1994000,1994000 + 2520680,则七位数为 1994000-680=1993320【巩固】（2009年101中学小升初试题）在 2009后面补上三个数字，组成一个七位数2009DDD,使得这个七位数能被 2、3、4、5、6整除，那么当补上的三个数字的和最大时，所补的三个数字是 【解析】七位数能被2、3、4、5、6整除，贝U一定能被12、3、4、5、6=60整除，把七位数看成2010000,2010000 + 60

17、60,则七位数最大为 2010000-60=2009940, 9+4+0=13,要使补上的三个数字的和最大，则当七位 数为2009880时，和最大为 8+8+0=1610、某商场向顾客发出 9999张购物券，每张上面印有一个四位数的号码，从 0001到9999.如果号码的前 面两位之和等于后面两位数字之和，则称为“幸运券”.例如号码0826,因0+8=2+6,所以叫做“幸运券”，试说明：商场发出的所有“幸运券”中，所有的“幸运券”的号码之和能被101整除.解：“配位求和法”，即号码为0000和9999的和一定能被101整除（9999=99X 101）,再接着应该是后两 位增加1的，这样有四组数

18、 1001 , 0101, 1010, 0110;对应后面的为 8998, 9898, 8989, 9889这样每组 数的和为1001+8998=9999,也能被101整除，因为总共有 10000个号码（加上0000）,所以肯定是对称出 现的，所以肯定能被 101整除.【巩固】求19999的所有数码和？【解析】在19999前面补上0,共10000个数，利用“配位求和法”，则0+9999=9999,数码之和是0+9+9+9+9=36 ,同理 1+9998=9999,数码之和是 1+9+9+9+8=36 ,共 10000+2=5000 组，则所有的数 码之和是 36X 5000=180000课堂检

19、测1、（2003年一零一中学入学摸底考试第11题）既能被3整除，又能被7整除的最小三位数是 【解析】既能被 3整除，又能被7整除，则一定能被 21整除，则最小三位数是1052、（2003年一零一中学入学摸底考试第20题）一个五位数中各个数位上的数字和是42,则其中能被4整除的五位数是哪几个？【解析】五位数各个数位上的数字和是42,而五位数最大是 99999,数字和是 45,多了 3,则五位数可由9、9、9、9、6或9、9、8、8、8或9、9、9、8、7组成，又因能被4整除的数个位一定是偶数，且末两位一定是4的倍数，即只有 88、96满足，则五位数有 99996、99888、98988、8998

20、8共4个3、（北京市一零一中学计算机培训班六年级0405学年一学期第一次随堂测试第12题）在11000之间的自然数，能同时被 2、3、5整除的数共有 个.【解析】能同时被 2、3、5整除的数一定能被 60整除，则1000之内有1000 + 60=1640,共16+1=17 个4、（2006年“我爱数学杯”数学竞赛）2006年6月11日是小明的生日.在2006的前边和后边各添上一个数，组成一个六位数，这个六位数正好 能被他的出生月份数和日期数整除.这个六位数是.【解析】这个六位数应能被2、3、11整除.由能被2整除，推知个位数是偶数.如果个位数是0,由能被11整除，推知首位是 7,720060能

21、被3整除，所以720060是解.如果个位数是2,由能被11整除，推知首位是 9, 920062不能被3整除，所以920062不是解.同理，由个位数 4、6、8都得不到解.综上所述，这个六位数是 720060.5、（ 06年十一学校选拔考试真题）一个两位数，其十位与个位上的数字交换以后，所得的两位数比原来小27,则满足条件的两位数共有 个.【解析】原两位数为10a+b,则交换个位与十位以后，新两位数为10b+a,两者之差为（10a+b） - （10b+a）=9 （a-b） =27,即 a-b=3, a、b 为一位自然数，即 96, 85, 74, 63, 52, 41 满足条件.6、（“祖冲之”

22、杯数学邀请赛试题）求 1, 2, 3,，9999998, 9999999这9999999个数中所有数码的和. 【解析】在这些数前面添一个数 0,并不影响所有数码的和.将这1000万个数两两配对，因为0与9999999, 1与9999998,，4999999与5000000各对的数码和都是 9X7=63.这里共有5000000对，故所有数码的和是 63X 5000000=315000000.复习总结1、重点掌握2、3、5、9、11、99的整除性质2、重点掌握求数码和的方法，如例 10,此内容是杯赛常考类型，也可与余数问题结合起来家庭作业1、在25D79这个数的口内填上一个数字，使这个数能被11整

23、除，方格内应填.【解析】能被11整除，则填12、一个六位数23口56口是88的倍数，这个数除以 88所得的商是 或 .【解析】是88的倍数，则是8和11的倍数，根据8的性质个位可填0或8,则千位可填0或8,则商可为 2620或 27113、有一个首位数字是 8的六位数，它能被9整除，并且各个数位上的数字都不相等.这样的六位数最小是几？【解析】最小为8012354、（2008走美五年级初赛）1a87a2是2008的倍数，那么a= 【解析】是2008的倍数，则是 4和8的倍数，则a=1、5、9,经验证，a=95、已知九位数2005口是2010的倍数，这样的九位数共有多少个？【解析】九位数2005口是2010的倍数，则20060000+ 2010200,则满足条件最大的数是 20059800, 最小的是 20051760,共有（20059800-20051760）攵010+1=5 个6、把30个自然数1、2、330乘到一起，那么这个乘积的末尾会有 个0【解析】看2和5的倍数的个数，共 7个7、三位数中能被11整除，且数字之和是 11的有 个【解析】三位数，设这个三位数为 abc，有a+ b+ c= 11和a+ c-b= 11 ,显然有a+ c= 11 , b= 0 ,所以就有 209、308、407、506、605、704、803、902 共 8 个.8、（三帆培训班）一个四位数能被4