奥数知识系统总结及讲解

1、前言小学奥数知识点梳理，对于学而思的小学奥数大纲建设尤其必要，不过，对于知识点的概括很可能出现以偏概全挂一漏万的现象， 为此，本人参考了单尊主编的 小学数学奥林匹克 、中国少年报社主编的 华杯赛教材、华杯赛集训指南以及学而思的寒假班系列教材和华罗庚学校的教材共五套教材，力图打破原有体系，重新整合划分，构建十七块体系（其第十七为解题方法汇集，可补充相应杂题） ，原则上简明扼要，努力刻画小学奥数知识的主树干。概述一、 计算1 四则混合运算繁分数运算顺序分数、小数混合运算技巧一般而言：加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式；乘除运算中，统一以分数形式。带分数与假分数的互化繁分数的化简2 简便计算

2、凑整思想基准数思想裂项与拆分提取公因数商不变性质改变运算顺序运算定律的综合运用连减的性质连除的性质同级运算移项的性质增减括号的性质变式提取公因数形如： a1ba2b.anb(a1a2.an )b3 估算求某式的整数部分：扩缩法4 比较大小通分a. 通分母b. 通分子 跟“中介”比 利用倒数性质若 111，则 cba.。形如：m1m2m3 ，则n1n2n3 。abcn1n2n3m1m2m35 定义新运算6 特殊数列求和运用相关公式： 1 23nn n12n n 1 2n 1 1222n 26 an n1n2nn 1323n31 2n 2n2 n 1 24 abcabcabc1001 abc7 1

3、113 a 2b 2ab ab 1+2+3+4（ n-1） +n+（ n-1）+4+3+2+1=n 2二、 数论1 奇偶性问题奇奇 =偶奇偶 =奇偶偶 =偶2 位值原则奇奇 =奇奇偶 =偶偶偶 =偶形如： abc =100a+10b+c3 数的整除特征：整除数特征2 末尾是 0、 2、4、 6、 83 各数位上数字的和是 3 的倍数5 末尾是 0或59 各数位上数字的和是 9 的倍数114和258和1257、 11、 13奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是末两位数是4（或 25）的倍数末三位数是8（或 125）的倍数末三位数与前几位数的差是7（或 11 或 13）的倍数11 的倍数

4、4 整除性质如果 c|a 、 c|b ，那么 c|(ab)。如果 bc|a ，那么 b|a ， c|a 。如果 b|a ，c|a ，且（ b,c）=1,那么如果 c|b,b|a, 那么 c|a.a 个连续自然数中必恰有一个数能被bc|a 。a 整除。5 带余除法一般地，如果a 是整数， b 是整数（ b 0）,那么一定有另外两个整数q 和 r ，0 r b,使得 a=bq+r当 r=0 时，我们称 a 能被 b 整除。当 r 0 时，我们称 a 不能被 b 整除， r 为 a 除以 b 的余数， q 为 a 除以 b 的不完全商（亦简称为商）。用带余数除式又可以表示为a b=qr, 0 r b

5、 a=b q+r6. 唯一分解定理任何一个大于 1的自然数 n都可以写成质数的连乘积，即a 1p2a 2akn= p1 . pk7.约数个数与约数和定理设自然数 n的质因子分解式如 n= p1 a 1 p2 a 2ak 那么： . pkn的约数个数： d(n)=(a1+1)(a2+1).(ak+1)n的所有约数和：（ 1+P1+P12 +p1 a 1 ）（ 1+P2+P22 + p2 a 2 ）（ 1+Pk+Pk2 +pk ak ）8.同余定理 同余定义：若两个整数a，b 被自然数 m 除有相同的余数，那么称a，b 对于模 m 同余，用式子表示为 ab(mod m)若两个数 a，b 除以同一个

6、数 c 得到的余数相同，则 a， b 的差一定能被 c 整除。两数的和除以 m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数和。两数的差除以 m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数差。两数的积除以 m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数积。9完全平方数性质平方差：A 2 -B 2 =（ A+B）（ A-B），其中我们还得注意A+B，A-B同奇偶性。约数：约数个数为奇数个的是完全平方数。约数个数为 3的是质数的平方。质因数分解：把数字分解，使他满足积是平方数。平方和。10孙子定理（中国剩余定理）11辗转相除法12数论解题的常用方法：枚举、归纳、反证、构造、配对、估计三、 几何图形1 平面图形多边形的

