第25课与圆有关的计算

1、1(2013浙江温州)在ABC 中，C 为锐角，分别以 AB， AC 为直径作半圆， 过点 B， A， C 作BAC，如图 251 所示 若 AB4， AC2， S1S24，则 S3S4的值是()A.294B.234C.114D.54【解析】AB4，AC2，S1S32，S2S42.S1S24，(S1S3)(S2S4)(S1S2)(S3S4)32，S3S454，故选 D.【答案】D2(2013浙江湖州)在学校组织的实践活动中，小新同学用纸板制作了一个圆锥模型，它的底面半径为 1，高为2 2，则这个圆锥的侧面积是()A4B3C2 2D2【解析】底面半径为 1，高为 2 2，母线长为 （2 2）21

2、23.圆锥的侧面积 S侧rl133.【答案】B3(2013浙江绍兴)若圆锥的轴截面为等边三角形，则称此圆锥为正圆锥，则正圆锥侧面展开图的圆心角是()A90B120C150D180【解析】设正圆锥的侧面展开图的圆心角是，正圆锥的底面半径是 r，则母线长是 2r，则r2r360180.故选 D.【答案】D4(2013浙江嘉兴)如图 252，某厂生产横截面直径为7 cm 的圆柱形罐头，需将“蘑菇罐头”字样贴在罐头侧面为了获得较佳视觉效果，字样在罐头侧面所形成的弧的度数为 90，则“蘑菇罐头”字样的长度为()A.4cmB.74cmC.72cmD7 cm【解析】字样在罐头侧面所形成的弧的度数为 90，此

3、弧所对的圆心角为 90.由题意可得，R72cm，则“蘑菇罐头”字样的长度907218074.故选 B.【答案】B5 (2013天津)正六边形的边心距与边长之比为()A. 33B. 32C12D. 22【解析】如解图 1，设正六边形的边长是 a，则正六边形的外接圆的半径长也是 a.经过正六边形的中心 O 作边 AB 的垂线 OC，则AC12AB12a，OC OA2AC2a212a232a，正六边形的边心距与边长之比为 32，故选 B.【答案】B考点一正多边形的有关计算考点一正多边形的有关计算1任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，两个圆是同心圆，这个圆心叫正多边形的中心2正多边形外接圆的半

4、径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距，正多边形各边所对外接圆的圆心角都相等，这个角叫正多边形的中心角，正多边形的每一个中心角都等于360n考点点拨1正多边形都是轴对称图形，正偶数边形还是中心对称图形2正 n 边形每个外角都等于中心角，已知正 n 边形的边心距、中心角、半径、边长中的任意两个元素，就可以求出其他三个元素【精选考题 1】(2013浙江绍兴)小敏在作O 的内接正五边形时，先做了如下几个步骤：(1)作O 的两条互相垂直的直径，再作OA 的垂直平分线交 OA 于点 M，如图 253；(2)以 M 为圆心，BM 长为半径作圆弧，交 CA 于点 D，连结 BD，如图 253.若

5、O 的半径为 1，则由以上作图得到的关于正五边形边长 BD的等式是()ABD2512ODBBD2512ODCBD2 5ODDBD252OD解析：如解图 2，连结 BM.根据题意，得 OBOA1，ADOB，BMDM.OA 的垂直平分线交 OA 于点 M，OMAM12OA12，BM OM2OB21221252，DM52，ODDMOM5212512.BD2OD2OB25 52 5512 5OD.故选 C.答案：C点评： (1)本题主要考查正多边形与圆的关系及勾股定理， 难度中等(2)注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用【预测演练 1】如图 254，两正方形彼此相邻且内接于半圆若小正方形的面积为

6、16 cm2，则该半圆的半径为()A(4 5)cmB9 cmC45 cmD62 cm解析：如解图 3，连结 OD，OC，则由小正方形面积为 16 得边长为 4.在RtOAD 和 RtOBC 中，设 OAx，则 OD2OA2AD2x2(2x)25x2，(解图 3)OC2OB2BC2(x4)242.OCOD，5x2(x4)242，解得 x4 或 x2(舍去)OD 428245.答案：C考点二弧长考点二弧长1弧长公式：lnR180(式中 n 为该弧所对的圆心角，R 为圆的半径)2由弧长公式，可以变形得到 R180ln，n180lR考点点拨在计算弧长时，实际上是根据弧所对的圆心角占整个圆周的比来计算相

7、应的弧长的【精选考题 2】 (2013江苏扬州)如图 255， 在扇形 OAB中，AOB110，半径 OA18，将扇形 OAB 沿过点 B 的直线折叠，点 O 恰好落在AB上的点 D 处，折痕交 OA 于点 C，则AD的长为点评：(1)本题主要考查弧长的计算及折叠的性质，难度较小(2)由折叠的性质推知ODB 是等边三角形是解决本题的关键解析：如解图 4，连结 OD.根据折叠的性质知，OBDB.又ODOB，ODOBDB，即ODB 是等边三角形，DOB60.AOB110，AODAOBDOB50，AD的长50181805.答案：5【预测演练 2】已知一个半圆形工件，未搬动前如图 256所示，直径平行

