2017高考-高中数学常用公式及结论--理科

1、高中数学常用公式及结论1元素与集合的关系：x A x CuA, x CuAx A. £ A A2集合a1,a2- ,an的子集个数共有2n个；真子集有2n 1个；非空子集有2n 1个；非空的真子集有 2n 2 个.3二次函数的解析式的三种形式：原命题 假设P那么q互逆互为互为逆命题假设q那么p否命题1 r逆否命题假设非p那么非C互逆假设非q那么非P逆(1)一般式f (x)2 axbx c(a 0);顶点式f(x)a(xh)2k(a 0);当抛物线的顶点坐标(h,k)时，设为此式零点式f(x)a(xxj(x x2)(a 0)；当抛物线与 x轴的交点坐标为(x1,0),( x2,0)时，

2、设为此式4真值表：同真且真，同假或假5常见结论的否认形式；原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有门个至多有n 1个小于不小于至多有n个至少有n 1个对所有x，成立存在某x，不成立p或qp且q对任何x，不成立存在某x，成立p且qp或 q6四种命题的相互关系(以下列图):原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假充要条件：(1)、p q，那么P是q的充分条件，反之，q是p的必要条件；2、pq，且qz > p，那么P是q的充分不必要条件；(3)、p z > p ,且qp，那么P是q的必要不充分条件；4、p工> p，且q

3、丰> p,贝U P是q的既不充分又不必要条件。7函数单调性：增函数：(1)、文字描述是：y随x的增大而增大。2、数学符号表述是：设 fx在x D上有定义，假设对任意的 x1，x2 D,且x1 X2，都有f(x1) f(x2)成立，那么就叫fx在x D上是增函数。D那么就是fx的递增区间。 减函数：(1)、文字描述是：y随x的增大而减小。2、数学符号表述是：设 fx在x D上有定义，假设对任意的 *公2 D,且x1 X2，都有f(x1) f(x2)成立，那么就叫fx在x D上是减函数。D那么就是fx的递减区间。单调性性质：(1)、增函数+增函数=增函数；2、减函数+减函数=减函数；(3)、

4、增函数-减函数=增函数；(4)、减函数-增函数=减函数；注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。 复合函数的单调性：函数里调一1单调性内层函数fJ外层函数Jf复合函数fJJ等价关系:(1)设 xnx2a,b,X1x2那么(X1X2)f(xjf (X2)0f(xJ f(x2)0f(x)在a,b上是增函数;X1 X2(X1X2)f (N)f (X2)0f(X1)f(X2)0f (x)在a,b上是减函数X x2(2)设函数y f(x)在某个区间内可导， 如果f (x) 0,那么f(x)为增函数；如果f (x) 0,那么f(x)为减函数8函数的奇偶性：注：是奇偶

5、函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称奇函数：定义： 在前提条件下，假设有 f( x)f (x)或f ( x) f (x) 0，那么fx就是奇函数。性质：1、奇函数的图象关于原点对称；2、奇函数在x>0和x<0上具有相同的单调区间；3、定义在R上的奇函数，有f 0=0 .偶函数：定义： 在前提条件下，假设有 f( x) f (x)，那么fX就是偶函数。性质：1、偶函数的图象关于 y轴对称；2、偶函数在x>0和x<0上具有相反的单调区间；奇偶函数间的关系：(1)、奇函数偶函数=奇函数；2、奇函数奇函数=偶函数；(3)、偶奇函数偶函数=偶函数； 、奇函数土奇函数=奇函数也

6、有例外得偶函数的(5)、偶函数土偶函数=偶函数；(6)、奇函数土偶函数=非奇非偶函数奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数.9函数的周期性：定义： 对函数fX，假设存在T 0,使得f x+T=f X，那么就叫f x是周期函数, 其中，T是fX的一个周期。周期函数几种常见的表述形式：、f x+T= - f X，此时周期为 2T ; 2、f x+m=f x+n，此时周期为 2 m n ；、f(x m)1f (x)，此时周期为2m10常见函数的图像:y.k<0k>

7、;0oXy=kx+bya<0oa>0y=ax 2+bx+c,y=ax0<a<1 a>11o-xy=log ax0<a<1a>111对于函数y f(x)(x R),f(x a) f(b x)恒成立,那么函数f (x)的对称轴是x专；两个函数1213y f (x a)与 y f (b x)分数指数幕与根式的性质：m(1) an a 0,m, n的图象关于直线x b2a对称N，且 n 1a 0,m,nN ，且 n 1.3(n、a)n a.4当 n为奇数时，：ana ；当n为偶数时,a, a |a|a,a:loga N bN (a 0, a 1, Np(