7、内角和N 边形的内角和 =(N-2) 180等积变形（位移、割补） 三角形内等底等高的三角形 平行线内等底等高的三角形 公共部分的传递性极值原理（变与不变）三角形面积与底的正比关系S1S=a b ；S1S S或者 S1SS22=S433=S24相似三角形性质（份数、比例） ab c h;S1 S2=a2 A2AB C HSS S S 2 b2 ab ab ;S=（ a+b） 21324= a燕尾定理AFDGBECSABG： SAGCS BGE： S GECBE： EC；SBGA： SBGC S AGF： SGFC AF： FC；SAGC：SBCG SADG：SDGB AD：DB；差不变原理知

8、5-2=3 ，则圆点比方点多 3。隐含条件的等价代换例如弦图中长短边长的关系。组合图形的思考方法化整为零先补后去正反结合2 立体图形规则立体图形的表面积和体积公式不规则立体图形的表面积整体观照法体积的等积变形水中浸放物体：V 升水 =V 物测啤酒瓶容积：V=V 空气 +V 水三视图与展开图最短线路与展开图形状问题染色问题几面染色的块数与“芯” 、棱长、顶点、面数的关系。四、 典型应用题1 植树问题开放型与封闭型间隔与株数的关系2 方阵问题外层边长数 -2=内层边长数（外层边长数 -1） 4=外周长数外层边长数2-中空边长数 2=实面积数3 列车过桥问题车长 +桥长 =速度时间车长 甲 +车长

9、乙 =速度和相遇时间车长 甲 +车长 乙 =速度差追及时间列车与人或骑车人或另一列车上的司机的相遇及追及问题车长 =速度和相遇时间车长 =速度差追及时间4 年龄问题差不变原理5 鸡兔同笼假设法的解题思想6 牛吃草问题原有草量 =（牛吃速度 -草长速度）时间7 平均数问题8 盈亏问题分析差量关系9 和差问题10 和倍问题11 差倍问题12 逆推问题还原法，从结果入手13 代换问题列表消元法等价条件代换五、 行程问题1 相遇问题路程和 =速度和相遇时间2 追及问题路程差 =速度差追及时间3 流水行船顺水速度 =船速 +水速逆水速度 =船速 -水速船速 =（顺水速度 +逆水速度）2水速 =（顺水速度

10、 -逆水速度） 24 多次相遇线型路程：甲乙共行全程数=相遇次数 2-1环型路程：甲乙共行全程数=相遇次数其中甲共行路程=单在单个全程所行路程共行全程数5 环形跑道6 行程问题中正反比例关系的应用路程一定，速度和时间成反比。速度一定，路程和时间成正比。时间一定，路程和速度成正比。7 钟面上的追及问题。时针和分针成直线；时针和分针成直角。8 结合分数、工程、和差问题的一些类型。9 行程问题时常运用“时光倒流”和“假定看成”的思考方法。六、 计数问题1 加法原理：分类枚举2 乘法原理：排列组合3 容斥原理：总数量 =A+B+C-(AB+AC+BC)+ABC常用：总数量 =A+B-AB4 抽屉原理：

11、至多至少问题5 握手问题在图形计数中应用广泛角、线段、三角形，长方形、梯形、平行四边形正方形七、 分数问题1 量率对应2 以不变量为“ 1”3 利润问题4 浓度问题倒三角原理例：5 工程问题合作问题水池进出水问题6 按比例分配八、 方程解题1 等量关系相关联量的表示法例：甲+乙=100甲乙 =3x 100-x3x x解方程技巧恒等变形2 二元一次方程组的求解代入法、消元法3 不定方程的分析求解以系数大者为试值角度4 不等方程的分析求解九、 找规律周期性问题年月日、星期几问题余数的应用数列问题等差数列通项公式an=a1+(n-1)d求项数：n= ana1 1d求和：( a1an )nS=2等比数

12、列求和：S= a1( qn1)q1裴波那契数列策略问题抢报 30放硬币最值问题最短线路a.一个字符阵组的分线读法b.在格子路线上的最短走法数最优化问题a.统筹方法b.烙饼问题十、 算式谜1 填充型2 替代型3 填运算符号4 横式变竖式5 结合数论知识点十一、数阵问题1 相等和值问题2 数列分组知行列数，求某数知某数，求行列数3 幻方奇阶幻方问题：杨辉法罗伯法偶阶幻方问题：双偶阶：对称交换法单偶阶：同心方阵法十二、二进制1 二进制计数法二进制位值原则二进制数与十进制数的互相转化二进制的运算2 其它进制（十六进制）十三、一笔画1 一笔画定理：一笔画图形中只能有0 个或两个奇点；两个奇点进必须从一个奇点进，另一个奇点出；2 哈密尔顿圈与哈密尔顿链3 多笔画定理奇点数笔画数 =2十四、逻辑推理1 等价条件的转换2 列表法3 对阵图竞赛问题，涉及体育比赛常识十五、火柴棒问题1 移动火柴棒改变图形个数2 移动火柴棒改变算式，使之