8、于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移 50 m，半圆的直径为 4 m，则圆心 O 所经过的路线长是m.图 256解析：半圆无滑动翻转，先是14圆翻转过程中始终保持与 l 相切，圆心 O 作平移14圆长度，然后绕点 A 旋转 90，最后平移50 m，因此 O 经过的路线为半圆弧长加 50 m(250)m.答案：250考点三扇形考点三扇形1扇形的面积公式：S扇nR236012lR(式中 n 为该弧所对的圆心角，R 为圆的半径，l 为扇形的弧长)2由扇形的面积公式，可以变形得到 n360SR2或 R360Sn考点点拨1求不规

9、则图形的面积常常通过割补法转化为规则图形2求弓形面积常利用扇形与三角形来转化，大于半圆的弓形面积 S弓S扇S，小于半圆的弓形面积 S弓S扇S.【精选考题 3】(2013浙江衢州)如图 257，将一块三角尺和半圆形量角器按图中方式叠放，三角尺一边与量角器的零刻度线所在的直线重合，重叠部分的量角器弧(AB)对应的圆心角(AOB)为 120，OC的长为 2 cm，则三角尺和量角器重叠部分的面积为cm2.点评：(1)本题主要考查扇形的面积计算，难度中等(2)解决本题的关键是从图中得出 S重叠S扇形OABSOBC， 求出扇形的半径及掌握扇形的面积公式解析：AOB120，BOC60.在 RtOBC 中，O

10、C2 cm，BOC60，OBC30，OB4 cm，BC2 3 cm.S扇形OAB12042360163(cm2)，SOBC12OCBC2 3(cm2)，故 S重叠S扇形OABSOBC1632 3cm2.答案：1632 3【预测演练 31】如图 258，ABC 内接于O，直径 BD交 AC 于点 E，过点 O 作 FGAB，交 AC 于点 F，交 AB 于点 H，交O 于点 G.(1)求证：OFDEOE2OH；(2)若O 的半径为 12，且 OEOFOD236，求阴影部分的面积(结果保留根号)解析：(1)BD 是直径，DAB90.FGAB，DAFO.EOFEDA，EFOEAD.FOEADE.OF

11、DAOEDE，即 OFDEOEAD.O 是 BD 的中点，DAOH，DA2OH，OFDEOE2OH.(2)O 的半径 OD12，OEOFOD236，OE4，ED8，OF6.代入(1)中结论，得 OH6.在 RtOBH 中，OB122OH，BOH60.BHBOsin 60123263.S阴影S扇形GOBSOHB601223601266324183.【预测演练 32】观察思考某种在同一平面进行转动的机械装置如图 259，图 2510 是它的示意图其工作原理是：滑块 Q 在平直滑道 l 上可以左右滑动，在 Q 的滑动过程中，连杆 PQ 也随之运动，并且 PQ 带动连杆 OP绕固定点 O 摆动在摆动过

12、程中，两连杆的接点 P 在以 OP 为半径的O 上运动数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点 O 作 OHl 于点 H，并测得 OH4 dm，PQ3 dm，OP2 dm.解决问题(1)点 Q 与点 O 间的最小距离是dm，点 Q 与点 O 间的最大距离是dm， 点 Q 在 l 上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是dm；(2)如图 2511，小明同学说：“当点 Q 滑动到点 H 的位置时，PQ与O 是相切的”你认为他的判断对吗？为什么？(3)小丽同学发现： “当点 P 运动到 OH 上时， 点 P 到 l 的距离最小 ”事实上，还存在着点 P 到 l 的距离最大的位置，此时，

13、点 P 到 l的距离是dm；当 OP 绕点 O 左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积最大时圆心角的度数解析：(1)4，5，6(2)不对OP2，PQ3，OQ4，且 423222，即 OQ2PQ2OP2，OP与 PQ 不垂直，PQ 与O 不相切(3)3由知，O 上存在点 P，P到 l 的距离为 3，此时，OP 将不能再向下转动，如解图 5.OP 在绕点 O 左右摆动过程中所扫过的最大扇形就是扇形 POP.连结 PP 交 OH 于点 D.PQ，PQ均与 l 垂直，且 PQPQ3，四边形 PQQP是矩形OHPP，PDPD.由 OP2，ODOHHD1，得DOP60，POP120.所求最大圆心角

14、的度数为 120.考点四圆柱、圆锥的侧面积和全面积考点四圆柱、圆锥的侧面积和全面积1圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的长和宽分别是底面圆的周长和圆柱的高；圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长2圆锥底面半径 r，母线 l，高 h 满足 l2h2r23圆锥侧面积公式：S圆锥侧rl，圆锥全面积公式：S圆锥全rlr2(式中母线长为 l，底面半径为 r)考点点拨1圆锥的母线 l 与扇形的弧长 l 要注意不要混淆2圆柱和圆锥的全面积指的是它们的侧面积与底面积之和，圆柱有两个底面，计算全面积时不要漏掉3已知底面半径为 r，母线长为 l 的圆锥，则其展开后的扇形圆心