8、1) 1、a1 ap；2、a01a0；mn, m、n、a(a )rs、a ar as(a 0,r,s Q);m、anam；指数函数:(1)、y ax(a 1)在定义域内是单调递增函数；2、y ax(0 a1)在定义域内是单调递减函数。注:指数函数图象都恒过点对数性质:、loga Mloga N loga(MN) ；2、loga MlogaMNlogaUa N ；、l09abmmlogab ； (4)、log am bnnlog mab ；(5)、loga10、ga1；、alogabb对数函数：、y logaX(a1)在定义域内是单调递增函数；2、y logax(0a 1)在定义域内是单调递减函

9、数；注：对数函数图象都恒过点、gx0a, x (0,1)或 a,x(1,)、gx0a (0,1)那么x (1,)或a (1,)那么x(0,1)对数的换底公式：logalog m N小Nm ( a 0,且 alog ma1, m0,且 m 1, N 0).指数式与对数式的互化式0).指数性质:1, N 0).0,且 a 1,N 0).0，114b a对数恒等式：a'O9aNN ( a 0,且a推论'ogambn log a b ( am15对数的四那么运算法那么：假设(1) lOga(MN) lOgaMa> 0, a工 1, M> 0, N> 0，贝U, K1M

10、lo9a N ;(2) log a 'O9a M log a N ；N logaMn n logaM(n R) ;(4) logam Nn log a N (n,m R)。m16平均增长率的问题负增长时p 0：如果原来产值的根底数为N,平均增长率为 p，那么对于时间x的总产值y，有y N(1 p)x.17等差数列：通项公式:门 an ai (n 1)d ，其中q为首项，d为公差，n为项数，an为末项。2推广：an ak (n k)d& Sn 1(n 2)注：该公式对任意数列都适用前n项和：1 Sn；其中a1为首项，n为项数，an为末项。22Sn n 也23S.&1 an

11、(n 2)注：该公式对任意数列都适用4Snqa?寺注：该公式对任意数列都适用apaq；常用性质：1、假设m+n=p+q，那么有 am an注：假设am是an, ap的等差中项，那么有 2am an ap n、m、p成等差。2、假设anbn为等差数列，那么 an bn为等差数列。3、an为等差数列,Sn为其前n项和，贝U Sm, S2mS>m也成等差数列。等比数列：通项公式:1ann 1ag色 qn(n N*)q，其中a为首项，n为项数，q为公比。2推广:anak qk 3anSnq 1(n2)注：该公式对任意数列都适用前n项和:常用性质:na1(q1)nSn3(1 q )1 q (q1)

12、1、假设 m+n=p+q ，那么有 am anap aq ；注：假设am是an,ap的等比中项，那么有2amanapn、m、p成等比。19三角不等式:1假设(3) |sinx|(0,2)，那么sinx x| cosx | 1 .tan x.(2)假设 x (0,-)，那么 1sin x cosx 2.20同角三角函数的根本关系式：sin2cos21, tan = ,cos21正弦、余弦的诱导公式奇变偶不变，符号看象限和角与差角公式si ntan()sin cos cos sin 、 tan tan).a sin1 Tta n tan；cos(bcos)cos cos 丰 sin sin=、a2

13、 b2 sin( )sin 2sin cos2ta n1 tan2cos22 cossin22cos211 2sin21 tan21 tan2ta n22ta ntansin 21 cos21 tan21 cos2sin 22 sin1 cos 2“21 cos 222三角函数的周期公式函数ysin( x),x R及函数ycos( x),x R(A, 3函数ytan( x),x k , k2Z (A, 3 ,为常数，且，辅助角所在象限由点a,b的象限决定二倍角公式及降幕公式为常数,三角函数的图像:Am 0的周期b-).a2且am 0)的周期T ；| |T | |y=s inxXT-2 冗-3

14、n2正弦定理余弦定理：2 ,2a b面积定理：12_d21I.on2-1y=cosx y13 n2、 /;、X-/./ 2 n x -2 n-3 ,2 - n小2o nn , -3 71/22 n-1ABC外接圆的半径2rr为sin A sin B a 2Rsin A, b2 2c 2bccosA; bsin C2Rsin B,c 2Rsin C2 2 2c a 2ca cos B; c111一ahabhbchc ha、hb、hc分别表示2221 1 absinCbcsin A21 casin B .2S OAB内切圆a : b : c sin A: sin B : sin C2 2a b 2

15、abcosC .a、b、c边上的高.1 ,(|OA| |OB|)2 (OA2Sa三角形内角和定理在厶ABC中，有C AOB)2.,r直角 c内切圆2C2 2 2实数与向量的积的运算律1结合律：入卩a=入卩3第二分配律：入a + b=入:设入、2(Aa b c斜边(A B)B).那么:为实数，a ;2第一分配律：入+卩a= a +卩a ; a + 入 b .2223242526272829530 a与b的数量积(或内积)：a b=i a | b| cos 。31平面向量的坐标运算：(1)设 a' = (X1,yJ, b=(X2,y2)，那么 a+b =oX2,y1y2).设 a'

