《二次函数》

1、n 西洲中学n 徐丽群绘第第26章章 二次函数二次函数一、教一、教 学学 目目 标标 本章的主要内容是二次函数及其图象与性质，本章的主要内容是二次函数及其图象与性质，这是初中阶段所学的有关函数知识的重点内容之这是初中阶段所学的有关函数知识的重点内容之一。教材从解决一个实际问题出发，引入二次函一。教材从解决一个实际问题出发，引入二次函数，研究二次函数的图象与性质，以及它的应用。数，研究二次函数的图象与性质，以及它的应用。 本章的主要教育目标是：本章的主要教育目标是： 1、探索具体问题中的数量关系和变化规律，、探索具体问题中的数量关系和变化规律，体会二次函数是刻画现实世界的一个有效体会二次函数是刻

2、画现实世界的一个有效的数学模型。的数学模型。2、结合具体情境体会二次函数的意义，了、结合具体情境体会二次函数的意义，了解二次函数的有关概念。解二次函数的有关概念。3、会用描点法画出二次函数的图象，能通、会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象认识二次函数的性质。过图象认识二次函数的性质。4、会运用配方法确定二次函数的图象的顶、会运用配方法确定二次函数的图象的顶点、开口方向和对称轴。点、开口方向和对称轴。 5、会利用二次函数的图象求一元二次方程、会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。的近似解。 6、会通过对现实情情境的分析，确定二次、会通过对现实情情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用

3、二次函数及其性函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的现实问题。质解决简单的现实问题。 二、教材特点二、教材特点1、教材注重引入二次函数概念的现实背景，、教材注重引入二次函数概念的现实背景，让学生感受其实际意义，激发学生的学习让学生感受其实际意义，激发学生的学习兴趣；并注意让学生在学习的过程和实际兴趣；并注意让学生在学习的过程和实际应用中逐步深化对概念的理解和认识。应用中逐步深化对概念的理解和认识。 2、教材注重与学生已有知识的联系，引导学、教材注重与学生已有知识的联系，引导学生与一次函数的学习联系、比较，经历对知生与一次函数的学习联系、比较，经历对知识拓展、归纳、更新的过程。识拓展、

4、归纳、更新的过程。 3、教材注意内容的呈现方式，让学生参与知、教材注意内容的呈现方式，让学生参与知识的发生、发展过程。注重在具体二次函数识的发生、发展过程。注重在具体二次函数的研究中掌握方法、理解原理。的研究中掌握方法、理解原理。 4、教材注意沟通二次函数和一元二次方程、教材注意沟通二次函数和一元二次方程、一元二次不等式的联系和相互转化，提供学一元二次不等式的联系和相互转化，提供学生进行探究性学习的题材，重视对学生综合生进行探究性学习的题材，重视对学生综合应用知识能力的培养。应用知识能力的培养。三、课时安排三、课时安排本章的教学课时为本章的教学课时为14课时，建议分配如下：课时，建议分配如下：

5、26.1 二次函数二次函数-1课时课时 26.2 二次函数的图象与性质二次函数的图象与性质-7课时课时26.3 实践与探索实践与探索- 4课时课时 复习复习-2课时课时四、教四、教 学学 建建 议议 26.1 二次函数二次函数1、这节教材主要通过问题这节教材主要通过问题1和问题和问题2来引入二次函数的概念来引入二次函数的概念,让学让学生在解决问题的过程中体会二次函数的意义生在解决问题的过程中体会二次函数的意义.问题问题1 （本章导图中的问题）如图（本章导图中的问题）如图26.1.1，要用总长为，要用总长为20 m的铁栏杆，一的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃怎样围法，才能使围成的花圃面面靠

