1.2定积分的换元法和分部积分法(2)ppt课件

1、第三节第三节 定积分的换元法定积分的换元法 和分部积分法和分部积分法定积分的换元法定积分的换元法定积分的分部积分法定积分的分部积分法definite integral by partsdefinite integral by substitution第五章第五章 定积分定积分 baxxfd)(定积分换元公式定积分换元公式上上在在, )( t f )(t tt d)( 定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法一、定积分的换元法一、定积分的换元法(1) (2) 具有连续导数具有连续导数,且其值域且其值域,baR definite integral by substitution定理定理

2、1假设函数假设函数,)(baCxf 函数函数满足条件满足条件:)(tx ;)(,)(ba tttfd )()( )()(aFbF )()( FF 证证,)(baCxf 因为因为),(xF xxfbad )( )(ddtFt 是是故故)(tF tttfd )()( )()(aFbF 所以所以 tttfxxfbad)()(d)( 由于由于 tttfxxfbad)()(d)( )(tF )()(ttf 的的)()(ttf N-L公式公式)()(aFbF N-L公式公式)()( FF 存在原函数存在原函数定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法原函数原函数,)(t 注注积分限要作相应的改变

3、，积分限要作相应的改变，故积出来的原函数不必回代故积出来的原函数不必回代; tttfxxfbad)()(d)( (1),时时当当 换元公式仍成立换元公式仍成立;(2) 应用定积分换元公式应用定积分换元公式,定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法例例 203dsin xx 202dsinsin xxxxxcosd)cos1(202 xtcos ttd)1(2 01331tt, 0 x32xtcos 1 t,2 x0 t01 “凑微分时凑微分时,不明显地写出不明显地写出积分限不需变积分限不需变.新变量新变量 t，注注定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法 202cosd

4、)cos1( xx203cos31cos xx 32 例例 解解 43)ln1(lndeexxxx原式原式 43)ln1(ln)(lndeexxx 432)ln(1lnd2eexx 43)lnarcsin(2eex .6 )ln(dx定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法xxlndln121例例 )0(d022 axxaa解解原式原式ttadcos202 ,sintax 令令2,0, 0 taxtx 20d22cos1 tta241a 这是半径为这是半径为a的四分之一的圆的面积的四分之一的圆的面积.定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法.dcosdttax 解解 a

5、axxax022)0(d1令令,sintax ax 2 t0 x0 tttaxdcosd 原式原式 ttcossin 20dcossinsincos121 ttttt 20cossinln21221 tt .4 ttatatad)sin1(sincos22 02 定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法 20 tcostd tsintcos tsin 21几个关于奇、偶函数及周期函数的定积分几个关于奇、偶函数及周期函数的定积分例例 证证明明上上可可积积在在区区间间设设,)(aaxf 由被积函数和积分区间来确定变换由被积函数和积分区间来确定变换. aaxxfxfxxfd)()(d)(

6、0a定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法 0d)(axxf axxf0d)( 0d)(attftx 令令.ddtx xexxd1cos44 22xexexxxd1cos1cos40 40dcos xx证明证明 定积分定积分-面积的代数和。面积的代数和。定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法 aaaxxfxfxxf0d)()(d)(,)()1(为偶函数为偶函数xf aaaxxfxxf0d)(2d)(,)()2(为为奇奇函函数数xf aaxxf0d)( xxxxxd12sin552423xx d412 00 xxxdsin4 112d4xx例例 20 0 xxxd |

7、1)124(52 xxxxd122235 038 xxxd |2 奇奇奇奇偶偶定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法11 20224d122xxxxxxxd |. 121 xx d2123 2222345d12. 2xxxxxx 22224d12xxxx例例 312d)2(, 0, 0,1)(xxfxexxxfx求求设设解解 法一法一,2tx 令令txdd e137 tt d )1(012 定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法 31d)2(xxf 11d)(ttftetd10 法二法二 )2(xf , 2, 2, 5422xexxxx 31d)2(xxf 1 3e

8、137 , 02 x,)2(12 x, 02 x,)2( xexxxd)54(2 xexd2 22定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法 312d)2(, 0, 0,1)(xxfxexxxfx求求设设证证 (1)tx 2 例例 证证明明上上连连续续在在若若,1 , 0)(xf 2020;d)(cosd)(sin)1( xxfxxf设设定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法02 20d)(cos ttf 20d)(cos xxftxdd 20d)(sin xxf ttfd)2sin( 定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法tx txdd 0d)(sinx