16、 = (x1,yd , b =(x?, y2)，那么 a - b =:(为X2, y1y2).(3)设 A(x1,yJ , B(X2,y2),那么 AB OBOA(X2“2 %)设 a = (x, y), R，那么 a = ( x, y).(5)设 a = (xi,yi), b =化,y2)，那么 a b =(住 y2).32两向量的夹角公式：cosy；Z_2(a = (Xi,yi)，b = (X2,y2).丨a| |b| £Xiyi 、X2 y33平面两点间的距离公式：dA,B =1 AB I vAB AB ： (x2 X1)( y2 yi) (A (Xl> yi) , B(

17、X2,y2).34向量的平行与垂直：设a = (x1,y1), b = (x2,y2)，且b 0，那么：a | bb=入 aJ¥a b ( a 0)36三角形的重心坐标公式：x1x2心的坐标是G(3337三角形五“心向量形式的充要条件： 设O为 ABC所在平面上一点，角2OAOAx1y2 x2y10.交叉相乘差为零a b =0x1x2 y1 y2 0.对应相乘和为零 ABC三个顶点的坐标分别为 A(x1 ,y 1)、B(x2,y2)、C(x3,y 3),那么厶ABC的重 X3 y1 y2 y).12345O为O为O为O为O为ABC的外心ABC的重心ABC的垂心ABC的内心ABC的代B

18、,C所对边长分别为a,b,c，那么2 2OB OC .OB OC 0.OA OB OB OCaOA bOBA的旁心 aOAcOCbOBOC OA.0.cOC .38常用不等式：a, b1a22a, b34b3bb2 2ab(当且仅当. ab (当且仅当3abc(a 0,b 0,cb2aba b39极值定理：x,y都是正数，那么有1523a = b时取“=号)a= b时取“=号)0).豊© a(当且仅当a= b时取“=假设积xy是定值p，那么当x y时和x y有最小值 2一 p1假设和X y是定值s，那么当x y时积xy有最大值 丄s2.4a, b,x,y R，假设ax by 1那么有

19、1111(ax by)( ) a xyx yb by _axx ya b 2、abb)2。a4 a, b,x,y R，假设一x1那么有X y (X y)(a -)x y bx ca 与 ax2-元二次不等式 集在两根之外;间即：X x2 ax如果(XX或 X x2含有绝对值的不等式X斜率公式k里0(或bxX2x2yayx竺 a b 2 ab (、a 、b)2 y0) (a 0,b2 4ac 0)，如果a与ax2 bx c同号，那么其解c异号，那么其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之号,Xi)(X X2)(x 为)(x:当a> 0时，有O(XiX2)；X2) O(XiX2).

20、沁x2 xi直线的五种方程: i2P(N,yi)、巳化小)3点斜式 y斜截式 y2y2两点式两点式的推广：yikxyi(X2k(x Xi)(直线 l 过点R(Xi, yj，且斜率为k ).b (b为直线I在y轴上的截距).x xi(yiy2)( R(Xi,yJ、R2(X2, y ( xX2,%y?).X2 X-IN)(y yi) (y2 yj(x为)0无任何限制条件！(4)截距式 一 一i( a> b分别为直线的横、纵截距，a 0、b 0)a b5一般式 AxBy C0(其中A、直线Ax ByC 0的法向量:I点到直线的距离：d|AX0_By°C|Ja2 b2圆的四种方程：i圆

21、的标准方程(x a)2(yb)22圆的一般方程2 2x yDxEy3圆的参数方程x ar cosy br sin4圆的直径式方程(x X|)(x x?)(y点与圆的位置关系：点P(X0,y°)与圆(x假设B不同时为0).(A, B)，方向向量:1(B,A)(点 P(x0,y0),直线 1 :Ax ByC 0)2 r .F 0( D2E2 4F >0).%)(y y 0(圆的直径的端点是 Ax,%)、a)2 (y b)2r2的位置关系有三种：B(冷,y2).d直线(dd ,(a X0)2 (br 点R在圆上； 与圆的位置关系：Aa Bb Cv A2 B2r 相离d两圆位置关系的判