6、墙，围成一个矩形的花圃怎样围法，才能使围成的花圃面积最大？积最大？ 试一试试一试 设矩形花圃的垂直于墙的一边设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为的长为x m，先取，先取x的一些值，算的一些值，算出矩形的另一边出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积的长，进而得出矩形的面积y m2.试将计算结试将计算结果填写在下表的空格中果填写在下表的空格中. x的值是否可以任意取？有限定范围吗？的值是否可以任意取？有限定范围吗？ 我们发现，当我们发现，当AB的长（的长（x）确定后，矩形的面积（）确定后，矩形的面积（y）也就随之确）也就随之确定，定，y是是x的函数，试写出这个函数的关系式的函数，试写出这个函数

7、的关系式 （0 x2）.问题问题2某商店将每件进价为某商店将每件进价为8元的某种商品按每件元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约元出售，一天可销出约100件该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润经件该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润经过市场调查，发现这种商品单价每降低过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约元，其销售量可增加约10件将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大件将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?分分 析析在这个问题中，该商品每天的利润与其降价的幅度有关设每件商品在这个问题中，该商品每天的利润与其降价的幅度有关设每件商品降价

8、降价x元（元（0 x2），该商品每天的利润为），该商品每天的利润为y元，元，y是是x的函数的函数我们可以得到：我们可以得到：问题问题1中的函数关系式为中的函数关系式为yx（202x）（）（0 x10）即即 y2x220 x（0 x10）问题问题2中的函数关系式为中的函数关系式为 y（10 x8）（）（100100 x）（）（0 x2），），即即 y100 x2100 x2002、尽管学生对函数已有一定的了解，但教学中仍然尽管学生对函数已有一定的了解，但教学中仍然应该让学生通过自己的探索、尝试去获得新的体会应该让学生通过自己的探索、尝试去获得新的体会和认识。和认识。观观 察察得到的两个函数关系式

9、有什么共同特点？这两个问题得到的两个函数关系式有什么共同特点？这两个问题有什么共同特点？有什么共同特点？概概 括它们都是用自变量的二次多项式来表示的问题括它们都是用自变量的二次多项式来表示的问题都可归结为：自变量都可归结为：自变量x为何值时函数为何值时函数y取得最大值？取得最大值？ 一般地，形如y=ax+bx+c（a、b、c是常数且a0）的函数叫做x的二次函数二次函数。3、对问题、对问题2 “商品的售价降低多少时，能使销售商品的售价降低多少时，能使销售利润最大利润最大”，一般不必求出结果，可以留作思，一般不必求出结果，可以留作思考。对问题考。对问题1的最大值让学生根据填表计算的结的最大值让学生

10、根据填表计算的结果进行猜想。果进行猜想。4、本节可以根据学生的情况适当再补充学生熟、本节可以根据学生的情况适当再补充学生熟悉的一些简单的实际问题，让学生列出函数关悉的一些简单的实际问题，让学生列出函数关系式，加深认识。系式，加深认识。26.2 二次函数的图象与性质二次函数的图象与性质 这节教材通过二次函数的图象来研究它的性这节教材通过二次函数的图象来研究它的性质，教材从最简单的二次函数质，教材从最简单的二次函数y=ax2 入手，入手，通过描点画出它的图象，在研究函数通过描点画出它的图象，在研究函数y=ax2 的图象及其性质的基础上，从易到难，逐步的图象及其性质的基础上，从易到难，逐步研究一般的

11、二次函数的图象与性质。所以掌研究一般的二次函数的图象与性质。所以掌握握y=ax2的图象与性质，是掌握一般的二次的图象与性质，是掌握一般的二次函数的图象与性质的基础，弄懂函数函数的图象与性质的基础，弄懂函数y=ax2的图象与其他如的图象与其他如y=ax2+h、 y=a（x-h）2 图图象之间的关系象之间的关系,是弄清二次函数的图象与性是弄清二次函数的图象与性质的关键质的关键.教材注意了从具体的二次函数入手教材注意了从具体的二次函数入手,遵循从特遵循从特殊到一般的探索过程殊到一般的探索过程.1、二次函数、二次函数y=ax2 的图象及其性质的图象及其性质 描点法画函数的图象，是学生认识、发现函数的图

