等比数列求和----优质课竞赛

1、等比数列求和-优质课竞赛知识回眸知识回眸 1.等比数列的定义 2.等比数列的通项公式1(2)nnaq nnNa且11()nnaa qnN想一想想一想 画一个边长为1的正方形，再将这个正方形各边中点相连得到第二个正方形，依次类推这样一共画了十个正方形，求这十个正方形面积之和。探究探究1 正方形面积之和正方形面积之和?从外到内正方形的面积依次是 + + + +11214912【探究【探究1 1】 如何如何算出？算出？ （1）（2）（1）（2）化简可得1 0291111222S 1 02391 0111111222222S 10112S1012109122S错错 位位 相相 减减 法法 错位相减法错

2、位相减法：等式的两端同乘以公比，使原等式的两端同乘以公比，使原数列的各项的公比的次数都增加数列的各项的公比的次数都增加1.这样，所这样，所得等式的右边与原等式的右边就有许多相同得等式的右边与原等式的右边就有许多相同的项的项.如果把两个等式相减，两个等式的右如果把两个等式相减，两个等式的右边就有许多项可以相互抵消边就有许多项可以相互抵消.我们把这种求我们把这种求数列前数列前n项和的方法叫做错位相减法项和的方法叫做错位相减法. nnnaaaaaS 132111212111 nnnqaqaqaqaaS即即“请你用错位相减法或者其他方法在这两个式子中请你用错位相减法或者其他方法在这两个式子中任选一个进

3、行研究任选一个进行研究”小组讨论共同探究【探究2】等比数列求和公式推导 若数列 等比，首项为 ，公比为q，前n项和为 法一：123nnSaaaa 211(1)nnSaqqq 211()nnnqSa qqqq（1）（2）1(1)(2)(1)=)nnq Saq得（ 1-na1anS11111nnnaaqSnaqS当时;当时1-q【探究2】等比数列求和公式推导 若数列 等比，首项为 ，公比为q，前n项和为 . 法二： （1）-（2）当q=1时 nanS1a123nnSaaaanqS 231nnaaaa(1)(2)1nSna111nnaaqS当时1-q1=1naa qq理解公式的应用理解公式的应用探究

4、2成果等比数列求和公式等比数列求和公式111)1 (11qnaqqqaSnn11111qnaqqqaaSnn等比数列求和公式之初体验23, 3 ,n例1.求数列1,-3,3的前 项和分析：先观察规律求出通项再对应求和11,3aq 其中的等比数列111 ( 3)( 3)nnna 解：1( 3)1( 3)1( 3)44nnnS 解解:8,21,211nqa2112112188S.256255qqaSnn1)1 (1 练练1 求等比数列求等比数列 的前的前8项的和项的和.,81,41,21等比数列求和公式之初体验2311,3,3 ,3 ,变式 ：求数列的第五项到第十项的和1,1,3naaq解析：记该数列为则的等比数列104S则 S为 所 求1041041041 31 333=1 31 32S故S 33113,22naaSaq变式2：若等比数列，若求首项 及公比3313qSa解：当时， 成立131,12aaq此时321331)1,1aqSaa qq（1-q当时，31232231)1+1=3aSqqqaaqq（1-q 则11,22a 解之得q=-1. 根据下列条件，求相应的等比数列根据下列条件，求相应的等比数列 的的 nanS;6,2,3)1(1nqa11122 7390(). ,.naqa .18921)21(366 S112 79039145113.nS