22、定方法外离d riri/ i0driy。)2，那么 dd直线AxrBy点R在圆外; 点R在圆内.C0与圆(x0； d r:设两圆圆心分别为4条公切线；d ri r2 相交2条公切线；相切O,a)2 (y b)2r2的位置关系有三种0； d rQ,半径分别为ri, r2,. 外切0.OiO2 d，那么:3条公切线；相交内含 内切相交外切相离K4O d r2-ridri+12d d404142434647484950751545556Ax2椭圆弋a椭圆的切线方程内切1(a b:椭圆1条公切线；00)的参数方程是2y21(a bb221(ab双曲线的方程与渐近线方程的关系a2 I2双曲线笃a0,b0

23、)的离心率(1丨假设双曲线方程为(2)假设渐近线方程为2y孑bxa内含无公切线.acosbsin0)与直线Ax离心率By C12b渐近线方程:b 0双曲线可设为2x2a2 20相切的条件是A a2(3)假设双曲线与务a2 y_ b20 ,焦点在x轴上，1有公共渐近线，可设为(4)焦点到渐近线的距离总是257双曲线的切线方程：双曲线 冷a2 px的焦半径公式0 ,焦点在y轴上. b。2每 1与直线Ax Byb20相切的条件是58抛物线y2抛物线y22px(p 0)焦半径CFX。过焦点弦长CDX2x1 x2 p.60直线与圆锥曲线相交的弦长公式AB、(为或ABJ1 kg xj24x2 x-|弦端点

24、A(x1，yJ,B(X2，y2)，由方程2 2X2) (y1 y2)I 1 tan2| y1b消去y得到ax0| x1 x21(x1 x2)2 4x1x2 .xkxyF(x,y)y2 | .1 cot2bx c 0为直线AB的倾斜角，61证明直线与平面的平行的思考途径1转化为直线与平面无公共点；62证明直线与平面垂直的思考途径1转化为该直线与平面内任一直线垂直；3转化为该直线与平面的一条垂线平行；63证明平面与平面的垂直的思考途径：1转化为判断二面角是直二面角；264向量的直角坐标运算：设 a = (a1.a2.a3), b = (D,b2,b3)那么：(1) a + b = (q ga? b

25、2,a3 Q) ； (2)(3)入 a = ( a, a2, a0 (入 R)； (4) a65夹角公式：0,k为直线的斜率,转化为线线平行；3转化为面面平行.2转化为该直线与平面内相交二直线垂直;4转化为该直线垂直于另一个平行平面。转化为线面垂直;a b = 1 b = ab(3)转化为两平面的法向量平行。d,a2 b2,a3 bs)；a?b2 asbs;设 a = (a1,a2,as), b = (bbb)，那么 cosa,ba； a3 , b b； b；ab a2pasd66异面直线间的距离：d |CD n|(h,l2是两异面直线，其公垂向量为n , C、D是li2上任一点，d为1(2间

26、的距离).|n|67点B到平面 的距离：| ar n |d n为平面的法向量，A ，AB是的一条斜线段|n|68球的半径是R,那么其体积V R3,其外表积S 4 R2 .369球的组合体：(1) 球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长(2) 球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长,正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长(3)球与正四面体的组合体棱长为a的正四面体的内切球的半径为12(正四面体高 6 a的),外接球的半径为 6 a (正四面体高6 a的).34370分类计数原理加法原理：Nm m2 mn.分步计数原

27、理乘法原理：N m m2 mn.71 排列数公式：Am= n(n 1) (n m 1)=-( n , m N，且 m n).规定 0! 1.(n m)!72 组合数公式：crm=A_=n(n 1) (n m 1)=nJ(n N, m N，且 m n ).A1 2 m m! (n m)!组合数的两个性质:(1)C_ = C- m ;(2)C_+C_1 = C_1.规定 c01.73二项式定理(a b)nC；anC：an1b C；an2b2C；anrbrC；bn二项展开式的通项公式Tr 1C；anrbr (r 0,2, n).f(x) (axb)n aQX2a?x- anXn的展开式的系数关系：a

28、°qa2anf(1);aoa1 a2 - ( 1)nanf( 1)； a。f(0)。74互斥事件A,B分别发生的概率的和：P(A + B)=P(A) + P(B).n个互斥事件分别发生的概率的和：P(A1 + A + + An)=P(A1) + P(A2) + P(A n)75独立事件A,B同时发生的概率:P(A B)= P(A) P(B).n个独立事件同时发生的概率：P(A1 A2 An)=P(A0 P(A 2) P(A n).76 n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率：Pn(k) C：Pk(1 P)n k77数学期望：Ex,p x2F2 xnR 数学期望的性质1E(ab) aE()b. 2假设B(n, p),那么Enp.(3)假设服从几何分布,且P(k) g(k, p) qk1 p，那么E1 p78方差：D2EP1x2 E2P2x-2Ep-"标准差方差的性质：(1) D a b a2D ； (2 丨假设 B(n, p)