2006年上海市高中数学竞赛试卷及答案(共9页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上2006年上海市高中数学竞赛（新知杯）试卷（2006年3月26日 星期日 上午8：3010：30）题 号一二总分189101112得 分评 卷复 核【说明】解答本试卷不得使用计算器一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）1设x，y，z是正实数，满足，则xyz的最大值是 2设从正整数k开始的201个连续正整数中，前101个正整数的平方和等于后100个正整数的平方和，则k的值为 3设是给定的整数，是实数，则的最大值是 4在ABC中，已知，过边AC上一点D作直线DE，与边AB或者BC相交于点E，使得，且DE将ABC的面积两等分，则 5对于任意实数

2、a，b，不等式恒成立，则常数C的最大值是 （注：表示x，y，z中的最大者）6设，则满足条件的所有实数a，b的值分别为 7在直三棱柱中，已知底面积为s平方米，三个侧面面积分别为m平方米，n平方米，p平方米，则它的体积为 立方米8已知函数RR满足：对任意R，都有，则所有满足条件的函数f为 二、解答题9（本题满分14分） 已知抛物线，其焦点为F，一条过焦点F，倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，连接AO（O为坐标原点），交准线于点，连接BO，交准线于点，求四边形的面积 10（本题满分14分） 数列定义如下：，且当时，已知，求正整数n 密 封 线 11（本题满分16分） 对一个边长互不相等的凸边形的边

3、染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色问：共有多少种不同的染色方法？12（本题满分16分） 设，求的最大值和最小值2006年上海市高中数学竞赛参考答案一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）1、 2、201003、 4、5、1003 6、，b07、 8、二、解答题9（本题满分14分） 已知抛物线，其焦点为F，一条过焦点F，倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，连接AO（O为坐标原点），交准线于点，连接BO，交准线于点，求四边形的面积解 当时， （4分）当时，令设，则由， ， 消去x得，所以 ， 又直线AO的方程为：，即为，所以，A

4、O与准线的交点的坐标为，而由知，所以B和的纵坐标相等，从而轴同理轴，故四边形是直角梯形（9分）所以，它的面积为（14分）10（本题满分14分） 数列定义如下：，且当时，已知，求正整数n解 由题设易知，又由，可得，当n为偶数时，；当是奇数时， （4分）由，所以n为偶数，于是，所以，是奇数于是依次可得：， 是偶数，是奇数，是偶数，是奇数，是偶数，是偶数， ，是奇数， （9分），是偶数，是奇数，是偶数，所以，解得，n238 （14分）11（本题满分16分） 对一个边长互不相等的凸边形的边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色问：共有多少种不同的染色方法？ 解 设不同的染色法有种易知 （4分） 当时，首先，对于边，有3种不同的染法，由于边的颜色与边的颜色不同，所以，对边有2种不同的染法，类似地，对边，边均有2种染法对于边，用与边不同的2种颜色染色，但是，这样也包括了它与边颜色相同的情况，而边与边颜色相同的不同染色方法数就是凸n1边形的不同染色方法数的种数，于是可得 ， （10分） 于是 ， ， 综上所述，不同的染色方法数为 （16分）12（本题满分16分） 设，求的最大值和最小值解 因为