15、角 nrl360，利用此公式，可以简化一些计算【精选考题 4】 (2013浙江杭州)如图2512， 四边形 ABCD是直角梯形，ABCD，ABBC，且 BCCD2，AB3，把梯形 ABCD 分别绕直线 AB，CD 旋转一周， 所得几何体的表面积分别为 S1，S2，则|S1S2|(平方单位)点评：(1)本题主要考查旋转及图形的侧面积的计算，难度中等(2)理解梯形 ABCD 分别绕直线 AB，CD 旋转一周所得的几何体的表面积的差就是 AB 和 CD 旋转一周形成的圆柱的侧面的差是解决本题的关键解析：由图形的旋转易知绕直线 AB 旋转一周得到一个以 CD 为高的圆柱加上一个圆锥，绕直线 CD 旋转

16、一周得到一个以 AB 为高的圆柱减去一个圆锥，则绕直线 AB，CD 旋转一周所得的几何体的表面积中底面和圆锥侧面的面积都一样绕 AB 旋转一周形成的圆柱的侧面的面积2228；绕 CD 旋转一周形成的圆柱的侧面的面积22312，|S1S2|4.答案：4【预测演练 4】如图 2513，有一直径为 4 的圆形铁皮，要从中剪出一个圆心角为 60的最大扇形 ABC，那么剪下的扇形 ABC(阴影部分)的面积为 用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥， 该圆锥的底面圆的半径 r解析：如解图 6，连结 OA，OB，作 ODAC 于点 D.扇形 ABC 是圆心角为 60的最大扇形，ABAC，ABDBAOCAO30.OD

17、AC，ADCD，OD12OA.OA2，OD1，AD 3，ACADCD2AD23.S阴影60360(23)22.BC的长6018023，2r6018023，r33.答案：2331求阴影部分面积的几种常用方法：(1)直接利用面积公式；(2)割补法： 把不规则图形的面积转化为规则图形(如三角形、平行四边形、圆、梯形、扇形等)面积的和或差；(3)拼凑法：把分散的图形集中拼成大块来求；(4)等积变形法：利用同(等)底或同(等)高将面积比转化为高或底的比；(5)构造方程法；(6)去重法2在求圆锥的侧面积或全面积时，常需要借助它的展开图进行分析，因此理清圆锥与它的展开图中各量之间的关系非常重要，如图 251

18、4 可以帮助我们进一步理解它们之间的关系3圆锥的有关计算中，要清楚侧面展开后是一个扇形，圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，圆锥的母线是扇形的半径，跟底面圆的半径有着本质的区别，只有具备一定的空间思维能力才不会犯错1(2013贵州遵义)如图 2515，将边长为1 cm 的等边三角形 ABC 沿直线 l 向右翻动(不滑动)2 次，点 B 从开始到结束，所经过路径的长度为()A.32 cmB.223cmC.43 cmD3 cm点评：(1)本题考查弧长的计算，难度中等(2)解决本题的关键是仔细观察图形，得到点 B 运动的路径(3)注意熟练掌握弧长的计算公式解析： ABC 是等边三角形， 由图形易知点 B

19、 两次翻动经过的弧长相等，且圆心角均为 120，点 B 经过的路径长2120118043.故选 C.答案：C2(2012山东临沂)如图 2516，AB 是O 的直径，点 E为 BC 的中点，AB4，BED120，则图中阴影部分的面积之和为()A1B.32C. 3D23点评：(1)本题考查不规则图形面积的计算，难度中等(2)本题体现了转化的解题思想， 需要将几个面积通过等积法合并为一个规则图形来求解解析：如解图 7，连结 OE，OD，AE.AB 是直径，AEB90.又BED120，DEC60，AED30，AOD2AED60.OAOD，AOD 是等边三角形，BAC60.点 E 为 BC 的中点，A

20、EB90，ABAC，ABC 是等边三角形，边长是 4.EDC 是等边三角形易得BOE，EOD 都是等边三角形，BOEEOD60，BE和弦 BE 围成部分的面积DE和弦 DE 围成部分的面积，阴影部分的面积SEDC3422 3.答案：C3 (2013广东佛山)如图 2517， 圆锥的侧面展开图是一个半圆，则母线 AB 与高 AO 的夹角为点评：(1)本题主要考查圆锥的侧面展开图，难度中等(2)解决本题的关键是利用一个角相应的三角函数值求得夹角的度数解析：设圆锥的母线长为 l，底面半径为 r，则l2r，l2r，母线 AB 与高 AO 的夹角(BAO)的正弦值rl12，母线 AB 与高 AO 的夹角BAO30.答案：304(2013浙江宁波)如图 2518，AE 是半圆 O 的直径，弦 ABBC4 2，弦 CDDE4，连结 OB，OD，则图中两个阴影部分的面积和为图 2518点评：(1)本题主要考查扇形的面积计算、垂径定理及圆心角、弧之间的关系，难度较大(2)解决本题的关键是求出O 的半径解析：弦 ABBC，弦 CDDE，点 B 是AC的中点， 点 D 是CE的中点， BOD90.如解图 8，过点 O 作 OFBC 于点 F，OGCD 于点 G，则 B