9、xxf 0d)(sin)(ttft设设 0d)(sinxxxf.d)(sin20 xxf证证(2) 00d)(sin2d)(sin)2(xxfxxxf 0d)(sinttf 0d)(sinttft 证证明明上上连连续续在在若若,1 , 0)(xf0例例 ttftd)sin()( 02dcos1sinxxxx 02dcos1sin2xxx 02)(cosdcos112xx 0)arctan(cos2x .42 )44(2 说明说明:虽然虽然, 0cos1sin2 Cxxx 但由于它没有但由于它没有初等原函数初等原函数,故无法直接用故无法直接用N-L公式求积分公式求积分.定积分的换元法和分部积分法

10、定积分的换元法和分部积分法 00d)(sin2d)(sinxxfxxxf 43 解解 exxxd)tan1(sin24 xxdsin4204 原式原式 e e2 2 周期函数在任何长为一周期的区间上的定积分都相等周期函数在任何长为一周期的区间上的定积分都相等.定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法 2e ee2xxxeed)tan1(sin24 计计算算.d)(d)(,)(0为任何常数为任何常数的周期的周期是连续函数是连续函数如果如果axxfxxfxfTTaaT xxtttxx020dsin1lim求求极极限限解解被积函数中含有变量被积函数中含有变量 x,积分上限函数的导数公式积

11、分上限函数的导数公式?.,utx 令令 xtttx0dsinuuudsin xxxxx22sinlim220 1 00分析分析02x定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法 2020dsin1limxxuuux原原式式定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法选择题选择题设函数设函数)(xf连续连续,则下列函数中则下列函数中,必为偶函数的是必为偶函数的是.d)()(02ttfAx .d)()(02ttfBx .d)()()(0ttftftCx .d)()()(0ttftftDx 分析分析 xttfx0d)()( )( 0d)(ttfx x 定积分的分部积分公式定积分的分部

12、积分公式定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法设设)(),(xvxu上上在在区区间间,ba有连续的导数有连续的导数, vuddefinite integral by parts定理定理2uv uvdabbaab例例 30d1arcsinxxx解解xxx 1arcsin334 定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法uvd原式原式=30 30 xxxxd)1(2 xxd)111(30 xd)arctan(xx 30 301xx例例 102d)2()1ln(xxx 10)1ln(x2ln 10)2ln()1ln(312lnxx

13、2ln31 定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法u dx 21xx 2)1ln(10 xxxd112110 xd10 xx211131例例 解解 21,dsin)(xtttxf设设.d)(10 xxxf求求 10d)(xxxf2dx102)(21xfx 102)(d21xfx)1(21f ttsin没有初等原函数没有初等原函数,定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法分析分析使用分部积分法使用分部积分法.u 10)(xf21. 0)1( f22sin)(xxxf .sin22xx x2 102dsin221xxx 1022dsin21xx102cos21x ).11

14、(cos21 思考题思考题解答解答 10d)2(xxfx 10)2(d21xfx 10)2(21xfx 10)2(4125xf )0()2(4125ff . 2 10d)2(21xxf )2(21f 10)2(d)2(41xxf定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法.d)2(, 5)2(, 3)2(10 xxfxff求求, 1)0(,1 , 0)( fxf且且上上连连续续在在设设定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式 bababauvuvvudd定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法三、小结三、小结定积分的换元公式定积分的换元公式xxfbad)( tttfd)()

15、( 奇、偶函数在对称区间上的定积分性质奇、偶函数在对称区间上的定积分性质三角函数的定积分公式三角函数的定积分公式周期函数的定积分公式周期函数的定积分公式思考题思考题 试检查下面运算是否正确试检查下面运算是否正确? 1121dxx tt1d111112tx1 令令 1121dtt 1121dxx 1121dxx0 定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法如不正确如不正确,指出原因指出原因.解答解答, 0112 x 1121dxx必定大于零必定大于零.问题：引进变换问题：引进变换tx1 ,1 , 1上上不不连连续续在在 不满足换元法则的前提条件不满足换元法则的前提条件.例例证证 xxI

16、nndsin02 n为正偶数为正偶数n为大于为大于1的正奇数的正奇数,22143231 nnnn,3254231 nnnn J.Wallis公式公式十七世纪的英国数学家十七世纪的英国数学家 John Wallis 给出给出.定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法 x2sin1 0)1( n 20dsin xxInnxxnndsin)1(20 2 nI)1( nnI 201cossin xxn xxxnndcossin)1(2022 xxnndsin)1(202 201dcossin xxn)1( n21 nnInnI积分积分 关于下标的递推公式关于下标的递推公式nI 20dsin xxInn2 nI)1( nnI