1.2多元极限与连续ppt课件

1、第二节第二节 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续,),(),(0时时PUDyxP (也称为二重极限也称为二重极限),)(lim0APfPP 记记作作当点当点则称则称 A 为函数为函数，时时的的极极限限当当),(),(),(00yxyxyxfz ,),(lim00Ayxfyyxx 或或,成成立立-),( Ayxf都有都有若存在常数若存在常数 A , 对任意正数对任意正数 , 总存在正数总存在正数 ,Ayxfyxyx ),(lim),(),(00或或定义定义2. 1 设设 ,),(, ),(Dyxyxfz 的聚点，的聚点，是是 DyxP),(00的的充充分分必必要要条条件件为为：APfPP

2、)(lim0.),(),(000AyxPyxP时时的的极极限限都都是是以以任任何何方方式式趋趋于于点点一、二元函数的极限一、二元函数的极限多元函数极限与一元函数极限有很多共性：多元函数极限与一元函数极限有很多共性：“” 运算；运算；极限的变量代换；极限的变量代换； 夹逼准则。夹逼准则。有界变量与无穷小的乘积是无穷小有界变量与无穷小的乘积是无穷小.初等函数的极限；初等函数的极限；.01sin)(lim222200 yxyxyx 0sinsinlim1100 xyyxyx1sin3sin)1(lim21 xxyyx 若当点),(yxP趋于不同值或有的极限不存在，趋于不同值或有的极限不存在，解解:

3、设设 P(x , y) 沿直线沿直线 y = k x 趋于点趋于点 (0, 0) ,22),(yxyxyxf222200lim),(limxkxxkyxfxkxyx在点在点 (0, 0) 的极限的极限.),(yxf故故则可以断定函数极限则可以断定函数极限则有则有21kkk 值不同值不同,自变量趋于原点的路径也不同，极限也不同自变量趋于原点的路径也不同，极限也不同 !在在 (0,0) 点极限不存在点极限不存在 .以不同方式趋于以不同方式趋于,),(000时时yxP不存在不存在 .例例2.2 讨论函数讨论函数函数函数例例 求：求：解解: :这里这里2lim1lim1lim20)2,0(),( yx

4、yexeyxyxyxyyx的定义域为的定义域为D=(x , y)| x0, yR点点P0(0,2)为为D的聚的聚点点由极限运算法则得由极限运算法则得xeyxfxy1),( xexyyx1lim)2,0(),( 11lim1lim00 uexyeuuxyuxyxy因因21lim)2,0(),( xexyyx所所以以二、二、 多元函数的连续性多元函数的连续性 定义定义2 .2 设设 n 元函数元函数)(Pf定义在定义在 D 上上,)()(lim00PfPfPP0)(PPf在点如果函数在如果函数在 D 上各点处都连续上各点处都连续, 则称此函数在则称此函数在 D 上上,0DP 聚聚点点如果存在如果存

5、在否则称为不连续否则称为不连续,0P此时此时称为间断点称为间断点 .则称则称 n 元函数元函数连续连续.连续连续, 例如例如, 函数函数0,00,),(222222yxyxyxyxyxf在点在点(0 , 0) 极限不存在极限不存在, 又如又如, 函数函数11),(22yxyxf上间断上间断.122 yx 故故 ( 0, 0 )为其间断点为其间断点.在圆周在圆周结论结论: 初等函数在定义区域内连续初等函数在定义区域内连续.252141lim22)2, 1(),(xyyxyx例例如如定理定理2.2 （最大值和最小值定理）（最大值和最小值定理） 一点一点P2，使得，使得f (P1)为最大值而为最大值

6、而f( P2)为最小值，即对为最小值，即对于于)()()(12PfPfPf 在有界闭区域在有界闭区域 D上的连续函数，在上的连续函数，在 D上一定有上一定有最大值和最小值这就是说，在最大值和最小值这就是说，在 D上至少有一点上至少有一点P1及及一切一切PD, 有有定理定理2.3介值定理）介值定理）在有界闭区域在有界闭区域D上的多元连续函数，必取得介于上的多元连续函数，必取得介于最大值和最小值之间的任何值最大值和最小值之间的任何值推论推论 有界闭区域有界闭区域 D上的连续函数一定有界上的连续函数一定有界内容小结内容小结例例6 求求xyyxyx 2)2, 1(),(lim23)3 , 1(lim2)2, 1(),( fxyyxyx解解: :函数函数 是初等函数，是初等函数，xyyxyxf 2),(是是其其定定义义域域中中的的点点，点点)2, 1(0P.11lim00yxyxyx 解解: 原式原式) 11(1) 1(lim200