等差、等比数列性质总结.

1、等差数列性质总结1. 等差数列的定义式： an an 1 d （ d 为常数）（ n 2 ）；2等差数列通项公式：an a1 (n1)ddna1d ( n N * )，首项 : a1 ，公差 :d ，末项 : an推广： aam(n m d 从而danam ；n)nm3等差中项ab 或（1）如果 a ， A ， b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项即： A2 A a b2（2）等差中项：数列an是等差数列2aaa(n 2,n N + )2an 1anan 2nn -1n 14等差数列的前 n 项和公式：Snn(a1 an )na1n(n1) dd n2( a11 d )nAn

2、2Bn2222（其中 A、B是常数，所以当 d 0时， Sn 是关于 n的二次式且常数项为 0）特别地，当项数为奇数 2n 1 时， an 1 是项数为 2n+1 的等差数列的中间项2n 1 a1a2n 12n 1 an 1（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间S2n 12项）5等差数列的判定方法（1） 定义法：若 anan 1d 或 an 1and ( 常数 nN )an 是等差数列（2） 等差中项：数列 an是等差数列2anan -1an 1 (n 2)2an 1 an an 2 数列 an 是等差数列anknb （其中 k ,b 是常数）。（4）数列an 是等差数列Sn2Bn ,

3、（其中 、 是常数）。AnAB6等差数列的证明方法定义法：若 an an 1d 或 an 1and ( 常数 nN )an 是等差数列等差中项性质法： 2anan-1an 1 (n2，nN) 7. 提醒：（1）等差数列的通项公式及前 n 和公式中，涉及到 5 个元素： a1 、d 、n 、 an 及 Sn ，其中 a1 、d 称作为基本元素。只要已知这5 个元素中的任意 3 个，便可求出其余 2 个，即知 3 求 2。（2）设项技巧：一般可设通项 an a1(n1)d奇数个数成等差，可设为 , ， a2d, ad , a, ad, a2d , （公差为 d ）；偶数个数成等差，可设为 , ，

4、a3d , ad , a d , a 3d, , （注意；公差为 2 d ）8. 等差数列的性质：（1）当公差 d0时，等差数列的通项公式 ana1 (n1)ddn a1d 是关于 n 的一次函数，且斜率为公差d ；前 n 和 Sn na1n(n 1) dd n2(a1d )n 是关于 n 的二次函数且常数项为 0.（2）若公差 d2220，则为递增等差数列，若公差 d0 ，则为递减等差数列，若公差d0 ，则为常数列。（3）当 m npq 时 , 则有 amana paq ，特别地，当 m n 2 p 时，则有 aa2a .mnp注： a1an a2an 1a3an 2，（4）若 an 、 b

5、n为等差数列，则an b ， 1an2bn 都为等差数列(5) 若 an 是等差数列，则 Sn , S2nSn , S3nS2n， , 也成等差数列（6）数列 an 为等差数列每隔k(k*项取出一项a, a, a,a,)仍为等差数列,N)( mm km 2km 3k（7）设数列奇是奇数项的和， S偶 是偶数项项的和， Sn 是前 n 项an 是等差数列， d 为公差， S的和当项数为偶数2n 时，S奇a1a3a5na1a2 n1na na2 n 12S偶a 2a 4a6na 2a 2 nna n 1a 2 n2S 偶S 奇na n 1na n n a n 1a nn dS 偶na n 1a n

6、1S 奇na na n当项数为奇数2n1时，则S2 n 1S奇S偶(2 n1) an+1S奇( n 1)an+1S偶nS奇S偶an+1S偶nan+1S奇 n1（其中 an+1是项数为 2n+1 的等差数列的中间项） （ 8） bn 的前 n 和分别为 An 、 Bn，且 Anf (n) ，Bn则 an(2n1)anA2 n 1f (2n 1) .bn(2n1)bnB2 n 1（ 9）等差数列 an 的前 n 项和 Smn ，前 m 项和 Snm ，则前 m+n 项和 Sm nm nan m, amn, 则 an m0(10) 求 Sn 的最值法一：因等差数列前n 项是关于 n 的二次函数，故可

7、转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性 nN * 。法二：（ 1）“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和即当 a10，dan00，由可得 Sn 达到最大值时的 n 值an 10（ 2） “首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。即 当 a10，dan00，由可得 Sn 达到最小值时的 n 值an 10或求 an 中正负分界项注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：基本量法：即运用条件转化为关于 a1 和 d 的方程；巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量等比数列性质anq q 0 n 2,且 n N *q1.等比数列的

8、定义：an 1，称为公比2.通项公式：an a1qn 1a1 qnA Bn a1 q 0, A B 0a1qq， 首项：；公比：anamqn mqn man推广：，从而得am3. 等比中项（ 1）如果 a, A,b 成等比数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项即： A2 ab 或 A ab 注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）（ 2）数列an是等比数列a 2aann 1n 14. 等比数列的前 n 项和 Sn 公式：(1)当 q1时， Snna1Sna1 1qna1an q(2)当 q1时，1q1q1a1a1 qnA A BnA '

9、BnA 'A, B,A',B'q 1q（为常数）5. 等比数列的判定方法an1qan或 an 1q( q为常数， an0)（ 1）用定义：对任意的n, 都有an an 为等比数列（2） 等比中项： an2an1an 1 （ an1an 10） an 为等比数列（ 3） 通项公式：anA Bn A B 0 an 为等比数列（ 4） 前 n 项和公式：SnA ABn或SnA' BnA ' A, B, A ',B '为常数 a 为等比数列n6. 等比数列的证明方法anq q 0 n 2, 且 n N *an 1qan an 依据定义：若an 1

10、或为等比数列7. 注意（ 1）等比数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5 个元素： a1 、 q 、 n 、 an 及 Sn ，其中 a1 、 q称作为基本元素。只要已知这5 个元素中的任意3 个，便可求出其余 2 个，即知 3 求 2。（ 2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；an a1qn 1a, a , a, aq, aq2q ，中间项用 a 表示）；如奇数个数成等差，可设为 , ，q2q, （公比为8. 等比数列的性质(1) 当 q1时an a1qn 1a1 qnA Bn A B 0等比数列通项公式q是关于 n 的带有系数的类指数函数，底数为公比 qa1 1qnnSna

11、1a1q a1a1 qnA A BnA ' BnA '1q前 n 项和1q 1q1 q，系数和常数项是互为相q反数的类指数函数，底数为公比(2)对任何 m,nN * , 在等比数列 an 中 , 有 anamqn m , 特别的 , 当 m=1时, 便得到等比数列的通项公式 . 因此 , 此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。(3)若 m+n=s+t (m, n, s, tN * ), 则 an amas at . 特别的 , 当 n+m=2k时 , 得 an amak2注： a1 ana2 an 1a3an 2k , kan , an k , k an bn an (4)列 an , bn 为等比数列 , 则数列 anbn(k为非零常数 )均为等比数列 .(5)数列 an 为等比数列 , 每隔 k(kN * ) 项取出一项 ( am ,amk , am 2k , am3k ,) 仍为等比数列(6)如果 an 是各项均为正数的等比数列 , 则数列 log a an 是等差数列(7)若 an 为等比数列 , 则数列 Sn ， S2nSn ， S3 nS2 n ,，成等比数列(8)若 an 为等比数列 , 则数列 a1 a2an ,an1 an2a2n ,a2n1 a2n 2a3n 成等比数列(9)当 q1时，当 0<q