12、象描点法画函数的图象，是学生认识、发现函数的图象特征，体会、了解它的性质的重要途径，教学中要特征，体会、了解它的性质的重要途径，教学中要放手让学生画。放手让学生画。 作二次函数作二次函数 y=x 的图象的图象。（1）观察 y=x 的表达式，选择适当的x值，并计算相应的y值，完成下表。xy32101230149941（2）在直角坐标系中描点。（3）用光滑的曲线连接各点，便得到函数 y=x 的图象。108642-55 对于二次函数 y=x的图象，（1）试描述图象的形状。（2）图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？试找出几对对称点。（3）图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？（4）当x

13、0时呢？（5）当x取什么值时，y的值最小？最小值是什么？108642-5554321-1-2-3-4-5-6-4-22462xy 2xy比较二次函数 y=x 和 y=-x 图象的异同：注意点：注意点：1、这里的、这里的x可以取任意实可以取任意实 数数 2、实际画图是，只能画、实际画图是，只能画 出图出图象的一部分象的一部分 3、可以适当增加一两个点，、可以适当增加一两个点，说明图象向左上和右上延伸的大致趋说明图象向左上和右上延伸的大致趋势。势。 2、二次函数、二次函数yax2bxc的图象与性质的图象与性质在同一直角坐标系中，画出函数在同一直角坐标系中，画出函数y2x2与与y2x 21的图像的图

14、像解：解：1、列表、列表（1）二次函数 y=2x1 的图象与二次函数 y=2x 的图象有什么关系？7654321-6-4-2246122xy22xy 21.510.5-0.5-1-2-112132 xy23xy 抛物线开口方向对称轴顶点坐标y=3xy=3x1向上向上y轴y轴（0，0）（0，1）在同一坐标系中画出下列各组函数的图象：23xy 213xy2132xy654321-4-22423xy 213xy2132xy向上直线x=1顶点坐标对称轴开口方向抛物线23xy 213xy2132xy向上y轴（0,0）（1，0）向上直线x=1（1，2）23xy 213xy向右平移1个单位2132xy向上平

15、移2个单位图象都是抛物线，形状相同，位置不同。654321-4-22423xy 213xy2132xy22xy212xy-1-2-3-4-5-6-7-8-6-4-22463122xy向下直线x=-1顶点坐标对称轴开口方向抛物线22xy212xy3122xy向下y轴（0,0）（-1，0）向下直线x=-1（-1，-3）例：画出函数画出函数 y（ x1）2 的图象，并说明这个函数具有哪的图象，并说明这个函数具有哪些性质些性质 ；n列表列表画出的图象如图画出的图象如图 2125 图 26.2.4 由图象不难得到这个函数具有如下性质：由图象不难得到这个函数具有如下性质： 1）当）当x1时，函数值时，函数

16、值y 随随x的增大而增大；的增大而增大；2）当）当x1时，函数值时，函数值y 随随x 的增大而减小；的增大而减小；3）当）当x1时，函数取得最大值，最大值时，函数取得最大值，最大值y2例4.求二次函数y=axbxc的对称轴和顶点坐标。abacabxaacababxabxaacxabxacbxaxy442 2222 2222222 222222222222244244222222200aacbabxaacbabxabxabacabxabxacxabxacxabxcbxax对称轴：直线顶点坐标：abx2abacab44 ,22根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：xxyxxyxxyxxy

17、2123 . 42212 . 3319805 . 213122 1.22直线x=35 , 3 直线x=81 , 8直线x=1.25125. 1 ,25. 1直线x=0.759.375 ,75. 0问题问题1这个问题实际上是要求出自变量这个问题实际上是要求出自变量x为何值时，二次函数为何值时，二次函数y2x220 x（0 x10）取得最大值）取得最大值问题问题2实际上是要求出自变量实际上是要求出自变量x为何值为何值时，二次函数时，二次函数y100 x2100 x200（0 x2）取得最大值请同学们完成这个问题的取得最大值请同学们完成这个问题的解答解答例例5用用6 m长的铝合金型材做一个形状长的铝

18、合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框应做成长、宽如图所示的矩形窗框应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？光面积最大？最大透光面积是多少？图 26.2.5 3、求二次函数解析式、求二次函数解析式 在实际问题中，往往要先求出二次函数的函数关系在实际问题中，往往要先求出二次函数的函数关系式。教材中安排了三个例子。根据不同的条件，利式。教材中安排了三个例子。根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数关系式。用待定系数法求二次函数关系式。问题问题2如图某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型如图某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型（曲线（曲线A

19、OB）的薄壳屋顶它的拱宽）的薄壳屋顶它的拱宽AB为为4 m，拱高拱高CO为为0.8 m施工前要先制造建筑模板，怎样施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢？画出模板的轮廓线呢？ 图 26.2.6 例6已知一个二次函数的图象过点（0,1），它的顶点坐标是（8，9），求这个二次函数的关系式例7已知二次函数的图象过（0，1）（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式 阅读：26.3 实践与探索实践与探索 问题问题1、某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的水面竖一根柱子，上面的A处安装一个喷头向外喷水连喷头处安

20、装一个喷头向外喷水连喷头在内，柱高为在内，柱高为0.8 m水流在各个方向上沿形状相同的抛物线水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图（路径落下，如图（1）所示）所示根据设计图纸已知：在图所示直角坐标系中，水流喷出的高度根据设计图纸已知：在图所示直角坐标系中，水流喷出的高度y（m）与水平距离）与水平距离x（m）之间的函数关系式是）之间的函数关系式是yx22x 喷出的水流距水平面的最大高度是多少？如果喷出的水流距水平面的最大高度是多少？如果不计其他因素，那么水池的半径至少为多少时，才能使喷出的不计其他因素，那么水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？水流都落在水池内？ 54问

21、题问题2.一个涵洞成抛物线形，它的截面如图26.3.2现测得，当水面宽AB1.6 m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4 m这时，离开水面1.5 m处，涵洞宽ED是多少？是否会超过1 m？ 图 26.3.2 问题问题3、画出函数的图象，根据图象回答下列问题1）图象与x轴交点的坐标是什么？2）当x取何值时，y0？这里x的取值与方程 有什么关系?3）你能从中得到什么启发?试一试：试一试：根据问题3的图象回答下列问题1）当x取何值时，y0？当x取何值时，y0？2）能否用含有x的不等式来描述（1）中的问题？问题问题4、育才中学初三（3）班的学生在上节课的作业中出现了争论：求方程的解时，几乎所有学生都是将方

22、程化为，画出函数的图象，观察它与x轴的交点，得出方程的解惟独小刘没有将方程移项，而是分别画出了函数yx2和的图象，如图26.3.3，认为它们交点A、 B的横坐标和2就是原方程的解对于小刘提出的解法，同学们展开了热烈的讨论做一做做一做利用图26.3.4，运用小刘的方法求下列方程的解，并检验小刘的方法是否合理1）x2x10（精确到0.1）；2）2x23x20 图 26.3.3 例题讲解:长方形的周长为 20 cm，设它的一边长 x cm，面积为 y cm。 y 随 x 变化而变化的规律是什么？分别用函数式、表格和图象表示出来。（1）用函数表达式表示：（2）用表格表示：（3）用图象表示：255 10 1022xxxxxyx12345678910 xy9876543219162124252421169xxy102(1)自变量x的取值范围是什么？100 x(2)当x取何值时，长方形的面积最大？ 当x=5时，y取最大值25。即当长方形的长和宽都是5时，面积取最大值25。(3)描述y随x的变化而变化的情况。 当0 x5时，y随x的增大而增大； 当5x0的解为的解为 x32101234y6046